Einführendes Beispiel zur bedingten Wahrscheinlichkeit

Auf der Rückseite der Packung steht, dass 11 Pralinen eine Nougatfüllung haben, 8 der braunen Pralinen und 3 der Pralinen mit weißer Schokolade.

Tom darf ohne hinzusehen eine Praline nehmen.

Dann kannst du diese Fragen stellen:

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine mit braunem Überzug zieht?

Diese Wahrscheinlichkeit dieses Laplace-Experiments berechnest du als

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine mit Nougatfüllung zieht? Die Rechnung ist

c) Tom nimmt eine Praline und sieht, dass sie weiß ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Praline mit Nougatfüllung hat?

Diesmal ist die Wahrscheinlichkeit

Erklärung: Die Wahrscheinlichkeit von $P_\text{w}(\text{Nougat})=\frac{3}{8}$ ist eine andere als die

Wahrscheinlichkeit $P(\text{Nougat})=\frac{11}{20}$.

Bei der Berechnung von $P(\text{Nougat})$ weiß Tom nichts über die Praline, die er zieht.

Bei der Berechnung von $P_\text{w}(\text{Nougat})$ weiß Tom schon, dass er eine mit weißer Schokolade gezogen hat.

Es ist bereits eine „Bedingung“ (weiße Praline) bekannt.

Definition: $P_B( A)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ eintritt, wenn bereits bekannt ist, dass $B$ eingetreten ist.

Eine andere Schreibweise ist auch $P(A|B)$ .

In unserem Beispiel ist $P_\text{w} (\text{Nougat} )$ die Wahrscheinlichkeit, dass eine Praline mit Nougat gezogen wurde, wenn ich bereits weiß, dass sie weiß ist.

Die Wahrscheinlichkeit $P_\text{w} (\text{Nougat} )$ kann man direkt im Baumdiagramm ablesen: