Aufgaben zu komplexen Zahlen - lernen mit Serlo!

Schreibe die Wurzeln mit der imaginären Einheit $i$ .

$\sqrt{4 - 7}$

$\sqrt{- 144}$

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{- 4}}$

$\sqrt{4 (- 25)}$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

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Berechne die Differenz unter der Wurzel
	↓
$\sqrt{4 - 7}$	$=$	$\sqrt{- 3}$
	↓	Aus der $- 3$ können wir zumindest mit den reellen Zahlen die Wurzel nicht ziehen. Aber wir können die $- 3$ als ein Produkt von $3$ und $(- 1)$ schreiben.
	$=$	$\sqrt{3 \cdot (- 1)}$
	↓	Wir wissen, dass $i^{2} = - 1$ ist. Deswegen können wir die $(- 1)$ unter der Wurzel jetzt als $i^{2}$ schreiben.
	$=$	$\sqrt{3 \cdot i^{2}}$
	↓	Das Produkt unter der Wurzel können wir umschreiben zu einem Produkt aus Wurzeln.
	$=$	$\sqrt{3} \cdot \sqrt{i^{2}}$
	↓	$\sqrt{3} \cdot \sqrt{i^{2}} = \pm i \cdot$ $\sqrt{3}$ können wir nicht weiter vereinfachen.
	$=$	$\pm i \cdot \sqrt{3}$
	↓	Das Malzeichen kannst du weglassen.
	$=$	$\pm i \sqrt{3}$

$144$ ist eine Quadratzahl. Das einzige, was uns vom Wurzel ziehen abhält, ist das Minus davor. Deswegen schreiben wir $- 144$ als Produkt von der gewünschten $144$ und $(- 1)$
	↓
$\sqrt{- 144}$	$=$	$\sqrt{144 \cdot (- 1)}$
	↓	Wir wissen, dass $i^{2} = - 1$ . Deswegen schreiben wir die $(- 1)$ um zu $i^{2}$ .
	$=$	$\sqrt{144 \cdot i^{2}}$
	↓	Ein Produkt unter einer Wurzel dürfen wir aufspalten in ein Produkt von zwei Wurzeln.
	$=$	$\sqrt{144} \cdot \sqrt{i^{2}}$
	↓	Jetzt können wir die beiden Wurzeln einzeln ziehen.
	$=$	$\pm 12 \cdot i$
	↓	Das Malzeichen kannst du weglassen.
	$=$	$\pm 12 i$

$\sqrt{5}$ können wir nicht weiter vereinfachen, da $5$ keine Quadratzahl ist und auch kein Minus vor sich hat. Deswegen lassen wir den Zähler erstmal in Ruhe. Stattdessen schauen wir uns $\sqrt{- 4}$ im Nenner an. $4$ ist eine Quadratzahl. Um die Wurzel ziehen zu können, schreiben wir $- 4$ unter der Wurzel als ein Produkt von $4$ und $(- 1)$ .
	↓
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{- 4}}$	$=$	$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4 \cdot (- 1)}}$
	↓	Das Produkt unter der Wurzel können wir aufsplitten in ein Produkt von zwei Wurzeln.
	$=$	$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{(- 1)}}$
	↓	Jetzt können wir die $(- 1)$ umschreiben zu $i^{2}$ .
	$=$	$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{i^{2}}}$
	↓	Nun können wir im Nenner die Wurzeln einzeln ziehen.
	$=$	$\frac{\sqrt{5}}{\pm 2 \cdot i}$
	↓	Das Malzeichen kannst du weglassen.
	$=$	$\pm \frac{\sqrt{5}}{2 i}$
	↓	Der Kehrwert von $i$ ist $- i$
	$=$	$\pm \frac{\sqrt{5}}{2} i$

Unter der Wurzel steht das Produkt $4 \cdot (- 25)$ . Nach den Rechenregeln für Wurzeln darfst du ein Produkt unter einer Wurzel umschreiben zu einem Produkt von zwei Wurzeln.
	↓
$\sqrt{4 (- 25)}$	$=$	$\sqrt{4} \cdot \sqrt{- 25}$
	↓	$\sqrt{4}$ können wir schonmal ziehen. Für die andere Wurzel schreiben wir $- 25$ als ein Produkt von $- 1$ und $25$ .
	$=$	$2 \cdot \sqrt{25 \cdot (- 1)}$
	↓	Nun können wir $(- 1)$ umschreiben zu $i^{2}$ .
	$=$	$2 \cdot \sqrt{25 \cdot i^{2}}$
	↓	Das Produkt unter der Wurzel können wir wieder als Produkt von zwei Wurzeln schreiben.
	$=$	$2 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{i^{2}}$
	↓	Jetzt können wir auch diese beiden Wurzeln noch ziehen.
	$=$	$2 \cdot 5 \cdot (\pm i)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\pm 10 i$