Volumen des gesamten Körpers

Die Skizze zeigt den Axialschnitt $ABCDEF$ eines Körpers mit der Rotationsachse $G$$K$. Der Punkt $G$ ist der Schnittpunkt der Geraden $CD$ und $FE$.

Es gilt: $\overline{AB}=\overline{CF}=5\text{cm}$; $\overline{AF}=\overline{BC}=4\text{cm}$; $\overline{ED}=\mathrm{2,4}\text{cm}$; $\sphericalangle GFK=50°$;

$[AF]\Vert [GK]\Vert [BC]$.

Das Volumen des Gesamtkörpers (Zylinder) ist: $V={\overline{FK}}^2\cdot \pi \cdot \overline{AF}=\mathrm{78,54}{\text{cm}}^3$

Volumen des Kegels

Berechne die Länge der Strecke $\overline{GK}$:

${\displaystyle \frac{\overline{GK}}{\overline{FK}}}=\tan \sphericalangle GFK\Rightarrow \overline{GK}=\mathrm{2,5}\text{cm}\cdot \tan {50}^{\circ }$

$\overline{GK}=\mathrm{2,5}\text{cm}\cdot \mathrm{1,1918}$

$\overline{GK}=\mathrm{2,98}cm$

Damit ist das Volumen des Kegels: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\overline{FK}}^2\cdot \pi \cdot \overline{GK}=\mathrm{19,50}{\text{cm}}^3$

Volumen der Kegelspitze

Berechne die Länge der Strecke $\overline{GH}$.

${\displaystyle \frac{\overline{GH}}{\overline{GK}}}={\displaystyle \frac{\overline{ED}}{\overline{FC}}}$

$\overline{GH}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,98}\text{cm}\cdot \mathrm{2,40}\text{cm}}{5\text{cm}}}$

$\overline{GH}=\mathrm{1,43}\text{cm}$

Damit ist das Volumen der Kegelspitze: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\overline{EH}}^2\cdot \pi \cdot \overline{GH}=\mathrm{2,16}{\text{cm}}^3$

Gesamtvolumen

Berechne das Volumen des Rotationskörpers.

$V={\overline{FK}}^2\cdot \pi \cdot \overline{AF}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\overline{FK}}^2\cdot \pi \cdot \overline{GK}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\overline{EH}}^2\cdot \pi \cdot \overline{GH}$

$V=[(5\cdot \mathrm{0,5}{)}^2\cdot \pi \cdot 4-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (5\cdot \mathrm{0,5}{)}^2\cdot \pi \cdot \mathrm{2,98}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{2,4}{)}^2\cdot \pi \cdot \mathrm{1,43}]{\text{cm}}^3$

$V=\mathrm{61,19}{\text{cm}}^3$