Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A1
Die Skizze zeigt die Figur, die durch die Strecken $[A B]$ und $[A C]$ sowie den Kreisbogen $\overset\frown{BC}$ mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r=\overline{MB}$ begrenzt wird.
Es gilt: $\overline{AD}= 2$ cm; $\overline{MA}=\overline{MB}=\overline{MC}=5$ cm; $\sphericalangle{MDC}=90°$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Berechnen Sie das Maß des Winkels $C M D$ und die Länge $b$ des Kreisbogens $\overset\frown{BC}$ . (3 P)
  $[$ Teilergebnis: $\sphericalangle{CMD}=53{,}13°$ $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren
  Berechnung des Winkels
  Berechne das Maß des Winkels $C M D$ und die Länge $b$ des Kreisbogens $\overset\frown{BC}.$
  Berechne den Kosinus des Winkels $C M D$ .
  $\cos\sphericalangle{CMD}=\dfrac{3}{5}=0{,}6 \Rightarrow \sphericalangle{CMD}= 53{,}13°$
  Länge des Kreisbogens
  Berechne jetzt die Länge $b$ des Kreisbogens $\overset\frown{BC}.$ Damit Du den Kreisbogen $\overset\frown{BC}$ berechnen kannst, musst Du zuerst den Winkel $B M C$ berechnen.
  
  $\sphericalangle{BMC} = 180^\circ-53{,}13^\circ = 126{,}87^\circ$
  
  $b= 2r\cdot\pi\cdot\dfrac{\sphericalangle\ {BMC}}{360^\circ}\Rightarrow b= 2\cdot5\cdot\pi\cdot \dfrac{126{,}87^\circ}{360^\circ}\text{cm}$
  Also ist $b=11{,}07\ \text{cm}$ .
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  Berechne das Maß des Winkels $C M D$ . Verwende dazu die geeignete Winkelfunktion (Sinus, Kosinus, Tangens).
  Bestimme die Länge des Kreisbogens $\overset\frown{BC}$ mithilfe des Winkels.
2. Ermitteln Sie rechnerisch den Flächeninhalt der Figur aus der Aufgabenstellung. (2 P)
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecke, Vierecke, Kreise und andere ebene Figuren
  Flächeninhalt Dreieck $_{AMC}$
  Mit der allgemeinen Formel für den Flächeninhalt im Dreieck gilt:
  $A_{AMC}=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{AM}\cdot\overline{MC}\cdot\sin\sphericalangle{CMD}$ $\qquad\sphericalangle{CMD}=53{,}13°$
  $A_{AMC}=\dfrac{1}{2}\cdot5\;\text{cm}\cdot5\;\text{cm}\cdot\sin53{,}13°\ \Rightarrow A_{AMC}=\dfrac{1}{2}\cdot25\cdot0{,}7999\;\text{cm}^2$
  $A_{AMC}=\ 10\;\text{cm}^2$
  Flächeninhalt Kreissektor $_{MBC}$
  Die Fläche des Kreissektors ergibt sich mithilfe des Winkels zu:
  $A_{MBC}\ =\ \overline{MB}^2\cdot\pi\cdot\dfrac{\sphericalangle{CMB}}{360^\circ}\ \Rightarrow\ A_{MBC}\ =\ (5\;\text{cm})^2\cdot\pi\cdot\dfrac{126{,}87^\circ}{360^\circ}$
  $A_{MBC}\ = 27{,}68\;\text{cm}^2$
  Gesamtfläche
  $A_{Figur}\ =\ A_{AMC}\ +\ A_{MBC}\ \Rightarrow\ A_{Figur}\ =\ 10\;\text{cm}^2\ +\ 27{,}68\;\text{cm}^2$
  $A_{Figur}\ =\ 37{,}68\;\text{cm}^2$
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  Die Figur setzt sich zusammen aus einem Dreieck und einem Kreissektor.
  Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks und den Flächeninhalt des Kreissektors und addiere die Werte.
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A2
Gegeben sind die Parabel $p$ mit der Gleichung $y=0{,}25x^2-3x+8$ und die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = - 0,25 x + 6,5$ . Es gilt: $\mathbb{G}=\mathbb{R}$ x $\mathbb{R}$ .
Die Punkte $A$ und $B$ sind die Schnittpunkte der Parabel $p$ und der Gerade $g$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
  Skizze
  Funktionsterme gleichsetzen
  $0{,}25x^2−3x+8=−0{,}25x+6{,}5$
  Fasse zusammen.
  $0{,}25x^2-2{,}75x+1{,}5=0$
  Quadratische Gleichung lösen
  Mit der abc-Formel ist die Lösung der Gleichung für $a = 0,25, b = - 2,75, c = 1,5 :$
  $x_{1{,}2}=\dfrac{2{,}75\ \pm\ \sqrt{(-2{,}75)^2\ -\ 4\cdot(0{,}25)\cdot(1{,}5)}}{0{,}25\cdot2}$
  $x_1=0{,}58;\ \ x_2=10{,}42$
  $L=\left\{0{,}58;\ 10{,}42\right\}$
  Funktionswerte berechnen und Koordinaten angeben
  $A(0{,}58|-0{,}25\cdot 0{,}58+6{,}5)\;\Rightarrow\;A(0{,}58∣6{,}36)$
  $B(10{,}42|(-0{,}25\cdot10{,}42+6{,}5)\;\Rightarrow\;B(10{,}42∣3{,}90)$
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  Setze die Funktionsterme gleich $p = g $ .
  Bestimme die Lösungen $x_{1}, x_{2}$ .
  Berechne die Funktionswerte für $x_{1}, x_{2}$ , um die Koordinaten von $A$ und $B$ angeben zu können.
2. Punkte $P_n(x|0{,}25x^2-3x+8)$ auf $p$ und Punkte $Q_n(x|-0{,}25x+6{,}5)$ auf $g$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Für die Strecken $[P_{n} Q_{n}]$ gilt: $y_{Q_n}\gt y_{P_n}$ . Die Mittelpunkte $M_{n}$ der Strecken $[P_{n} Q_{n}]$ sind zugleich Mittelpunkte von Kreisen $k_{n}$ mit den Durchmessern $\overline{P_nQ_n}.$
  Zeichnen Sie die Strecke $[P_{1} Q_{1}]$ sowie den Mittelpunkt $M_{1}$ und den Kreis $k_{1}$ mit dem Durchmesser $\overline{P_1Q_1}$ für $x = 7$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Koordinatensystem
  Einzeichnen der Punkte und Strecken
  Die Punkte $Q_{n}$ liegen auf der Gerade $g$ , die Punkte $P_{n}$ auf der Parabel.
  Beide liegen übereinander, mit verschiedenen Funktionswerten:
  Skizze
  Der Mittelpunkt ergibt sich aus dem Mittel der Funktionswerte:
  $M\left(7\mid \dfrac{y_{Q_1}-y_{P_1}}{2}\right)=M\left(7\mid \dfrac{4{,}75-(-0{,}75)}{2}\right)=M\left(7\mid 2{,}75\right)$
  Mit dem Zirkel kann der Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem passenden Radius konstruiert werden.
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  Zeichne die Strecke $[P_{1} Q_{1}]$ sowie den Punkt $M_{1}$ und den Kreis $k_{1}$ in das Koordinatensystem ein.
3. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $[P_{n} Q_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $P_{n}$ gilt: (1 P)
  $\displaystyle \overline{P_nQ_n}(x)=(-0{,}25x^2+2{,}75x-1{,}5)\;\text{cm}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
  Länge der Strecke
  $\overline{P_n Q_n}(x)=\underbrace{[y_{Q_n}-y_{P_n}]}_{\text{Differenz der y-Werte}}=[-0{,}25x+6{,}5-(0{,}25x^2-3x+8)]\;\text{LE}$
  $\overline{P_nQ_n}(x)=(-0{,}25x+6{,}5-0{,}25x^2+3x-8)\;\text{LE}$
  $\overline{P_nQ_n}(x)=(-0{,}25x^2+2{,}75x-1{,}5)\;\text{LE}$
  $x\in\R;\ x\in]0{,}58;\ 10{,}42[$
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  Berechne die Differenz aus den y-Werten der beiden Punkte.
4. Unter den Kreisen $k_{n}$ gibt es einen Kreis $k_{0}$ mit maximalem Umfang $u_{max}$ .
  Berechnen Sie $u_{max}$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
  Maximum der Strecke $\overline{P_nQ_n}(x)$
  Unter den Kreisen $k_{n}$ gibt es einen Kreis $k_{0}$ mit maximalem Umfang $u_{max}$ . Berechne $u_{max}$ .
  $u(x)=d\cdot \pi=(\overline{P_nQ_n}(x)\cdot \pi)\;\text{LE}$
  $u{(x)}=[(-0{,}25x^2+2{,}75x-1{,}5)\cdot{\large{\pi}}]\;\text{LE}$
  Skizze der Parabel
  Da es sich hier um eine nach unten geöffnete Parabel handelt, liegt der maximale Funktionswert im Scheitel der Parabel. Mit der Scheitelpunktform kannst Du den Scheitelpunkt $y_{s}$ berechnen.
  Scheitel der Parabel bestimmen
  Wandle die Funktion $u (x)$ in die Scheitelpunktform um.
  $u{(x)}=(-0{,}25x^2+2{,}75x-1{,}5)\cdot \pi\;\text{LE}$
  $u{(x)}=-0{,}25(x^2-11x+6)\cdot\pi\;\text{LE}$
  $u{(x)}=-0{,}25[(x-5{,}5)^2-5{,}5^2+6]\cdot \pi\;\text{LE}$
  $u{(x)}=-0{,}25[(x-5{,}5)^2-30{,}25+6]\cdot \pi\;\text{LE}$
  $u{(x)}=-0{,}25[(x-5{,}5)^2-24{,}25]\cdot \pi\;\text{LE}$
  $u{(x)}=[-0{,}25(x-5{,}5)^2+6{,}0625]\cdot \pi\;\text{LE}\ \Rightarrow U_{max}\ =6{,}0625\cdot{\large{\pi}}\;\text{LE}$
  $u_{max}\ \approx 19{,}05\;\text{LE}$
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  Bestimme, für welchen Wert von $x$ die Länge der Strecke $\overline{P_nQ_n}(x)$ maximal ist.
  Bestimme dazu den Scheitel der Parabel
  $\displaystyle \overline{P_nQ_n}(x)=(-0{,}25x^2+2{,}75x-1{,}5)\;\text{LE}$
  (aus Teilaufgabe (c)).
  $\overline{P_nQ_n}(x)$ ist der Durchmesser der Kreise. Wenn dieser Wert maximal ist, dann auch die Fläche der Kreise.
5. Ein Kreis $k_{3}$ hat den 4-fachen Durchmesser eines Kreises $k_{2}$ . Hat $k_{3}$ dann den 16-fachen Flächeninhalt von $k_{2}$ ?
  Begründen Sie Ihre Antwort. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
  Begründung
  Ein Kreis $k_{3}$ hat den $4$ -fachen Durchmesser eines Kreises $k_{2}$ . Hat $k_{3}$ dann den $16$ -fachen Flächeninhalt von $k_{2}$ ? Begründe Deine Antwort.
  $k_{3}$ hat den 16-fachen Flächeninhalt von $k_{2}$ , denn es gilt:
  Aus $d_3\ =\ 4\cdot d_2$ folgt: $\ r_3\ =\ 4\cdot r_2$ .
  Somit gilt: $A_3\ =\ r_3^2\cdot{\large{\pi}}\ =\ (4\cdot r_2)^2\cdot{\large{\pi}}\ =\ 16\cdot r_2^2\cdot{\large{\pi}}\ =\ 16\cdot A_2$ .
  Ja, $k_{3}$ hat dann den 16-fachen Flächeninhalt von $k_{2}$ .
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  Begründe die Behauptung mit der Formel für die Kreisfläche $A=\pi\cdot r^2$ .
  Untersuche, was passiert, wenn der Radius vervierfacht wird (und anschließend quadriert wird).
3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A3
Die Skizze zeigt den Axialschnitt $A B C D E F$ eines Körpers mit der Rotationsachse $G$ $K$ . Der Punkt $G$ ist der Schnittpunkt der Geraden $C D$ und $F E$ .
Es gilt: $\overline{AB}=\overline{CF}=5\;\text{cm}$ ; $\overline{AF}=\overline{BC}=4\;\text{cm}$ ; $\overline{ED}=2{,}4\;\text{cm}$ ; $\sphericalangle{GFK}= 50°$ ;
$[AF]\Vert [GK]\Vert [BC]$ .
Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. (5 P)
$[$ Zwischenergebnisse: $\overline{GK}=2{,}98\;\text{cm}$ ; $\overline{GH}=1{,}43\;\text{cm}$ $]$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
Volumen des gesamten Körpers
Die Skizze zeigt den Axialschnitt $A B C D E F$ eines Körpers mit der Rotationsachse $G$ $K$ . Der Punkt $G$ ist der Schnittpunkt der Geraden $C D$ und $F E$ .
Es gilt: $\overline{AB}=\overline{CF}=5\;\text{cm}$ ; $\overline{AF}=\overline{BC}=4\;\text{cm}$ ; $\overline{ED}=2{,}4\;\text{cm}$ ; $\sphericalangle{GFK}= 50°$ ;
$[AF]\Vert [GK]\Vert [BC]$ .
Skizze des Körpers
Das Volumen des Gesamtkörpers (Zylinder) ist: $V=\overline{FK}^2\cdot\pi\cdot\overline{AF}=78{,}54~\text{cm}^3$
Volumen des Kegels
Berechne die Länge der Strecke $\overline{GK}$ :
$\dfrac{\overline{GK}}{\overline{FK}}=\tan\sphericalangle{GFK}\Rightarrow\overline{GK}=2{,}5\;\text{cm}\cdot\tan50^\circ$
$\overline{GK}=2{,}5\;\text{cm}\cdot1{,}1918$
$\overline{GK}=2{,}98\ cm$
Damit ist das Volumen des Kegels: $V=\dfrac{1}{3}\cdot\overline{FK}^2\cdot\pi\cdot\overline{GK}=19{,}50~\text{cm}^3$
Volumen der Kegelspitze
Berechne die Länge der Strecke $\overline{GH}$ .
$\dfrac{\overline{GH}}{\overline{GK}}=\dfrac{\overline{ED}}{\overline{FC}}$
$\overline{GH}=\dfrac{2{,}98\;\text{cm}\cdot2{,}40\;\text{cm}}{5\;\text{cm}}$
$\overline{GH}= 1{,}43\;\text{cm}$
Damit ist das Volumen der Kegelspitze: $V=\dfrac{1}{3}\cdot\overline{EH}^2\cdot\pi\cdot\overline{GH}=2{,}16~\text{cm}^3$
Gesamtvolumen
Berechne das Volumen des Rotationskörpers.
$V=\overline{FK}^2\cdot\pi\cdot\overline{AF}-\dfrac{1}{3}\cdot\overline{FK}^2\cdot\pi\cdot\overline{GK}+\dfrac{1}{3}\cdot\overline{EH}^2\cdot\pi\cdot\overline{GH}$
$V=[(5\cdot0{,}5)^2\cdot\pi\cdot4-\dfrac{1}{3}\cdot(5\cdot0{,}5)^2\cdot\pi\cdot2{,}98+\dfrac{1}{3}\cdot(0{,}5\cdot2{,}4)^2\cdot\pi\cdot1{,}43]\;\text{cm}^3$
$V=61{,}19\;\text{cm}^3$
Berechne zunächst das Volumen des gesamten Körpers.
Ziehe dann das Volumen des Kegels ab und addiere anschließend das Volumen der Kegelspitze.