Teil A

Berechnung des Winkels

Berechne das Maß des Winkels $CMD$ und die Länge $b$ des Kreisbogens $\overset\frown{BC}.$

Berechne den Kosinus des Winkels $CMD$.

$\cos\sphericalangle{CMD}=\dfrac{3}{5}=0{,}6 \Rightarrow \sphericalangle{CMD}= 53{,}13°$

Länge des Kreisbogens

Berechne jetzt die Länge $b$ des Kreisbogens $\overset\frown{BC}.$ Damit Du den Kreisbogen $\overset\frown{BC}$ berechnen kannst, musst Du zuerst den Winkel $BMC$ berechnen.

$\sphericalangle{BMC} = 180^\circ-53{,}13^\circ = 126{,}87^\circ$

$b= 2r\cdot\pi\cdot\dfrac{\sphericalangle\ {BMC}}{360^\circ}\Rightarrow b= 2\cdot5\cdot\pi\cdot \dfrac{126{,}87^\circ}{360^\circ}\text{cm}$

Also ist $b=11{,}07\ \text{cm}$.

Flächeninhalt Dreieck$_{AMC}$

Mit der allgemeinen Formel für den Flächeninhalt im Dreieck gilt:

$A_{AMC}=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{AM}\cdot\overline{MC}\cdot\sin\sphericalangle{CMD}$ $\qquad\sphericalangle{CMD}=53{,}13°$

$A_{AMC}=\dfrac{1}{2}\cdot5\;\text{cm}\cdot5\;\text{cm}\cdot\sin53{,}13°\ \Rightarrow A_{AMC}=\dfrac{1}{2}\cdot25\cdot0{,}7999\;\text{cm}^2$

$A_{AMC}=\ 10\;\text{cm}^2$

Flächeninhalt Kreissektor$_{MBC}$

Die Fläche des Kreissektors ergibt sich mithilfe des Winkels zu:

$A_{MBC}\ =\ \overline{MB}^2\cdot\pi\cdot\dfrac{\sphericalangle{CMB}}{360^\circ}\ \Rightarrow\ A_{MBC}\ =\ (5\;\text{cm})^2\cdot\pi\cdot\dfrac{126{,}87^\circ}{360^\circ}$

$A_{MBC}\ = 27{,}68\;\text{cm}^2$

Gesamtfläche

$A_{Figur}\ =\ A_{AMC}\ +\ A_{MBC}\ \Rightarrow\ A_{Figur}\ =\ 10\;\text{cm}^2\ +\ 27{,}68\;\text{cm}^2$

$A_{Figur}\ =\ 37{,}68\;\text{cm}^2$

Funktionsterme gleichsetzen

$0{,}25x^2−3x+8=−0{,}25x+6{,}5$

Fasse zusammen.

$0{,}25x^2-2{,}75x+1{,}5=0$

Quadratische Gleichung lösen

Mit der abc-Formel ist die Lösung der Gleichung für $a=0{,}25,~b=-2{,}75,~c=1{,}5:$

$x_{1{,}2}=\dfrac{2{,}75\ \pm\ \sqrt{(-2{,}75)^2\ -\ 4\cdot(0{,}25)\cdot(1{,}5)}}{0{,}25\cdot2}$

$x_1=0{,}58;\ \ x_2=10{,}42$

$L=\left\{0{,}58;\ 10{,}42\right\}$

Funktionswerte berechnen und Koordinaten angeben

$A(0{,}58|-0{,}25\cdot 0{,}58+6{,}5)\;\Rightarrow\;A(0{,}58∣6{,}36)$

$B(10{,}42|(-0{,}25\cdot10{,}42+6{,}5)\;\Rightarrow\;B(10{,}42∣3{,}90)$

Einzeichnen der Punkte und Strecken

Die Punkte $Q_n$ liegen auf der Gerade $g$, die Punkte $P_n$ auf der Parabel.

Beide liegen übereinander, mit verschiedenen Funktionswerten:

Der Mittelpunkt ergibt sich aus dem Mittel der Funktionswerte:

$M\left(7\mid \dfrac{y_{Q_1}-y_{P_1}}{2}\right)=M\left(7\mid \dfrac{4{,}75-(-0{,}75)}{2}\right)=M\left(7\mid 2{,}75\right)$

Mit dem Zirkel kann der Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem passenden Radius konstruiert werden.

Länge der Strecke

$\overline{P_n Q_n}(x)=\underbrace{[y_{Q_n}-y_{P_n}]}_{\text{Differenz der y-Werte}}=[-0{,}25x+6{,}5-(0{,}25x^2-3x+8)]\;\text{LE}$

$\overline{P_nQ_n}(x)=(-0{,}25x+6{,}5-0{,}25x^2+3x-8)\;\text{LE}$

$\overline{P_nQ_n}(x)=(-0{,}25x^2+2{,}75x-1{,}5)\;\text{LE}$

$x\in\R;\ x\in]0{,}58;\ 10{,}42[$

Maximum der Strecke $\overline{P_nQ_n}(x)$

Unter den Kreisen $k_n$ gibt es einen Kreis $k_0$ mit maximalem Umfang $u_{max}$. Berechne $u_{max}$.

$u(x)=d\cdot \pi=(\overline{P_nQ_n}(x)\cdot \pi)\;\text{LE}$

$u{(x)}=[(-0{,}25x^2+2{,}75x-1{,}5)\cdot{\large{\pi}}]\;\text{LE}$

Da es sich hier um eine nach unten geöffnete Parabel handelt, liegt der maximale Funktionswert im Scheitel der Parabel. Mit der Scheitelpunktform kannst Du den Scheitelpunkt $y_s$ berechnen.

Scheitel der Parabel bestimmen

Wandle die Funktion $u{(x)}$ in die Scheitelpunktform um.

$u{(x)}=(-0{,}25x^2+2{,}75x-1{,}5)\cdot \pi\;\text{LE}$

$u{(x)}=-0{,}25(x^2-11x+6)\cdot\pi\;\text{LE}$

$u{(x)}=-0{,}25[(x-5{,}5)^2-5{,}5^2+6]\cdot \pi\;\text{LE}$

$u{(x)}=-0{,}25[(x-5{,}5)^2-30{,}25+6]\cdot \pi\;\text{LE}$

$u{(x)}=-0{,}25[(x-5{,}5)^2-24{,}25]\cdot \pi\;\text{LE}$

$u{(x)}=[-0{,}25(x-5{,}5)^2+6{,}0625]\cdot \pi\;\text{LE}\ \Rightarrow U_{max}\ =6{,}0625\cdot{\large{\pi}}\;\text{LE}$

$u_{max}\ \approx 19{,}05\;\text{LE}$

Begründung

Ein Kreis $k_3$​ hat den $4$-fachen Durchmesser eines Kreises$k_2$​. Hat $k_3$​ dann den $16$-fachen Flächeninhalt von $k_2$​? Begründe Deine Antwort.

$k_3$ hat den 16-fachen Flächeninhalt von $k_2$, denn es gilt:

Aus $d_3\ =\ 4\cdot d_2$ folgt: $\ r_3\ =\ 4\cdot r_2$.

Somit gilt: $A_3\ =\ r_3^2\cdot{\large{\pi}}\ =\ (4\cdot r_2)^2\cdot{\large{\pi}}\ =\ 16\cdot r_2^2\cdot{\large{\pi}}\ =\ 16\cdot A_2$.

Ja, $k_3$ hat dann den 16-fachen Flächeninhalt von $k_2$.