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Die Aufgabenstellung findest du hier  zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Aufgabe A1

    Bild

    Die Skizze zeigt die Figur, die durch die Strecken [AB][AB] und [AC][AC] sowie den Kreisbogen BC\overset\frown{BC} mit dem Mittelpunkt MM und dem Radius r=MBr=\overline{MB} begrenzt wird.

    Es gilt: AD=2\overline{AD}= 2 cm; MA=MB=MC=5\overline{MA}=\overline{MB}=\overline{MC}=5 cm; MDC=90°\sphericalangle{MDC}=90°.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Berechnen Sie das Maß des Winkels CMDCMD und die Länge bb des Kreisbogens BC\overset\frown{BC}. (3 P)

      [[Teilergebnis: CMD=53,13°\sphericalangle{CMD}=53{,}13°]]

    2. Ermitteln Sie rechnerisch den Flächeninhalt der Figur aus der Aufgabenstellung. (2 P)

      cm²
  2. 2

    Aufgabe A2

    Gegeben sind die Parabel pp mit der Gleichung y=0,25x23x+8y=0{,}25x^2-3x+8 und die Gerade gg mit der Gleichung y=0,25x+6,5y=-0{,}25x+6{,}5. Es gilt: G=R\mathbb{G}=\mathbb{R} x R\mathbb{R} .

    Die Punkte AA und BB sind die Schnittpunkte der Parabel pp und der Gerade gg.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Parabel
    1. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte AA und BB. (3 P)

    2. Punkte Pn(x0,25x23x+8)P_n(x|0{,}25x^2-3x+8) auf pp und Punkte Qn(x0,25x+6,5)Q_n(x|-0{,}25x+6{,}5) auf gg haben dieselbe Abszisse xx. Für die Strecken [PnQn][P_nQ_n] gilt: yQn>yPny_{Q_n}\gt y_{P_n}. Die Mittelpunkte MnM_n der Strecken [PnQn][P_nQ_n] sind zugleich Mittelpunkte von Kreisen knk_n mit den Durchmessern PnQn.\overline{P_nQ_n}.

      Zeichnen Sie die Strecke [P1Q1][P_1Q_1] sowie den Mittelpunkt M1M_1 und den Kreis k1k_1 mit dem Durchmesser P1Q1\overline{P_1Q_1} für x=7x=7 in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein. (2 P)

    3. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken [PnQn][P_nQ_n] in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte PnP_n gilt: (1 P)

    4. Unter den Kreisen knk_n gibt es einen Kreis k0k_0 mit maximalem Umfang umaxu_{max}.

      Berechnen Sie umaxu_{max}. (2 P)

    5. Ein Kreis k3k_3 hat den 4-fachen Durchmesser eines Kreises k2k_2. Hat k3k_3 dann den 16-fachen Flächeninhalt von k2k_2?

      Begründen Sie Ihre Antwort. (2 P)

  3. 3

    Aufgabe A3

    Die Skizze zeigt den Axialschnitt ABCDEFABCDEF eines Körpers mit der Rotationsachse GGKK. Der Punkt GG ist der Schnittpunkt der Geraden CDCD und FEFE.

    Es gilt: AB=CF=5  cm\overline{AB}=\overline{CF}=5\;\text{cm}; AF=BC=4  cm\overline{AF}=\overline{BC}=4\;\text{cm}; ED=2,4  cm\overline{ED}=2{,}4\;\text{cm}; GFK=50°\sphericalangle{GFK}= 50°;

    [AF][GK][BC][AF]\Vert [GK]\Vert [BC].

    Rotationskörper

    Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. (5 P)

    [[Zwischenergebnisse: GK=2,98  cm\overline{GK}=2{,}98\;\text{cm}; GH=1,43  cm \overline{GH}=1{,}43\;\text{cm}]]


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