Berechnung des Winkels

Berechne das Maß des Winkels $CMD$ und die Länge $b$ des Kreisbogens $\overset\frown{BC}.$

Berechne den Kosinus des Winkels $CMD$.

$\cos\sphericalangle{CMD}=\dfrac{3}{5}=0{,}6 \Rightarrow \sphericalangle{CMD}= 53{,}13°$

Länge des Kreisbogens

Berechne jetzt die Länge $b$ des Kreisbogens $\overset\frown{BC}.$ Damit Du den Kreisbogen $\overset\frown{BC}$ berechnen kannst, musst Du zuerst den Winkel $BMC$ berechnen.

$\sphericalangle{BMC} = 180^\circ-53{,}13^\circ = 126{,}87^\circ$

$b= 2r\cdot\pi\cdot\dfrac{\sphericalangle\ {BMC}}{360^\circ}\Rightarrow b= 2\cdot5\cdot\pi\cdot \dfrac{126{,}87^\circ}{360^\circ}\text{cm}$

Also ist $b=11{,}07\ \text{cm}$.

Flächeninhalt Dreieck$_{AMC}$

Mit der allgemeinen Formel für den Flächeninhalt im Dreieck gilt:

$A_{AMC}=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{AM}\cdot\overline{MC}\cdot\sin\sphericalangle{CMD}$ $\qquad\sphericalangle{CMD}=53{,}13°$

$A_{AMC}=\dfrac{1}{2}\cdot5\;\text{cm}\cdot5\;\text{cm}\cdot\sin53{,}13°\ \Rightarrow A_{AMC}=\dfrac{1}{2}\cdot25\cdot0{,}7999\;\text{cm}^2$

$A_{AMC}=\ 10\;\text{cm}^2$

Flächeninhalt Kreissektor$_{MBC}$

Die Fläche des Kreissektors ergibt sich mithilfe des Winkels zu:

$A_{MBC}\ =\ \overline{MB}^2\cdot\pi\cdot\dfrac{\sphericalangle{CMB}}{360^\circ}\ \Rightarrow\ A_{MBC}\ =\ (5\;\text{cm})^2\cdot\pi\cdot\dfrac{126{,}87^\circ}{360^\circ}$

$A_{MBC}\ = 27{,}68\;\text{cm}^2$

Gesamtfläche

$A_{Figur}\ =\ A_{AMC}\ +\ A_{MBC}\ \Rightarrow\ A_{Figur}\ =\ 10\;\text{cm}^2\ +\ 27{,}68\;\text{cm}^2$

$A_{Figur}\ =\ 37{,}68\;\text{cm}^2$