Aufgaben zu komplexen Zahlen - lernen mit Serlo!

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Berechne folgende Summen und Differenzen:

Berechne $z_{1} + z_{2}$ .

$z_{1} = 3 + 4 i$

$z_{2} = 3 - 2 i$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Setze für $z_{1}$ und $z_{2}$ die obigen Zahlen ein.
	↓
$z_{1} + z_{2}$	$=$	$3 + 4 i + 3 - 2 i$
	↓	Ordne alle Zahlen ohne $i$ nach vorne und alle mit $i$ nach hinten.
	$=$	$3 + 3 + 4 i - 2 i$
	↓	Addiere bzw. subtrahiere alle Zahlen ohne $i$ und alle Zahlen mit $i$ einzeln.
	$=$	$6 + 2 i$

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Addiere Real- und Imaginärteil einzeln.

Berechne $z_{1} + z_{2}$ .

$z_{1} = 3 - 2 i$

$z_{2} = 7 + 5 i$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Setze für $z_{1}$ und $z_{2}$ die Zahlen aus der Aufgabenstellung ein.
	↓
$z_{1} + z_{2}$	$=$	$3 - 2 i + 7 + 5 i$
	↓	Bringe alle Zahlen ohne $i$ nach vorne und alle mit $i$ nach hinten
	$=$	$3 + 7 - 2 i + 5 i$
	↓	Addiere alle Zahlen ohne $i$ und alle Zahlen mit $i$ getrennt.
	$=$	$10 + 3 i$

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Addiere real- und Imaginärteil einzeln.

Berechne $z_{1} + 2 \cdot z_{2}$ .

$z_{1} = 2 + 5 i$

$z_{2} = - 1 + i$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Setze $z_{1}$ und $z_{2}$ aus der Aufgabenstellung ein. Setze $z_{2}$ dabei in Klammern, weil du ja die gesamte Zahl mal $2$ nehmen musst.
	↓
$z_{1} + 2 \cdot z_{2}$	$=$	$2 + 5 i + 2 \cdot (- 1 + i)$
	↓	Multipliziere die Klammer wie gewohnt aus.
	$=$	$2 + 5 i - 2 + 2 i$
	↓	Addiere bzw. subtrahiere alle Zahlen ohne $i$ und alle Zahlen mit $i$ getrennt.
	$=$	$7 i$

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Schreibe $z_{2}$ in Klammern und multipliziere aus. Addiere/subtrahiere anschließend alle Real- und Imaginärteile getrennt.

Berechne $z_{1} + 3 z_{2} - z_{3}$ .

$z_{1} = 2 i$

$z_{2} = 3 - 4 i$

$z_{3} = 6 - i$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Setze die komplexen Zahlen aus der Aufgabenstellung ein. Setze dabei alle komplexen Zahlen in Klammern, vor denen ein Minus oder eine Zahl zum Multiplizieren davor steht. In diesem Fall musst du $z_{2}$ und $z_{3}$ in Klammern setzen.
	↓
$z_{1} + 3 z_{2} - z_{3}$	$=$	$2 i + 3 \cdot (3 - 4 i) - (6 - i)$
	↓	Multipliziere die erste Klammer wie gewohnt aus. Die zweite Klammer ist eine Minusklammer, die du ebenfalls ganz normal auflösen kannst, indem du alle Vorzeichen in der Klammer einmal umkehrst.
	$=$	$2 i + 9 - 12 i - 6 + i$
	↓	Addiere bzw. subtrahiere nun alle Zahlen ohne $i$ und alle Zahlen mit $i$ getrennt voneinander.
	$=$	$3 - 9 i$

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Setze $z_{2}$ und $z_{3}$ in Klammern, multipliziere aus und addiere/subtrahiere anschließend Real- und Imaginärteile einzeln.

Berechne $- 2 z_{1} + z_{2} - z_{3}$ .

$z_{1} = 7 + 4 i$

$z_{2} = 15 i - 4$

$z_{3} = 1 - i$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Setze die komplexen Zahlen aus der Aufgabenstellung ein. Setze dabei die Zahlen, vor denen ein Minus oder ein multiplikativer Faktor steht (also eine Zahl, mit der du die komplexe Zahl multiplizieren musst) in Klammern. In diesem Fall sind das $z_{1}$ und $z_{3}$
	↓
$- 2 z_{1} + z_{2} - z_{3}$	$=$	$- 2 (7 + 4 i) + 15 i - 4 - (1 - i)$
	↓	Multipliziere die Klammern wie gewohnt aus.
	$=$	$- 14 - 8 i + 15 i - 4 - 1 + i$
	↓	Addiere/subtrahiere alle Zahlen mit bzw. ohne $i$ getrennt.
	$=$	$- 19 + 8 i$

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Setze alle komplexen Zahlen, vor denen ein Minus oder eine Zahl steht in Klammern und löse diese anschließend wie gewohnt auf. Dann kannst du Real- und Imaginärteile einzeln addieren.

Berechne $z_{1} - \overline{z_{2}}$ .

$z_{1} = - 4 + 6 i$

$z_{2} = 2 + 3 i$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Die konjugiert komplexe Zahl von $z_{2}$ ist $\overline{z_{2}} = 2 - 3 i$ . Setze diese in den zu berechnenden Term ein. Vergiss nicht, sie in Klammern zu setzen, da ein Minus vor $\overline{z_{2}}$ steht.
	↓
$z_{1} - \overline{z_{2}}$	$=$	$- 4 + 6 i - (2 - 3 i)$
	↓	Löse die Minusklammern auf.
	$=$	$- 4 + 6 i - 2 + 3 i$
	↓	Addiere/subtrahiere alle Zahlen mit bzw. ohne $i$ getrennt voneinander.
	$=$	$- 6 + 9 i$

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Überlege dir zunächst die konjugiert komplexe Zahl von $z_{2}$ und subtrahiere anschließend die komplexen Zahlen, indem du ihre Real- und Imaginärteile einzeln subtrahierst/addierst.

Berechne $z_{1} - z_{2} + \overline{z_{3}}$ .

$z_{1} = 3 i - 2$

$z_{2} = 4 + 2 i$

$z_{3} = 1 - i$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Die konjugiert komplexe Zahl zu $z_{3}$ ist $\overline{z_{3}} = 1 + i$ , d.h. man dreht lediglich das Vorzeichen vor dem $i$ einmal um. Setze alles in den Term ein. Achte darauf, dass du die Zahlen, vor denen ein Minus steht, in Klammern setzt.
	↓
$z_{1} - z_{2} + \overline{z_{3}}$	$=$	$3 i - 2 - (4 + 2 i) + 1 + i$
	↓	Löse die Minusklammer auf.
	$=$	$3 i - 2 - 4 - 2 i + 1 + i$
	↓	Verrechne alle Zahlen mit bzw. ohne $i$ miteinander.
	$=$	$- 5 + 2 i$

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Überlege dir die konjugiert komplexe Zahl von $z_{3}$ , setze ein und addiere/subtrahiere anschließend alle Real- bzw. Imaginärteile getrennt.

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