Aufgaben zur indirekten Proportionalität

Lerne mit diesen gemischten Aufgaben, indirekt proportionale Zusammenhänge zu erkennen und teste dein Wissen!

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Die folgende Wertetabelle enthält indirekt proportionale (umgekehrte/antiproportionale) Wertepaare. Ergänze die fehlenden Werte.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Indirekte Proportionalität
Lösung in Tabellenform:
Lösung mit der Proportionalitätskonstanten:
Bei der indirekten Proportionalität (umgekehrte Proportionalität, Antiproportionalität) ist das Produkt zweier Größen immer konstant. Dieses Produkt wird als Proportionalitätskonstante bezeichnet und es gilt:
$x⋅y=k\;\text{oder}\; y=\dfrac{k}{x}\;\text{und}\;x=\dfrac{k}{y}$
Benutze das gegebene erste Wertepaar, um $k$ zu berechnen:
$k=x\cdot y=2\cdot 30=60$
Berechne nun mit den angegebenen Formeln die fehlenden Größen:
Beim $2$ . Wertepaar ist $x=4\;\Rightarrow\;y=\dfrac{60}{4}=15 \;\Rightarrow\;(4|15)$
Beim $3$ . Wertepaar ist $y=7{,}5\;\Rightarrow\;x=\dfrac{60}{7{,}5}=8\;\Rightarrow\;(8|7{,}5)$
Beim 4. Wertepaar ist $x=12\;\Rightarrow\;y=\dfrac{60}{12}=5\;\Rightarrow\;(12|5)$
Beim $5$ . Wertepaar ist $y=20\;\Rightarrow\;x=\dfrac{60}{20}=3\;\Rightarrow\;(3|20)$

Die Aufräumarbeiten nach einem Fest können von 14 Leuten in $3\frac12$ Stunden erledigt werden.

Wie viele Personen müssen zusätzlich helfen, um die Arbeit in 2 Stunden zu schaffen?

Die Aufräumarbeiten werden zunächst von 14 Leuten begonnen. Nach 3 Stunden gehen 12 Helfer (um den letzten Zug zu erreichen) und die verbleibenden 2 Helfer erledigen den Rest.
Wie lange haben die 2 Helfer bis zum Ende insgesamt bearbeitet?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Indirekte Proportionalität
Lösung
14 Leute benötigen für die Arbeit insgesamt $3{,}5~\text{h}$ .
Nach 3 Stunden gehen 12 der 14 Leute. Die 14 Personen würden zusammen noch 30 Minuten benötigen. Überlege, wie lange die 2 für die Restarbeit noch benötigen.
$\Rightarrow$ Wenn 14 Personen für die Restarbeit noch 30 Minuten benötigen, beträgt die Dauer der Restarbeit noch 7 Arbeitsstunden.
Auf zwei Personen aufgeteilt, bedeutet dies eine weitere Arbeitszeit von $7~\text{h}:2=3{,}5~\text{h}$ für jeden der beiden.
Da nach der Gesamtarbeitszeit für jeden dieser beiden Arbeiter gefragt ist, addiere diese $3{,}5~\text{h}$ zu den $3~\text{h}$ , die sie schon vorher gearbeitet haben.
$3,5 h + 3 h = 6,5 h$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die 2 Leute müssen also insgesamt jeweils $6{,}5~\text{h}$ arbeiten.
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3
Ein Schwimmbecken wird von drei Leitungen befüllt, die jeweils dieselbe Menge Wasser pro Stunde in das Becken leiten. Sie benötigen zusammen 3 Stunden und 15 Minuten, um das Becken zu füllen.
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: indirekte Proportionalität
  3 Leitungen benötigen 3 Stunden und 15 Minuten
  Dividiere die benötigte Zeit durch 2, da sich die Anzahl der Leitungen verdoppelt hat.
  $3 \cdot 2 3 ⋅ 2$ Leitungen benötigen $\frac{3 \text{h} + 15 \text{min}}{2}= \frac{3 \text{h}}{2}+\frac{15 \text{min}}{2}$
  $6$ Leitungen benötigen $1{,}5 \text{h} + 7{,}5 \text{min}$
  Rechne die benötigten Minuten und Stunden zusammen.
  $\displaystyle 1{,}5 \text{h} + 7{,}5 \text{min} = 1 \text{h} 30 \text{min} + 7{,}5 \text{min} = 1 \text{h} 37{,}5 \text{min}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Bei der doppelten Anzahl an Leitungen, wird die halbe Zeit benötigt, das sind 1 Stunde ,37 Minuten und 30 Sekunden.
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2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: indirekte Proportionalität
  Die zwei neuen, langsamen Leitungen arbeiten genauso schnell wie eine normale. Dies bedeutet, dass jetzt 4 Leitungen anstatt drei Wasser pumpen.
  Drei Leitungen brauchen 3 Stunden und 15 Minuten. Dann würde eine Leitung dreimal soviel Zeit brauchen (also Zeit mal 3 nehmen). Vier Leitungen schaffen es viermal so schnell wie eine Leitung (also anschließend durch vier teilen).
  $\displaystyle 3{,}25\cdot\frac34=\frac{13}4\cdot\frac34=\frac{39}{16}=2\frac7{16}$
  Das Ergebnis muss nur noch in Minuten und Sekunden ausgedrückt werden. Dafür multiplizierst du den Bruch mit 60.
  $\displaystyle \frac7{16}\cdot60=\frac{420}{16}=\frac{105}4=26{,}25$
  0,25 Minuten entsprechen 15 Sekunden, weil 0,25 ein Viertel von eins und 15 Sekunden ein Viertel von einer Minute (60 Sekunden) ist.
  Antwort: Das Becken ist nach 2 Stunden, 26 Minuten und 15 Sekunden befüllt.
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3. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: indirekte Proportionalität
  Normalerweise würden die Pumpen jetzt noch 2 Stunden und 15 Minuten benötigen, um das Becken vollzumachen. Es arbeitet aber in diesem Zeitraum nur eine statt 3 Pumpen. Diese benötigt die dreifache Zeit.
  Rechne daher die verbliebene Zeit mal 3.
  $\displaystyle 2{,}25 \cdot3 =6.75$
  Das Ergebnis muss nur noch in Sekunden und Minuten ausgedrückt werden:
  0,75 Stunden entsprechen 45 Minuten, weil 0,75 drei Viertel von eins und 45 drei Viertel von 60 ist.
  Die Pumpen haben bereits eine Stunde gearbeitet. Diese muss dem Ergebnis von 6 Stunden und 45 Minuten noch hinzugefügt werden.
  Antwort: Die Pumpen benötigen 7 Stunden und 45 Minuten, wenn zwei nach einer Stunde abgeschaltet werden.
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4
Folgende Tabelle gibt den Zusammenhang zwischen Länge $l$ und Breite $b$ von Rechtecken wieder, die den gleichen Flächeninhalt besitzen.
Länge $l$
40
10
7,5
Breite $b$
25
200
250
1. Vervollständige die Tabelle und stelle den Zusammenhang graphisch dar.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
  Bestimme zunächst den Flächeninhalt des Rechtecks. Diesen kann man als Flächeninhalt des Rechtecks mit Länge $10$ und Breite $200$ bestimmen. Dieser Flächeninhalt beträgt also $2.000$ Einheiten.
  Länge $l$
  80
  40
  10
  8
  7,5
  Breite $b$
  25
  50
  200
  250
  266,67
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2. Gib einen Term für die Abhängigkeit der Breite $b$ von der Länge $l$ an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
  Die Abhängigkeit der Breite von der Länge lässt sich folgendermaßen darstellen: $b = 2000 : l$ .
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Länge $l$		40	10		7,5
Breite $b$	25		200	250

Länge $l$	80	40	10	8	7,5
Breite $b$	25	50	200	250	266,67

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 14~\text{Leute}$	$≘$	$\displaystyle 3{,}5 ~\text{Stunden}$
	↓	Multipliziere die Anzahl der Leute mit 3,5 um auszurechnen, wie viele Leute die Aufräumarbeiten in einer Stunde schaffen.
$\displaystyle 14\cdot3{,}5~\text{Leute}$	$≘$	$\displaystyle 1~\text{h}$
$\displaystyle 49~\text{Leute}$	$≘$	$\displaystyle 1~\text{h}$
	↓	Dividere die Anzahl der Arbeiter durch 2, um auszurechnen, wie viele Arbeiter benötigt würden, um die Arbeit in zwei Stunden zu schaffen.
$\displaystyle 49:2 ~\text{Leute}$	$≘$	$\displaystyle 2~\text{h}$

Aufgaben zur indirekten Proportionalität

Lösung in Tabellenform:

Lösung mit der Proportionalitätskonstanten:

Lösung

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