Aufgaben zur indirekten Proportionalität

Lerne mit diesen gemischten Aufgaben, indirekt proportionale Zusammenhänge zu erkennen und teste dein Wissen!

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Die folgende Wertetabelle enthält indirekt proportionale (umgekehrte/antiproportionale) Wertepaare. Ergänze die fehlenden Werte.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Indirekte Proportionalität
Lösung in Tabellenform:
Lösung mit der Proportionalitätskonstanten:
Bei der indirekten Proportionalität (umgekehrte Proportionalität, Antiproportionalität) ist das Produkt zweier Größen immer konstant. Dieses Produkt wird als Proportionalitätskonstante bezeichnet und es gilt:
$x⋅y=k\;\text{oder}\; y=\dfrac{k}{x}\;\text{und}\;x=\dfrac{k}{y}$
Benutze das gegebene erste Wertepaar, um $k$ zu berechnen:
$k=x\cdot y=2\cdot 30=60$
Berechne nun mit den angegebenen Formeln die fehlenden Größen:
Beim $2$ . Wertepaar ist $x=4\;\Rightarrow\;y=\dfrac{60}{4}=15 \;\Rightarrow\;(4|15)$
Beim $3$ . Wertepaar ist $y=7{,}5\;\Rightarrow\;x=\dfrac{60}{7{,}5}=8\;\Rightarrow\;(8|7{,}5)$
Beim 4. Wertepaar ist $x=12\;\Rightarrow\;y=\dfrac{60}{12}=5\;\Rightarrow\;(12|5)$
Beim $5$ . Wertepaar ist $y=20\;\Rightarrow\;x=\dfrac{60}{20}=3\;\Rightarrow\;(3|20)$

Die Aufräumarbeiten nach einem Fest können von 14 Leuten in $3\frac12$ Stunden erledigt werden.

Wie viele Personen müssen zusätzlich helfen, um die Arbeit in 2 Stunden zu schaffen?

Die Aufräumarbeiten werden zunächst von 14 Leuten begonnen. Nach 3 Stunden gehen 12 Helfer (um den letzten Zug zu erreichen) und die verbleibenden 2 Helfer erledigen den Rest.
Wie lange haben die 2 Helfer bis zum Ende insgesamt bearbeitet?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Indirekte Proportionalität
Lösung
14 Leute benötigen für die Arbeit insgesamt $3{,}5~\text{h}$ .
Nach 3 Stunden gehen 12 der 14 Leute. Die 14 Personen würden zusammen noch 30 Minuten benötigen. Überlege, wie lange die 2 für die Restarbeit noch benötigen.
$\Rightarrow$ Wenn 14 Personen für die Restarbeit noch 30 Minuten benötigen, beträgt die Dauer der Restarbeit noch 7 Arbeitsstunden.
Auf zwei Personen aufgeteilt, bedeutet dies eine weitere Arbeitszeit von $7~\text{h}:2=3{,}5~\text{h}$ für jeden der beiden.
Da nach der Gesamtarbeitszeit für jeden dieser beiden Arbeiter gefragt ist, addiere diese $3{,}5~\text{h}$ zu den $3~\text{h}$ , die sie schon vorher gearbeitet haben.
$3{,}5h+3h=6{,}5h$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die 2 Leute müssen also insgesamt jeweils $6{,}5~\text{h}$ arbeiten.
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Ein Schwimmbecken wird von drei Leitungen befüllt, die jeweils dieselbe Menge Wasser pro Stunde in das Becken leiten. Sie benötigen zusammen 3 Stunden und 15 Minuten, um das Becken zu füllen.
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: indirekte Proportionalität
  3 Leitungen benötigen 3 Stunden und 15 Minuten
  Dividiere die benötigte Zeit durch 2, da sich die Anzahl der Leitungen verdoppelt hat.
  $3 ⋅ 2$ Leitungen benötigen $\frac{3 \text{h} + 15 \text{min}}{2}= \frac{3 \text{h}}{2}+\frac{15 \text{min}}{2}$
  $6$ Leitungen benötigen $1{,}5 \text{h} + 7{,}5 \text{min}$
  Rechne die benötigten Minuten und Stunden zusammen.
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Bei der doppelten Anzahl an Leitungen, wird die halbe Zeit benötigt, das sind 1 Stunde ,37 Minuten und 30 Sekunden.
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2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: indirekte Proportionalität
  Die zwei neuen, langsamen Leitungen arbeiten genauso schnell wie eine normale. Dies bedeutet, dass jetzt 4 Leitungen anstatt drei Wasser pumpen.
  Drei Leitungen brauchen 3 Stunden und 15 Minuten. Dann würde eine Leitung dreimal soviel Zeit brauchen (also Zeit mal 3 nehmen). Vier Leitungen schaffen es viermal so schnell wie eine Leitung (also anschließend durch vier teilen).
  Das Ergebnis muss nur noch in Minuten und Sekunden ausgedrückt werden. Dafür multiplizierst du den Bruch mit 60.
  0,25 Minuten entsprechen 15 Sekunden, weil 0,25 ein Viertel von eins und 15 Sekunden ein Viertel von einer Minute (60 Sekunden) ist.
  Antwort: Das Becken ist nach 2 Stunden, 26 Minuten und 15 Sekunden befüllt.
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3. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: indirekte Proportionalität
  Normalerweise würden die Pumpen jetzt noch 2 Stunden und 15 Minuten benötigen, um das Becken vollzumachen. Es arbeitet aber in diesem Zeitraum nur eine statt 3 Pumpen. Diese benötigt die dreifache Zeit.
  Rechne daher die verbliebene Zeit mal 3.
  Das Ergebnis muss nur noch in Sekunden und Minuten ausgedrückt werden:
  0,75 Stunden entsprechen 45 Minuten, weil 0,75 drei Viertel von eins und 45 drei Viertel von 60 ist.
  Die Pumpen haben bereits eine Stunde gearbeitet. Diese muss dem Ergebnis von 6 Stunden und 45 Minuten noch hinzugefügt werden.
  Antwort: Die Pumpen benötigen 7 Stunden und 45 Minuten, wenn zwei nach einer Stunde abgeschaltet werden.
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4
Folgende Tabelle gibt den Zusammenhang zwischen Länge $l$ und Breite $b$ von Rechtecken wieder, die den gleichen Flächeninhalt besitzen.
Länge $l$
40
10
7,5
Breite $b$
25
200
250
1. Vervollständige die Tabelle und stelle den Zusammenhang graphisch dar.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
  Bestimme zunächst den Flächeninhalt des Rechtecks. Diesen kann man als Flächeninhalt des Rechtecks mit Länge $10$ und Breite $200$ bestimmen. Dieser Flächeninhalt beträgt also $2.000$ Einheiten.
  Länge $l$
  80
  40
  10
  8
  7,5
  Breite $b$
  25
  50
  200
  250
  266,67
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2. Gib einen Term für die Abhängigkeit der Breite $b$ von der Länge $l$ an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
  Die Abhängigkeit der Breite von der Länge lässt sich folgendermaßen darstellen: $b=2000:l$ .
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Länge $l$		40	10		7,5
Breite $b$	25		200	250

Länge $l$	80	40	10	8	7,5
Breite $b$	25	50	200	250	266,67

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 14~\text{Leute}$	$≙$	$\displaystyle 3{,}5 ~\text{Stunden}$
	↓	Multipliziere die Anzahl der Leute mit 3,5 um auszurechnen, wie viele Leute die Aufräumarbeiten in einer Stunde schaffen.
$\displaystyle 14\cdot3{,}5~\text{Leute}$	$≙$	$\displaystyle 1~\text{h}$
$\displaystyle 49~\text{Leute}$	$≙$	$\displaystyle 1~\text{h}$
	↓	Dividere die Anzahl der Arbeiter durch 2, um auszurechnen, wie viele Arbeiter benötigt würden, um die Arbeit in zwei Stunden zu schaffen.
$\displaystyle 49:2 ~\text{Leute}$	$≙$	$\displaystyle 2~\text{h}$

Aufgaben zur indirekten Proportionalität

Lösung in Tabellenform:

Lösung mit der Proportionalitätskonstanten:

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