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Beschränktes exponentielles Wachstum

Als beschränktes oder begrenztes Wachstum wird ein Wachstum bezeichnet, das durch eine natürliche Schranke (auch Kapazitätsgrenze oder Sättigungsgrenze SS genannt) begrenzt ist.

Der Funktionsterm, der das nach oben beschränkte Wachstum beschreibt, besitzt die Struktur:

Wobei

  • B(t)B\left(t\right) den Bestand nach einer Zeit tt ist,

  • B0B_0 den Anfangswert f(0)f\left(0\right) bezeichnet,

  • aa die Wachstumsrate bezeichnet, die auch mithilfe der Basis ee umformuliert werden kann

  • tt die Zeit ist, die in die Funktion eingesetzt werden kann.

Schranken

Solche Schranken können z.B. sein:

  • fehlender Raum: Platz für Seerosen in einem Teich,

  • begrenzte Ressourcen: fehlendes Futter für Waldtiere,

  • eine nicht zu über - oder unterschreitende Umgebungstemperatur.

Das Wachstum kann sowohl nach oben (beschränkte Zunahme) als auch nach unten (beschränkte Schrumpfung oder Abnahme) beschränkt sein.

 nach oben beschränktes exponentielles Wachstum

Bei nach oben beschränktem Wachstum wird die Schranke SS nicht überschritten.

Die Schranke SS ist eine Asymptote, d.h. die Wachstumsfunktion nähert sich asymptotisch der Schranke SS. Es gilt: limtB(t)=S \displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}B(t)=S

nach unten beschränktes exponentielles Wachstum

Bei nach unten beschränktem Wachstum wird die Schranke SS nicht unterschritten.

Die Schranke SS ist eine Asymptote, d.h. die Wachstumsfunktion nähert sich asymptotisch der Schranke SS. Es gilt: limtB(t)=S \displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}B(t)=S

Die Wachstumsfunktion

Die Wachstumsfunktion für ein nach oben beschränktes exponentielles Wachstum (S>B0)(S>B_0) lautet:

Bei Verwendung der ee-Funktion erhält man:

Dabei ist k=ln(a)k=-\ln(a) und k>0k>0.

Die Wachstumsfunktion für ein nach unten beschränktes exponentielles Wachstum (S<B0)(S<B_0) lautet:

Bei Verwendung der ee-Funktion erhält man:

Dabei ist k=ln(a)k=-\ln(a) und k>0k>0.

Es gilt immer:

  • B(t)B(t): ist der Bestand zur Zeit tt,

  • aa: ist der Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor,

  • kk: ist die Wachstumskonstante, 

  • SS: ist die Sättigungsgrenze (Schranke),

  • B0B_0​: ist der Anfangsbestand zur Zeit t=0t=0, also der Startwert.

Einführungsbeispiel zum nach oben beschränkten exponentiellen Wachstum

An der Albrecht-Dürer-Schule mit 12001200 Schülern wird das Gerücht verbreitet: "Der Vertrauenslehrer Herr Meyer heiratet in den Sommerferien eine Kollegin." Am Anfang kennen das Gerücht 1010 Schüler, von denen jeder das Gerücht weiterverbreitet. Nach einigen Tagen hat sich das Gerücht schon stark ausgebreitet, wie aus der folgenden Tabelle zu erkennen ist.

In der Tabelle sind sowohl die Schüler, die das Gerücht kennen B(t)B(t), als auch jene Schüler, die das Gerücht noch nicht kennen R(t)R(t) aufgeführt. In einer weiteren Spalte wurde jeweils der Quotient aus zwei aufeinanderfolgenden Restwerten berechnet. Dieser Quotient erweist sich als konstant.

tt (in Tagen)

B(t)B(t)

(Anzahl der Schüler, die das Gerücht kennen)

R(t)=SB(t)R(t)=S-B(t)

(Anzahl der Schüler, die das Gerücht noch nicht kennen)

R(t)R(t1)\dfrac{R(t)}{R(t-1)}

0

10

1190

1

486

714

0,6

2

772

428

0,6

3

943

257

0,6

4

1046

156

0,6

....

....

....

....

8

1180

20

0,6

9

1188

12

0,6

10

1193

7

0,6

....

....

....

....

In der graphischen Darstellung sind die Punkte P(tB(t))\textcolor{006400}{P(t|B(t))} und die Reste R0\textcolor{ff6600}{R_0} bis R10\textcolor{ff6600}{R_{10}} (Anzahl der Schüler, die das Gerücht noch nicht kennen) eingetragen.

Bestandswerte und Sättigungsmanko

Werden die Reste R(t)R(t) über der Zeit aufgetragen, so erkennt man, dass die Reste exponentiell abnehmen.

exponentielle Abnahme der Reste R(t)

Aus der obigen Tabelle kann man entnehmen, dass der Quotient aus zwei aufeinanderfolgenden Restwerten R(t)R(t1)=0,6 \dfrac{R(t)}{R(t-1)}=0{,}6 ist.

Der Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor ist also a=0,6a=0{,}6.

Für die exponentielle Abnahme der Reste R(t) R(t) gilt dann:

R(t)\displaystyle R(t)==cat\displaystyle c\cdot a^t

Setze a=0,6a=0{,}6 ein.

==c0,6t\displaystyle c\cdot 0{,}6^t

Setze R(t)=SB(t)R(t)=S-B(t).

SB(t)\displaystyle S-B(t)==c0,6t\displaystyle c\cdot 0{,}6^t+B(t)c0,6t\displaystyle +B(t)-c\cdot 0{,}6^t

Löse nach B(t)B(t) auf.

Sc0,6t\displaystyle S-c\cdot 0{,}6^t==B(t)\displaystyle B(t)

Der Parameter cc wird über die Anfangsbedingung bestimmt.

Setze t=0t=0 ein.

Sc0,60\displaystyle S-c\cdot 0{,}6^0==B(0)\displaystyle B(0)

B(0)=B0B(0)=B_0 und 0,60=1 0{,}6^0=1.

Sc1\displaystyle S-c\cdot 1==B0\displaystyle B_0+cB0\displaystyle +c-B_0

Löse nach cc auf.

SB0\displaystyle S-B_0==c\displaystyle c

Die Konstante c=SB0c=S-B_0 wird in B(t)=Sc0,6tB(t)=S-c\cdot 0{,}6^t eingesetzt und man erhält die Wachstumsfunktion für ein nach oben beschränktes exponentielles Wachstum:

Aus dem Aufgabentext entnimmt man die Werte für den Anfangswert B0=10B_0=10 und die Schranke S=1200S=1200. Mit diesen Werten folgt dann:

B(t)\displaystyle B(t)==S(SB0)0,6t\displaystyle S-(S-B_0)\cdot 0{,}6^t

Setze B0=10B_0=10 und S=1200 S=1200 ein.

==1200(120010)0,6t\displaystyle 1200-(1200-10)\cdot0{,}6^t

Vereinfache.

==120011900,6t\displaystyle 1200-1190\cdot0{,}6^t

Man hat nun die folgende Wachstumsfunktion erhalten:

Wird die Wachstumsfunktion mithilfe der ee-Funktion dargestellt, dann erhält man:

B(t)\displaystyle B(t)==S(SB0)ekt\displaystyle S-(S-B_0)\cdot e^{-k\cdot t}

Dabei ist k=ln(a)k=-\ln(a) und k>0k>0.

Setze B0=10B_0=10, S=1200 S=1200 und k=ln(0,6)0,5108k=-\ln(0{,}6)\approx 0{,}5108 ein.

==1200(120010)e0,5108t\displaystyle 1200-(1200-10)\cdot e^{-0{,}5108\cdot t}

Vereinfache.

==12001190e0,5108t\displaystyle 1200-1190\cdot e^{-0{,}5108\cdot t}

Die Wachstumsfunktion lautet nun:

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen


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