Beschränktes exponentielles Wachstum

Als beschränktes oder begrenztes Wachstum wird ein Wachstum bezeichnet, das durch eine natürliche Schranke (auch Kapazitätsgrenze oder Sättigungsgrenze $S$ genannt) begrenzt ist.

Der Funktionsterm, der das nach oben beschränkte Wachstum beschreibt, besitzt die Struktur:

\displaystyle B\left(t\right)=S-\left(S-B_0\right)\cdot a^t

Wobei

$B\left(t\right)$ den Bestand nach einer Zeit $t$ ist,
$B_0$ den Anfangswert $f\left(0\right)$ bezeichnet,
$a$ die Wachstumsrate bezeichnet, die auch mithilfe der Basis $e$ umformuliert werden kann
$t$ die Zeit ist, die in die Funktion eingesetzt werden kann.

Schranken

Solche Schranken können z.B. sein:

fehlender Raum: Platz für Seerosen in einem Teich,
begrenzte Ressourcen: fehlendes Futter für Waldtiere,
eine nicht zu über - oder unterschreitende Umgebungstemperatur.

Das Wachstum kann sowohl nach oben (beschränkte Zunahme) als auch nach unten (beschränkte Schrumpfung oder Abnahme) beschränkt sein.

nach oben beschränktes exponentielles Wachstum

Bei nach oben beschränktem Wachstum wird die Schranke $S$ nicht überschritten.

Die Schranke $S$ ist eine Asymptote, d.h. die Wachstumsfunktion nähert sich asymptotisch der Schranke $S$ . Es gilt: $\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}B(t)=S$

nach unten beschränktes exponentielles Wachstum

Bei nach unten beschränktem Wachstum wird die Schranke $S$ nicht unterschritten.

Die Schranke $S$ ist eine Asymptote, d.h. die Wachstumsfunktion nähert sich asymptotisch der Schranke $S$ . Es gilt: $\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}B(t)=S$

Die Wachstumsfunktion

Die Wachstumsfunktion für ein nach oben beschränktes exponentielles Wachstum $(S>B_0)$ lautet:

\displaystyle B\left(t\right)=S-\left(S-B_0\right)\cdot a^t

Bei Verwendung der $e$ -Funktion erhält man:

\displaystyle B\left(t\right)=S-\left(S-B_0\right)\cdot a^t

Dabei ist $k=-\ln(a)$ und $k>0$ .

Die Wachstumsfunktion für ein nach unten beschränktes exponentielles Wachstum $(S<B_0)$ lautet:

\displaystyle B\left(t\right)=S-\left(S-B_0\right)\cdot a^t

Bei Verwendung der $e$ -Funktion erhält man:

\displaystyle B\left(t\right)=S-\left(S-B_0\right)\cdot a^t

Dabei ist $k=-\ln(a)$ und $k>0$ .

Es gilt immer:

$B(t)$ : ist der Bestand zur Zeit $t$ ,
$a$ : ist der Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor,
$k$ : ist die Wachstumskonstante,
$S$ : ist die Sättigungsgrenze (Schranke),
$B_0$ : ist der Anfangsbestand zur Zeit $t=0$ , also der Startwert.

Einführungsbeispiel zum nach oben beschränkten exponentiellen Wachstum

An der Albrecht-Dürer-Schule mit $1200$ Schülern wird das Gerücht verbreitet: "Der Vertrauenslehrer Herr Meyer heiratet in den Sommerferien eine Kollegin." Am Anfang kennen das Gerücht $10$ Schüler, von denen jeder das Gerücht weiterverbreitet. Nach einigen Tagen hat sich das Gerücht schon stark ausgebreitet, wie aus der folgenden Tabelle zu erkennen ist.

In der Tabelle sind sowohl die Schüler, die das Gerücht kennen $B(t)$ , als auch jene Schüler, die das Gerücht noch nicht kennen $R(t)$ aufgeführt. In einer weiteren Spalte wurde jeweils der Quotient aus zwei aufeinanderfolgenden Restwerten berechnet. Dieser Quotient erweist sich als konstant.

$t$ (in Tagen)	$B(t)$ (Anzahl der Schüler, die das Gerücht kennen)	$R(t)=S-B(t)$ (Anzahl der Schüler, die das Gerücht noch nicht kennen)	$\dfrac{R(t)}{R(t-1)}$
0	10	1190
1	486	714	0,6
2	772	428	0,6
3	943	257	0,6
4	1046	156	0,6
....	....	....	....
8	1180	20	0,6
9	1188	12	0,6
10	1193	7	0,6
....	....	....	....

In der graphischen Darstellung sind die Punkte $\textcolor{006400}{P(t|B(t))}$ und die Reste $\textcolor{ff6600}{R_0}$ bis $\textcolor{ff6600}{R_{10}}$ (Anzahl der Schüler, die das Gerücht noch nicht kennen) eingetragen.

Werden die Reste $R(t)$ über der Zeit aufgetragen, so erkennt man, dass die Reste exponentiell abnehmen.

Aus der obigen Tabelle kann man entnehmen, dass der Quotient aus zwei aufeinanderfolgenden Restwerten $\dfrac{R(t)}{R(t-1)}=0{,}6$ ist.

Der Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor ist also $a=0{,}6$ .

Für die exponentielle Abnahme der Reste $R(t)$ gilt dann:

$\displaystyle R(t)$	$=$	$\displaystyle c\cdot a^t$
	↓	Setze $a=0{,}6$ ein.
	$=$	$\displaystyle c\cdot 0{,}6^t$
	↓	Setze $R(t)=S-B(t)$ .
$\displaystyle S-B(t)$	$=$	$\displaystyle c\cdot 0{,}6^t$	$\displaystyle +B(t)-c\cdot 0{,}6^t$
	↓	Löse nach $B(t)$ auf.
$\displaystyle S-c\cdot 0{,}6^t$	$=$	$\displaystyle B(t)$
	↓	Der Parameter $c$ wird über die Anfangsbedingung bestimmt. Setze $t=0$ ein.
$\displaystyle S-c\cdot 0{,}6^0$	$=$	$\displaystyle B(0)$
	↓	$B(0)=B_0$ und $0{,}6^0=1$ .
$\displaystyle S-c\cdot 1$	$=$	$\displaystyle B_0$	$\displaystyle +c-B_0$
	↓	Löse nach $c$ auf.
$\displaystyle S-B_0$	$=$	$\displaystyle c$

Die Konstante $c=S-B_0$ wird in $B(t)=S-c\cdot 0{,}6^t$ eingesetzt und man erhält die Wachstumsfunktion für ein nach oben beschränktes exponentielles Wachstum:

\displaystyle B\left(t\right)=S-\left(S-B_0\right)\cdot a^t

Aus dem Aufgabentext entnimmt man die Werte für den Anfangswert $B_0=10$ und die Schranke $S=1200$ . Mit diesen Werten folgt dann:

$\displaystyle B(t)$	$=$	$\displaystyle S-(S-B_0)\cdot 0{,}6^t$
	↓	Setze $B_0=10$ und $S=1200$ ein.
	$=$	$\displaystyle 1200-(1200-10)\cdot0{,}6^t$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 1200-1190\cdot0{,}6^t$

Man hat nun die folgende Wachstumsfunktion erhalten:

\displaystyle B\left(t\right)=S-\left(S-B_0\right)\cdot a^t

Wird die Wachstumsfunktion mithilfe der $e$ -Funktion dargestellt, dann erhält man:

$\displaystyle B(t)$	$=$	$\displaystyle S-(S-B_0)\cdot e^{-k\cdot t}$
	↓	Dabei ist $k=-\ln(a)$ und $k>0$ . Setze $B_0=10$ , $S=1200$ und $k=-\ln(0{,}6)\approx 0{,}5108$ ein.
	$=$	$\displaystyle 1200-(1200-10)\cdot e^{-0{,}5108\cdot t}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 1200-1190\cdot e^{-0{,}5108\cdot t}$

Die Wachstumsfunktion lautet nun:

\displaystyle B\left(t\right)=S-\left(S-B_0\right)\cdot a^t

Übungsaufgaben: Beschränktes exponentielles Wachstum

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

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