$\ a.)\ V_{\text{Kugel}}=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3\qquad\Rightarrow\qquad V_{\text{Kugel}}=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot(5{,}5\ mm)^3\quad\Rightarrow\quad V_{\text{Kugel}}=696{,}56\ mm^3$

$\hspace{6mm}V_{\text{Halbk}}=\dfrac{V_{\text{Kugel}}}{2}\hspace{10mm}\Rightarrow\hspace{5mm} \ \ V_{\text{Halbk}}=\dfrac{696{,}56\ mm^3}{2}\hspace{10mm}\Rightarrow\hspace{4mm}V_{\text{Halbk}}=348{,}28\ mm^3$

$\ b.)\ V_{\text{kl.Kugel}}=\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot (2{,}25\ mm)^3\quad\Rightarrow\quad V_{\text{kl.Kugel}}= 47{,}69\ mm^3$

$\hspace{6mm}$Volumen der $8$ kleinen Kugeln in $mm^3:$

$\hspace{6mm}V_{\text{8 kl.Kugel}}= 47{,}69\ mm^3\cdot8=381{,}51\ mm^3$

$c.)\ V_{Goldkugel}=V_{8 kl. Kugel}-V_{Kugel}\quad\Rightarrow\quad V_{Goldkugel}=381{,}51\ mm^3-348{,}28\ mm^3\\\hspace{4.5mm}V_{Goldkugel}=33{,}23\ mm^3$

$d.)\ V_{Goldkugel}=\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3\quad\Rightarrow\quad r=\sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}\quad\Rightarrow\quad r=\sqrt[3]{\dfrac{3\cdot33{,}23\ mm^3}{4\pi}}\\\hspace{5mm}r=1{,}99\ mm$

$\hspace{5mm}$Der Radius der neuen Goldkugel beträgt: $\\\hspace{5mm}r\approx2\ mm$