Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$N\left(t\right)=N_0\cdot (1-p{)}^t$

$N(t)=63750N_0=85000t=19\text{Jahre}$setze die Werte in die Formel ein.

$63750=85000\cdot (1-p{)}^{19}$

${\displaystyle \frac{63750}{85000}}=(1-p{)}^{19}$

$(1-p{)}^{19}={\displaystyle \frac{63750}{85000}}$

$(1-p)=\sqrt[19]{{\displaystyle \frac{63750}{85000}}}$

$1-p=\mathrm{0,985}\Rightarrow -p=\mathrm{0,985}-1$

$p=\mathrm{0,015}$

Die durchschnittliche Abnahme pro Jahr beträgt $\approx \mathrm{1,5}\%$

Die Formel für das exponentielle Wachstum lautet:

$N\left(t\right)=N_0\cdot (1+p{)}^t$

$N_t=85000p=\mathrm{2,9}\%N_0=678000$setzte die Werte in die Formel ein.

$85000=67800\cdot (1+\mathrm{0,029}{)}^t$

${\displaystyle \frac{85000}{67800}}=(\mathrm{1,029}{)}^t\Rightarrow (\mathrm{1,029}{)}^t=\mathrm{1,254}$

Berechne $\text{t}$ mit Hilfe des Logarithmus.

${\log }_{\mathrm{1,029}}(\mathrm{1,254})=t$

$t={\displaystyle \frac{lg\mathrm{1,254}}{lg\mathrm{1,029}}}\Rightarrow t={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0983}}{\mathrm{0,0124}}}\Rightarrow t=\mathrm{7,9}$

Nach ungefähr $8$ Jahren hätte der Verein wieder den Mitgliederstand vom $1$. Januar $1998$ erreicht.

Die Formel für das exponentielle Wachstum lautet:

$N_t=N_0\cdot (1+p{)}^t$

$N_0=678000p=\mathrm{3,3}\%t=11\text{Jahre}$setze die Werte in die Formel ein.

$N_{11}=678000\cdot (1+\mathrm{0,033}{)}^{11}$

$N_{11}=678000\cdot {\mathrm{1,033}}^{11}$

$N_{11}=678000\cdot \mathrm{1,429}$

$N_{11}=\mathrm{96902,109}$

Die voraussichtliche Mitgliederzahl am $1$. Januar $2030$: $N_{11}\approx 96902$