Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung
Untersuche die Funktion rechnerisch auf lokale Extrema.
Um auf lokale Extrema zu untersuchen benötigt man die ersten beiden Ableitungen:
Damit ein lokales Extremum existiert, muss die notwendige Bedingung erfĂŒllt sein:
Damit gibt es zwei Kandidaten fĂŒr lokale Extrema. Falls die zweite Ableitung bei einem gefundenen Kandidaten ungleich Null ist, ist die hinreichende Bedingung erfĂŒllt und es ist nachgewiesen, dass es sich um lokale Extremstellen handelt:
Das ist echt kleiner als Null. Damit ist â eine lokale Extremstelle. Da die zweite Ableitung kleiner Null ist, muss hier ein Maximum vorliegen. Um den Extrempunkt angeben zu können muss man nun noch â in die Funktionsgleichung einsetzen:
Also ist ein lokales Maximum gefunden:
FĂŒr das gleiche Vorgehen:
Das ist echt gröĂer als Null. Damit ist â eine lokale Extremstelle. Da die zweite Ableitung gröĂer Null ist, muss hier ein Minimum vorliegen. Um den Extrempunkt angeben zu können muss man nun noch â in die Funktionsgleichung einsetzen:
Also ist ein lokales Minimum gefunden:
FĂŒr das gleiche Vorgehen:
Das ist echt gröĂer als Null. Damit ist â eine lokale Extremstelle. Da die zweite Ableitung gröĂer Null ist, muss hier ein Minimum vorliegen. Um den Extrempunkt angeben zu können muss man nun noch â in die Funktionsgleichung einsetzen:
Also ist ein weiteres lokales Minimum gefunden:
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Untersuche, ob die unter a) gefundenen lokalen Extrema auch globale Extrema sind.
Da , kann kein globales Maximum sein.
Da , kann bei kein globales Minimum sein.
Nun ist nur noch zu prĂŒfen, ob bei ein globales Minimum vorliegt. Wenn bei ein globales Minimum wĂ€re, wĂŒrde gelten fĂŒr alle aus dem Definitionsbereich. Wir nehmen mal an, dass dies nicht so ist. Dann mĂŒsste es geben, fĂŒr die gilt:
Durch folgende Ăberlegung kann man aber nachweisen, dass es keine x-Werte kleiner als geben kann:
und
Die Funktion ist wie jede ganzrationale Funktion stetig.
Die Funktion kann nur drei Extrema besitzen (siehe notwendige Bedingung aus Aufgabe a)).
Sollte es noch Werte kleiner als geben, mĂŒsste die Funktion aber noch ein Minimum haben da sie stetig ist und das angegebenen Verhalten im Unendlichen hat. SchlieĂlich muss sie wieder "hinauf". Bei muss demnach ein globales Minimum vorliegen.
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