Um auf lokale Extrema zu untersuchen benötigt man die ersten beiden Ableitungen:

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=4x^3-3x^2-2xf\text{'}\backslash left(x\backslash right)=4x^3-3x^2-2x$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(x\right)=12x^2-6x-2f\text{'}\text{'}\backslash left(x\backslash right)=12x^2-6x-2$

Damit ein lokales Extremum existiert, muss die notwendige Bedingung $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)=0$ erfüllt sein:

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=0f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=0$

$4x^3-3x^2-2x=04x^3-3x^2-2x=0$

$4x(x^2-\frac{3}{4}x-\frac{1}{2})=04x\backslash left(x^2-\backslash frac\{3\}\{4\}x-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)=0$

$x_1=0x\_1=0$

$x_2=\frac{3}{8}+\sqrt{{\left(\frac{3}{8}\right)}^2+\frac{1}{2}}=\frac{3}{8}+\sqrt{\frac{41}{64}}=\frac{3+\sqrt{41}}{8}\approx 1.18x\_2=\backslash frac\{3\}\{8\}+\backslash sqrt\{\backslash left(\backslash frac\{3\}\{8\}\backslash right)^2+\backslash frac\{1\}\{2\}\}=\backslash frac\{3\}\{8\}+\backslash sqrt\{\backslash frac\{41\}\{64\}\}=\backslash frac\{3+\backslash sqrt\{41\}\}\{8\}\backslash approx1.18$

$x_3=\frac{3}{8}-\sqrt{{\left(\frac{3}{8}\right)}^2+\frac{1}{2}}=\frac{3}{8}-\sqrt{\frac{41}{64}}=\frac{3-\sqrt{41}}{8}\approx -0.43x\_3=\backslash frac\{3\}\{8\}-\backslash sqrt\{\backslash left(\backslash frac\{3\}\{8\}\backslash right)^2+\backslash frac\{1\}\{2\}\}=\backslash frac\{3\}\{8\}-\backslash sqrt\{\backslash frac\{41\}\{64\}\}=\backslash frac\{3-\backslash sqrt\{41\}\}\{8\}\backslash approx-0.43$

Damit gibt es zwei Kandidaten für lokale Extrema. Falls die zweite Ableitung bei einem gefundenen Kandidaten ungleich Null ist, ist die hinreichende Bedingung erfüllt und es ist nachgewiesen, dass es sich um lokale Extremstellen handelt:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(0\right)=12\cdot 0^2-6\cdot 0-2=-2f\text{'}\text{'}\backslash left(0\backslash right)=12\backslash cdot0^2-6\backslash cdot0-2=-2$

Das ist echt kleiner als Null. Damit ist $x_1=0x\_1=0$​ eine lokale Extremstelle. Da die zweite Ableitung kleiner Null ist, muss hier ein Maximum vorliegen. Um den Extrempunkt angeben zu können muss man nun noch $x_1=0x\_1=0$​ in die Funktionsgleichung einsetzen:

$f\left(0\right)=0^4-0^3+0^2=0f\backslash left(0\backslash right)=0^4-0^3+0^2=0$

Also ist ein lokales Maximum gefunden: $Max(0;0)Max(0;0)$

Für $x_2=\frac{3+\sqrt{41}}{8}x\_2=\backslash frac\{3+\backslash sqrt\{41\}\}\{8\}$ das gleiche Vorgehen:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(\frac{3+\sqrt{41}}{8})\approx 7.63f\text{'}\text{'}(\backslash frac\{3+\backslash sqrt\{41\}\}\{8\})\backslash approx7.63$

Das ist echt größer als Null. Damit ist $x_2=\frac{3+\sqrt{41}}{8}x\_2=\backslash frac\{3+\backslash sqrt\{41\}\}\{8\}$​ eine lokale Extremstelle. Da die zweite Ableitung größer Null ist, muss hier ein Minimum vorliegen. Um den Extrempunkt angeben zu können muss man nun noch $x_2=\frac{3+\sqrt{41}}{8}x\_2=\backslash frac\{3+\backslash sqrt\{41\}\}\{8\}$​ in die Funktionsgleichung einsetzen:

$f\left(\frac{3+\sqrt{41}}{8}\right)={\left(\frac{3+\sqrt{41}}{8}\right)}^4-{\left(\frac{3+\sqrt{41}}{8}\right)}^3+{\left(\frac{3+\sqrt{41}}{8}\right)}^2\approx -1.1f\backslash left(\backslash frac\{3+\backslash sqrt\{41\}\}\{8\}\backslash right)=\backslash left(\backslash frac\{3+\backslash sqrt\{41\}\}\{8\}\backslash right)^4-\backslash left(\backslash frac\{3+\backslash sqrt\{41\}\}\{8\}\backslash right)^3+\backslash left(\backslash frac\{3+\backslash sqrt\{41\}\}\{8\}\backslash right)^2\backslash approx-1.1$

Also ist ein lokales Minimum gefunden: $Min(1.18;-1.1)Min(1.18;-1.1)$

Für $x_3=\frac{3-\sqrt{41}}{8}x\_3=\backslash frac\{3-\backslash sqrt\{41\}\}\{8\}$ das gleiche Vorgehen:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(\frac{3-\sqrt{41}}{8})\approx 2.8f\text{'}\text{'}(\backslash frac\{3-\backslash sqrt\{41\}\}\{8\})\backslash approx2.8$

Das ist echt größer als Null. Damit ist $x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{8}x\_2=\backslash frac\{3-\backslash sqrt\{41\}\}\{8\}$​ eine lokale Extremstelle. Da die zweite Ableitung größer Null ist, muss hier ein Minimum vorliegen. Um den Extrempunkt angeben zu können muss man nun noch $x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{8}x\_2=\backslash frac\{3-\backslash sqrt\{41\}\}\{8\}$​ in die Funktionsgleichung einsetzen:

$f\left(\frac{3-\sqrt{41}}{8}\right)={\left(\frac{3-\sqrt{41}}{8}\right)}^4-{\left(\frac{3-\sqrt{41}}{8}\right)}^3+{\left(\frac{3-\sqrt{41}}{8}\right)}^2\approx -0.07f\backslash left(\backslash frac\{3-\backslash sqrt\{41\}\}\{8\}\backslash right)=\backslash left(\backslash frac\{3-\backslash sqrt\{41\}\}\{8\}\backslash right)^4-\backslash left(\backslash frac\{3-\backslash sqrt\{41\}\}\{8\}\backslash right)^3+\backslash left(\backslash frac\{3-\backslash sqrt\{41\}\}\{8\}\backslash right)^2\backslash approx-0.07$

Also ist ein weiteres lokales Minimum gefunden: $Min(-0.43;-0.07)Min(-0.43;-0.07)$

Da ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}f(x)=\mathrm{\infty }\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}f(x)=\backslash infty$, kann $x_{2}x\_2$ kein globales Maximum sein.

Da , kann bei $x_{2}x\_2$ kein globales Minimum sein.

Nun ist nur noch zu prüfen, ob bei $x_{1}x\_1$ ein globales Minimum vorliegt. Wenn bei $x_{1}x\_1$ein globales Minimum wäre, würde gelten $f(x)\ge f(x_1)f(x)\backslash ge\; f(x\_1)$ für alle $xx$ aus dem Definitionsbereich. Wir nehmen mal an, dass dies nicht so ist. Dann müsste es $xx$ geben, für die gilt:

Durch folgende Überlegung kann man aber nachweisen, dass es keine x-Werte kleiner als $f(x_1)f(x\_1)$ geben kann:

• ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}f(x)=\mathrm{\infty }\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}f(x)=\backslash infty$ und ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}f(x)=\mathrm{\infty }\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow-\backslash infty\}f(x)=\backslash infty$

• Die Funktion ist wie jede ganzrationale Funktion stetig.

• Die Funktion kann nur drei Extrema besitzen (siehe notwendige Bedingung aus Aufgabe a)).

Sollte es noch Werte kleiner als $f(x_1)f(x\_1)$ geben, müsste die Funktion aber noch ein Minimum haben da sie stetig ist und das angegebenen Verhalten im Unendlichen hat. Schließlich muss sie wieder "hinauf". Bei $x_{1}x\_1$ muss demnach ein globales Minimum vorliegen.