Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse

Da jeder der acht Sektoren gleich groß ist, kann die Wahrscheinlichkeit der drei Ergebnisse $H,NH,N$ und $KK$als Laplacewahrscheinlichkeit ausgedrückt werden:

$P(\text{Sektor})=\frac{\text{Anzahl Sektoren mit diesem Buchstaben}}{\text{Anzahl aller Sektoren}}P(\backslash text\{Sektor\})=\backslash frac\{\backslash text\{Anzahl\; Sektoren\; mit\; diesem\; Buchstaben\}\}\{\backslash text\{Anzahl\; aller\; Sektoren\}\}$

also: $P(H)=\frac{1}{8},P\left(K\right)=\frac{3}{8},P\left(N\right)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}P(H)=\backslash frac\{1\}\{8\},\backslash \; P\backslash left(K\backslash right)=\backslash frac\{3\}\{8\},\backslash \; P\backslash left(N\backslash right)=\backslash frac\{4\}\{8\}=\backslash frac\; 1\; 2$

Wahrscheinlichkeit für 4-mal keine Niete

Da sich das Glücksrad nach dem Drehen nicht verändert, ist das Experiment vergleichbar zu einem Urnenexperiment "Ziehen mit Zurücklegen", da nacheinander gedreht wird, wird die Reihenfolge beachtet.

Deshalb kann die Wahrscheinlichkeit berechnet werden durch

$P\left(\text{"4 mal keine Niete"}\right)=p^{4}P\backslash left(\backslash text\{"4\; mal\; keine\; Niete"\}\backslash right)=p^4$,

wobei $pp$ die Wahrscheinlichkeit dafür ist, keine Niete zu bekommen und die $44$ von den vier Personen kommt.

Die Wahrscheinlichkeit, keine Niete zu bekommen ist

$P(\bar{N})=1-P(N)=\frac{1}{2}P(\backslash overline\; N)=1-P(N)=\backslash frac\; 1\; 2$

Also ist

$P\left(\text{"4 mal keine Niete"}\right)=0,5^4=6,25\mathrm{\%}P\backslash left(\backslash text\{"4\; mal\; keine\; Niete"\}\backslash right)=0\{,\}5^4=6\{,\}25\backslash \%$

Die möglichen Auszahlungsbeträge sind 7 € (Hauptgewinn H), 3 € (Kleingewinn K) und 0 € (Niete N).

Ein Blick auf das Glücksrad verrät dir, dass es 8 Sektoren gibt, davon 1 Sektor Hauptgewinn, 3 Sektoren Kleingewinn und 4 Sektoren Niete. Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeiten:

$P(H)=\frac{1}{8},P(K)=\frac{3}{8}P(H)=\backslash frac\; 1\; 8,\; P(K)=\backslash frac\; 38$ und $P(N)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}P(N)=\backslash frac\; 4\; 8\; =\backslash frac\; 1\; 2$

Bestimme den Erwartungswert, indem du jeden Auszahlungsbetrag mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizierst und die Produkte addierst:

$E(X)=\frac{1}{8}\cdot 7\text{€}+\frac{3}{8}\cdot 3\text{€}+\frac{1}{2}\cdot 0\text{€}=2\text{€}E(X)=\backslash frac\; 1\; 8\backslash cdot\; 7\; €+\backslash frac\; 3\; 8\; \backslash cdot\; 3\; €\; +\; \backslash frac\; 1\; 2\; \backslash cdot\; 0\; €=\; 2\; €$

Im Durchschnitt bekommt man pro Spiel 2 € ausbezahlt.

Da der Einsatz genau so hoch ist wie der erwartete Auszahlungsbetrag, ist das Spiel fair.