Teil 2, Stochastik 1

Bereite zunächst einmal das leere Baumdiagramm vor. Die Form erfährst du aus dem Text oder aus dem Teilergebnis. Auf der ersten Stufe wird nach Region und nicht aus der Region unterschieden ($R$ und $\overline{R}$), auf der zweiten Stufe nach Tageskarte und Dauerkarte($T$und $D$) und auf der dritten nach beanspruchtem Zusatzangebot oder nicht ($Z$ und $\overline{Z}$).

Unten siehst du das fertige Baumdiagramm. Woher die Zahlen kommen, kannst du in der zu der grauen Zahl gehörenden Anmerkung unter dem Bild nachlesen.

1. Aus Text: „...80 % der Befragten [...] nicht aus der Region...“

2. Die Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten, die von einem Knoten ausgeht, ist immer 1 bzw 100%

3. Aus Text: „Drei Viertel der Befragten aus der Region besitzen eine Dauerkarte“

4. Aus Text: „Nicht aus der Region stammende Befragte [...] zu 90% Tageskarte...“

5. Aus Text: "Unabhängig davon, ob Befragte mit Tageskarte aus der Region kommen oder nicht, nehmen sie zu 60 % [...] kostenpflichtiges Zusatzangebot [...]" $\rightarrow$ Wahrscheinlichkeit bei beiden Knoten $T$ zu Knoten $Z$

6. Aus Text: "Befragten mit Dauerkarte aus der Region nutzen nur 10 % [...] Zusatzangebot..."

7. Aus Text: "Der Anteil der Befragten, die nicht aus der Region kommen, eine Dauerkarte kaufen und mindestens ein kostenpflichtiges Zusatzangebot nutzen, beträgt 4%." $\rightarrow$ Es handelt sich nicht um eine bedingte Wahrscheinlichkeit, also keine Wahrscheinlichkeit entlang des Pfades, sondern die Wahrscheinlichkeit des Elementarereignisses $\overline{R}\cap D\cap Z$

8. Mithilfe der Pfadregeln kann eine Gleichung aufgestellt und gelöst werden (siehe unten)

9. Mithilfe der Pfadregeln können die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse berechnet werden (siehe unten)

Zu 8.:

zu 9.:

1 Mengenschreibweise und stochastische Unabhängigkeit

In den günstigen Tupeln muss entweder R oder T oder beides enthalten sein:

$E_1=\left\{\left(R;T;Z\right);\left(R;T;\overline{Z}\right);\left(R;D;Z\right);\left(R;D;\overline{Z}\right);\ \left(\overline{R};T;Z\right);\left(\overline{R};T;\overline{Z}\right)\right\}$

Um zu zeigen, dass zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind, überprüft man die Gültigkeit folgender Formel:

$P\left(E_1\cap E_2\right)=P\left(E_1\right)\cdot P\left(E_2\right)$

Bestimme also zunächst die einzelnen Mengen und Wahrscheinlichkeiten. Addiere dazu die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse aus der vorherigen Aufgabe zusammen (2. Pfadregel).

$P\left(E_1\right)=0{,}03+0{,}02+0{,}015+0{,}135+0{,}432+0{,}288=0{,}92$

$P\left(E_2\right)=0{,}03+0{,}015+0{,}432+0{,}04=0{,}517$

Um $P\left(E_1\cap E_2\right)$ zu bestimmen, notiere dir erstmal die Schnittmenge $E_1\cap E_2$ in aufzählender Mengenschreibweise:

$E_1\cap E_2=\left\{\left(R;T;Z\right);\left(R;D;Z\right);\left(\overline{R};T;Z\right)\right\}$

$P\left(E_1\cap E_2\right)=0{,}03+0{,}015+0{,}432=0{,}477$

Setze nun alle Wahrscheinlichkeiten in die Formel ein:

Die Ereignisse sind also stochastisch abhängig.

$E_3$ im Sachzusammenhang

Vereinfache zuerst die angegebene Menge mithilfe der de Morganschen Regel:

$E_3=\overline{E_1\cup E_2}=\overline{E_1}\cap\overline{E_2}$

Beschreibe nun jeweils $\overline{E_1}$ und $\overline{E_2}$ in Worten:

$\overline{E_1}$: "Ein zufällig ausgewählter Besucher kommt nicht aus der Region und hat eine Dauerkarte."

(zunächst $E_2$ in Worten, da du dort bisher nur die Menge kennst: "Ein zufällig ausgewählter Besucher nutzt ein Zusatzangebot.")

$\overline{E_2}$: "Ein zufällig ausgewählter Besucher nutzt kein Zusatzangebot"

Nun kannst du dir die Schnittmenge dieser beiden Ereignisse anschauen:

$\overline{E_1}\cap\overline{E_2}$: "Ein zufällig ausgewählter Besucher kommt nicht aus der Region, besitzt eine Dauerkarte und nutzt kein Zusatzangebot."

Trage zunächst die gegebenen Daten ein.

Die Zeilen- bzw Spaltenbeschrifutng ist C für Camping und F für Ferien.

Außerdem direkt gegeben ist $P\left(C\right)=15\%$, die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Person im Park campt und $P\left(F\right)=60\%$ für die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Person den Park in den Ferien besucht:

Trickreicher sind die $20\%$. Diese Zahl ist nämlich nicht als $P\left(C\cap F\right)$ in das obere linke Feld einzutragen (was man bereits daran merkt, dass $20\%>15\%$, was nicht sein kann!).

Es handelt sich bei dieser Wahrscheinlichkeit um die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_C\left(F\right)$, also die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die in den Ferien kommt, dann auch campt.

Nur $20\%$ von den $60\%$ campen, also berechnest du: $P\left(F\cap C\right)=0{,}2\cdot0{,}6=0{,}12$

Jetzt kannst du die Vierfeldertafel vervollständigen:

Die gefragte Wahrscheinlichkeit $P\left(\overline{F}\cap C\right)$ ist $3\%$

a) Campingplatz zu klein

Es sind $n=200$ Familien vor Ort, die jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0{,}25$ übernachten. Der Campingplatz reicht nicht aus, wenn mehr als 50 Familien übernachten.

Wenn du mit $X$ die Anzahl der Familien bezeichnest, die über Nacht bleiben möchten, dann kannst du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Campingplatz nicht ausreicht, durch die kumulierte Wahrscheinlichkeit $P\left(X>50\right)$ berechnen.

Vor allem, wenn du das Tafelwerk benutzt, kannst du nur kumulierte Wahrscheinlichkeiten der Form $P\left(X\le k\right)$ nachschauen, also für höchstens k Treffer.

Schreibe deshalb mithilfe des Gegenereignisses um und schlage anschließend im Tafelwerk nach:

In $46{,}21\%$ der Fälle reicht der Campingplatz nicht aus.

b) Wahrscheinlichkeit für Wert innerhalb der einfachen Standardabweichung

Da die Zufallsgröße binomialverteilt ist, lassen sich Erwartungswert und Standardabweichung sehr einfach berechnen:

Erwartungswert

$\mu=n\cdot p=200\cdot0{,}25=50$ (Es sind im Durchschnitt 50 Übernachtungen zu erwarten.

Standardabweichung

$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot\left(1-p\right)}=\sqrt{200\cdot0{,}25\cdot0{,}75}\approx6{,}12$

"Wert innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert"

Die gesuchten Werte kannst du berechnen durch

$\mu-\sigma=50-6{,}12=43{,}88$

$\mu+\sigma=50+6{,}12=56{,}12$

Zugehörige Wahrscheinlichkeit

Gesucht ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit $P\left(43{,}88<X<56{,}12\right)$.

Erneut musst du diesen Term umschreiben, um die Werte nachschlagen zu können:

In 71,17% der Fälle nimmt die Zufallsgröße einen Wert innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert an.