Aufgaben zum Thema Potenzen und Polynome

Gegeben ist die Funktion: $f\left(x\right)=2^x$ für die ganzen Zahlen $-1000,...,10$

Diskutiere den Satz: "Der Graph der Exponentialfunktion ergibt einen rechten Winkel".
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
Zuerst lohnt es sich, den Graphen der Funktion $f(x)$ in ein passendes Koordinatensystem zu zeichnen:
Dabei erkennt man, dass der Graph $G_f$ in seinem Verlauf dem negativen Teil der x-Achse und dem positiven Teil der y-Achse folgt.
Berechnet man die gegebenen Endpunkte, ergeben sich folgende Werte:
$2^{-1000} \approx 0$
$2^{10} = 1024$
Die beiden Punkte liegen also ungefähr bei $(0|1000)$ und $(-1000|0)$ und bilden mit dem Ursprung ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem die beiden Katheten, an denen der Graph anliegt, einen rechten Winkel bilden.
Man muss jedoch beachten, dass vor allem der Punkt $(0|1000)$ ziemlich stark gerundet ist. Der eigentliche Punkt auf dem Graphen liegt weiter oben und weiter rechts, weshalb der Winkel in Wirklichkeit um ein gutes halbes Grad größer als $90 °$ ist.
Insgesamt kann man also sagen, dass der Graph der Funktion zwar einem rechten Winkel ähnelt, aber es eben doch kein perfekter $90°$ -Winkel ist.
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Erstelle eine Skizze der Funktion oder benutze einen Funktionsplotter
Erkläre die Argumente, die für oder gegen die Behauptung sprechen

Bestimme die kleinste Zahl $x_0$ , so dass für alle $x\geq x_0$ gilt: $2^x \geq 16x^3$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus

Um $x_0$ zu finden, setzt man $2^x$ und $16 x^3$ gleich und stellt nach $x$ um.

$\displaystyle 2^x$	$=$	$\displaystyle 16 \ x^3$	$\displaystyle \log_2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_2 {16 \ x^3}$
	↓	Logarithmus-Regel: Produkt zu Summe
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_2 16 + \log_2 x^3$
	↓	Logarithmus-Regel: Potenz zu Produkt
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4 + 3\cdot \log_2 x$

Jetzt muss man ausprobieren, bis man den richtigen Wert für $x$ gefunden hat.

Da man bei $\log_2 x$ nur positive Werte für $x$ nur positive Werte einsetzen kann, muss $x$ positiv sein. Außerdem muss $x$ eine Zweierpotenz sein.

$x$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$
$4 + 3\cdot \log_2 x$	$4$	$7$	$10$	$13$	$16$

$x_0$ hat den Wert $16$ .

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Wie ändert sich die Antwort in b), wenn die rechte Seite ( $16x^3$ ) mit $2^{13}=8192$ multipliziert wird, also die Ungleichung $2^x \geq 131072x^3$ betrachtet wird?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus

Hier geht man genau wie in Teilaufgabe b) vor, man ersetzt nur $16 x^3$ durch $131072 x^3$ .

$\displaystyle 2^x$	$=$	$\displaystyle 131072 \ x^3$	$\displaystyle \log_2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_2 {131072 \ x^3}$
	↓	Logarithmus-Regel: Produkt zu Summe
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_2 131072 + \log_2 x^3$
	↓	Logarithmus-Regel: Potenz zu Produkt
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 17 + 3\cdot \log_2 x$

Jetzt muss man ausprobieren, bis man den richtigen Wert für $x$ gefunden hat.

Da man bei $\log_2 x$ nur positive Werte für $x$ nur positive Werte einsetzen kann, muss $x$ positiv sein. Außerdem muss $x$ eine Zweierpotenz sein.

$x$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$
$17 + 3\cdot \log_2 x$	$17$	$20$	$23$	$26$	$29$	$32$

Hier hat $x_0$ den Wert $32$ .

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