Aufgaben zum Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Bestimme alle Werte $\alpha\in\left[-360°;720°\right]$ für die die Gleichung erfüllt ist. Gib die Werte einzeln und auf ganze Grad gerundet ins Eingabefeld ein.

(Beispiel: sind die Lösungen $\alpha_1=33{,}75°$ und $\alpha_2=146{,}25°$ , dann gib zunächst $34$ ein und überprüfe die Lösung und anschließend $146$ )

$\sin\alpha=0{,}5$ (6 Lösungen)
°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus und Kosinus am Einheitskreis
erste Lösung mit Taschenrechner bestimmen
$\displaystyle \sin\alpha$ $=$ $\displaystyle 0{,}5$ $\displaystyle \sin^{-1}\square$
$\displaystyle \alpha$ $=$ $\displaystyle 30°$
weitere Lösung zwischen 0° und 360°
Der gefundene Winkel liegt im I. Quadranten. Der nächste Winkel, der den gleichen Sinuswert hat, liegt im II. Quadranten:
$sin(30°)=sin(180°-30°)=sin(150°)$
$\alpha_2=30°$
Lösungen zwischen 0° und -360°
Die beiden Lösungen können mithilfe der Beziehung $sin(\alpha)=sin(k\cdot360°+\alpha)$ mit $k=-1$ in den Bereich [-360°;0] übertragen werden:
$sin(30°)=sin(-1\cdot 360°+30°)=sin(-330°)$
$sin(150°)=sin(-1\cdot 360°+150°)=sin(-210°)$
also $\alpha_3=-330°$ und $\alpha_4=-210°$
Lösungen zwischen 360° und 720°
Die beiden Lösungen 30° und 150° können mithilfe der Beziehung $sin(\alpha)=sin(k\cdot360°+\alpha)$ mit $k=1$ in den Bereich [360°;720°] übertragen werden:
$sin(30°)=sin(1\cdot360°+30°)=sin(390°)$
$sin(150°)=sin(1\cdot360°+150°)=sin(510°)$
also $\alpha_5=390°$ und $\alpha_6=510°$
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Bestimme eine Lösung mit dem Taschenrechner.
Weitere Lösungen bekommst du durch die Zusammenhänge am Einheitskreis und die Zusammenhänge für negative Winkel und Winkel >360°
$\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (6 Lösungen)
°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus und Kosinus am Einheitskreis
erste Lösung mit Taschenrechner bestimmen
$\displaystyle cos\alpha$ $=$ $\displaystyle \frac{\sqrt2} 2$ $\displaystyle cos^-1(\square)$
$\displaystyle \alpha$ $=$ $\displaystyle 45°$
weitere Lösung zwischen 0° und 360°
Der gefundene Winkel liegt im I. Quadranten. Der nächste Winkel, der den gleichen Kosinuswert hat, liegt im IV. Quadranten:
$cos(45°)=cos(360°-45°)=cos(315°)$
also $\alpha_2=315°$
Lösungen zwischen 0° und -360°
Die beiden Lösungen können mithilfe der Beziehung $cos(\alpha)=cos(k\cdot360°+\alpha)$ mit $k=-1$ in den Bereich [-360°;0] übertragen werden:
$cos(45°)=cos(-1\cdot 360°+45°)=cos(-315°)$
$cos(315°)=cos(-1\cdot360°+315°)=cos(-45°)$
also $\alpha_3=-310°$ und $\alpha_4=-45°$
Lösungen zwischen 360° und -720°
Die beiden Lösungen können mithilfe der Beziehung $cos(\alpha)=cos(k\cdot360°+\alpha)$ mit $k=1$ in den Bereich [360°;720°] übertragen werden:
$cos(45°)=cos(1\cdot360°+45°)=cos(405°)$
$cos(315°)=cos(1\cdot360°+315°)=cos(675°)$
also $\alpha_5=405°$ und $\alpha_6=675°$
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Bestimme eine Lösung mit dem Taschenrechner.
Weitere Lösungen bekommst du durch die Zusammenhänge am Einheitskreis und die Zusammenhänge für negative Winkel und Winkel >360°
$\sin\left(\alpha\right)=-1$ (? Lösungen)
°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Besonderer Sinus-Wert!
$\sin\left(\alpha\right)=-1$ gilt nur einmal im Einheitskreis für Winkel zwischen 0° und 360°, nämlich für $\alpha_1=270°$
Weitere Winkel
Weitere Lösungen erhältst du, indem du in den Zusammenhang $\sin\left(\alpha\right)=\sin\left(k\cdot360°+\alpha\right)$ die Werte $k=1$ und $k=-1$ einsetzt:
$\sin\left(270°\right)=\sin\left(-1\cdot360°+270°\right)=\sin\left(-90°\right)$
$\sin\left(270°\right)=\sin\left(1\cdot360°+270°\right)=\sin\left(630°\right)$
also $\alpha_2=-90°$ und $\alpha_3=630°$
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Bestimme eine Lösung mit dem Taschenrechner.
Weitere Lösungen bekommst du durch die Zusammenhänge am Einheitskreis und die Zusammenhänge für negative Winkel und Winkel >360°

$\displaystyle \sin\alpha$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$	$\displaystyle \sin^{-1}\square$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 30°$

$\displaystyle cos\alpha$	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt2} 2$	$\displaystyle cos^-1(\square)$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 45°$

erste Lösung mit Taschenrechner bestimmen

weitere Lösung zwischen 0° und 360°

Lösungen zwischen 0° und -360°

Lösungen zwischen 360° und 720°

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erste Lösung mit Taschenrechner bestimmen

weitere Lösung zwischen 0° und 360°

Lösungen zwischen 0° und -360°

Lösungen zwischen 360° und -720°

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Besonderer Sinus-Wert!

Weitere Winkel

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