Aufgaben zum Sinus und Kosinus am Einheitskreis

$\cos \left(\gamma \right)=\frac{1}{2}\sqrt{2}\backslash cos\backslash left(\backslash gamma\backslash right)=\backslash frac12\backslash sqrt2$

Der Kosinus ist im ersten sowie im vierten Quadranten positiv.

1. Winkel

$\cos \left(\gamma \right)=\frac{1}{2}\sqrt{2}\backslash cos\backslash left(\backslash gamma\backslash right)=\backslash frac12\backslash sqrt2$

${\gamma }_1={45}^{\circ }\backslash gamma\_1=45^\backslash circ$

2. Winkel

$\cos ({360}^{\circ }-{\gamma }_1)=\frac{1}{2}\sqrt{2}\backslash cos\backslash left(360^\backslash circ-\backslash gamma\_1\backslash right)=\backslash frac12\backslash sqrt2$

$\cos ({360}^{\circ }-{45}^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2}\backslash cos\backslash left(360^\backslash circ-45^\backslash circ\backslash right)=\backslash frac12\backslash sqrt2$

${\gamma }_2={315}^{\circ }\backslash gamma\_2=315^\backslash circ$

3. Winkel

$\cos ({360}^{\circ }+{\gamma }_1)=\frac{1}{2}\sqrt{2}\backslash cos\backslash left(360^\backslash circ+\backslash gamma\_1\backslash right)=\backslash frac12\backslash sqrt2$

$\cos ({360}^{\circ }+{45}^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2}\backslash cos\backslash left(360^\backslash circ+45^\backslash circ\backslash right)=\backslash frac12\backslash sqrt2$

${\gamma }_3={405}^{\circ }\backslash gamma\_3=405^\backslash circ$

4. Winkel

$\cos ({720}^{\circ }-{\gamma }_1)=\frac{1}{2}\sqrt{2}\backslash cos\backslash left(720^\backslash circ-\backslash gamma\_1\backslash right)=\backslash frac12\backslash sqrt2$

$\cos ({720}^{\circ }-{45}^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2}\backslash cos\backslash left(720^\backslash circ-45^\backslash circ\backslash right)=\backslash frac12\backslash sqrt2$

${\gamma }_3={675}^{\circ }\backslash gamma\_3=675^\backslash circ$

5. Winkel

$\cos (0^{\circ }-{\gamma }_1)=\frac{1}{2}\sqrt{2}\backslash cos\backslash left(0^\backslash circ-\backslash gamma\_1\backslash right)=\backslash frac12\backslash sqrt2$

$\cos (0^{\circ }-{45}^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2}\backslash cos\backslash left(0^\backslash circ-45^\backslash circ\backslash right)=\backslash frac12\backslash sqrt2$

${\gamma }_4=-{45}^{\circ }\backslash gamma\_4=-45^\backslash circ$

$\sin \left(\frac{x}{2}\right)=1\backslash sin\backslash left(\backslash frac\; x2\backslash right)=1$

Sinus ist im ersten und zweiten Quadranten positiv.

$y\in [-\pi ;3\pi ]y\backslash in\backslash left[-\backslash mathrm\backslash pi;\backslash ;3\backslash mathrm\backslash pi\backslash right]$

1.Winkel im Bogenmaß

${\displaystyle \frac{x}{2}}=y\backslash dfrac\; x2=y$

$\sin \left(y\right)=1\backslash sin\backslash left(y\backslash right)=1$

$y_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi y\_1=\backslash dfrac12\backslash mathrm\backslash pi$

$x_1=\pi x\_1=\backslash mathrm\backslash pi$

2. Winkel im Bogenmaß

$\sin (2\pi +y_1)=1\backslash sin\backslash left(2\backslash mathrm\backslash pi+y\_1\backslash right)=1$

$\sin (2\pi +\frac{\pi }{2})=1\backslash sin\backslash left(2\backslash mathrm\backslash pi+\backslash frac\{\backslash mathrm\backslash pi\}2\backslash right)=1$

${\gamma }_2=\mathrm{2,5}\pi \backslash gamma\_2=2\{,\}5\backslash mathrm\backslash pi$

$x=5\pi x=5\backslash mathrm\backslash pi$

3. Winkel im Bogenmaß

$\sin (0-y_1)=1\backslash sin\backslash left(0-y\_1\backslash right)=1$

$\sin (-\frac{\pi }{2})=1\backslash sin\backslash left(-\backslash frac\{\backslash mathrm\backslash pi\}2\backslash right)=1$

$y_3=-\frac{1}{2}\pi y\_3=-\backslash frac12\backslash mathrm\backslash pi$

$x=-\pi x=-\backslash mathrm\backslash pi$

$\sin \left(x\right)=-2\backslash sin\backslash left(x\backslash right)=-2$

Geht nicht, da gilt: $-1\le \sin \left(x\right)\le 1-1\backslash leq\backslash sin\backslash left(x\backslash right)\backslash leq1$

Vorüberlegungen

• Der Winkel 30° liegt im I. Quadranten

• Im II. Quadranten gibt es einen Winkel mit gleichem Sinuswert, die Beziehung lautet $\sin \left(\alpha \right)=\sin (180\mathrm{°}-\alpha )\backslash sin\backslash left(\backslash alpha\backslash right)=\backslash sin\backslash left(180°-\backslash alpha\backslash right)$

• Die Winkel im III. und IV. Quadranten sind betragsgleich, aber nicht wertgleich (negative Werte)

• Durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von 360° können die beiden Lösungen aus dem I. und II. Quadranten für negative Winkelwerte/große Winkelwerte übertragen werden. Die Beziehung lautet $\sin \left(\alpha \right)=\sin (\alpha +k\cdot 360\mathrm{°}),k\in \mathbb{Z}\backslash sin\backslash left(\backslash alpha\backslash right)=\backslash sin\backslash left(\backslash alpha+k\backslash cdot360°\backslash right),\backslash \; k\backslash in\backslash mathbb\; Z$ .

Analyse der Antwortmöglichkeiten

• $sin(150\mathrm{°})sin(150°)$: Da $150\mathrm{°}=180\mathrm{°}-\alpha 150°=180°-\backslash alpha$, gilt $\Rightarrow \sin (150\mathrm{°})=\sin (30\mathrm{°})\backslash Rightarrow\backslash color\{green\}\{\backslash sin(150°)=\backslash sin(30°)\}$

• $sin(210\mathrm{°})sin(210°)$: Da $210\mathrm{°}=180\mathrm{°}+30\mathrm{°}210°=180°+30°$ ist der Sinus hier zwar betragsgleich, aber nicht wertgleich, der Sinuswert ist für Winkel im III. Quadranten nämlich negativ. $\Rightarrow sin(210\mathrm{°})=-sin(30\mathrm{°})\backslash Rightarrow\backslash color\{red\}\{sin(210°)=-sin(30°)\}$

• $sin(330\mathrm{°})sin(330°)$: Da $330\mathrm{°}=360\mathrm{°}-30\mathrm{°}330°=360°-30°$ ist der Sinus hier ebenfalls betragsgleich, aber auch für Winkel im IV. Quadranten ist der Sinuswert negativ. $\Rightarrow sin(330\mathrm{°})=-sin(30\mathrm{°})\backslash Rightarrow\backslash color\{red\}\{sin(330°)=-sin(30°)\}$

• $sin(120\mathrm{°})sin(120°)$: Dieser Winkel liegt zwar im II. Quadranten, aber da $120\mathrm{\ne }180\mathrm{°}-30\mathrm{°}120\backslash neq\; 180°-30°$ sind die Sinuswerte nicht wertgleich ($90\mathrm{°}+\alpha 90°+\backslash alpha$ ist keine gültige Beziehung. $\Rightarrow sin(120\mathrm{°})\mathrm{\ne }sin(30\mathrm{°})\backslash Rightarrow\backslash color\{red\}\{sin(120°)\backslash neq\; sin(30°)\}$

Vorüberlegungen

Es ist nützlich, die Winkel, die größer sind als 90° auf einen spitzen Winkel im I. Quadranten zurückzuführen, da die Beziehungsgleichungen für einen Winkel formuliert sind.

• Der Winkel 230° liegt im III. Quadranten

• Den "zugehörigen" spitzen Winkel ${\alpha }^{\mathrm{\prime }}\backslash alpha\text{'}$ im I. Quadranten erhält man durch ${\alpha }^{\mathrm{\prime }}+180\mathrm{°}=230\iff {\alpha }^{\mathrm{\prime }}=230\mathrm{°}-180\mathrm{°}=50\mathrm{°}\backslash alpha\text{'}+180°=230\backslash Leftrightarrow\; \backslash alpha\text{'}=230°-180°=50°$

• Im IV. Quadranten gibt es einen Winkel mit gleichem Sinuswert, die Beziehung lautet $\sin \left({\alpha }^{\mathrm{\prime }}\right)=\sin (360\mathrm{°}-{\alpha }^{\mathrm{\prime }})\backslash sin\backslash left(\backslash alpha\text{'}\backslash right)=\backslash sin\backslash left(360°-\backslash alpha\text{'}\backslash right)$

• Die Winkel im I. und II. Quadranten sind betragsgleich, aber nicht wertgleich (positive Werte)

• Durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von 360° können die beiden Lösungen aus dem III. und IV. Quadranten für negative Winkelwerte/große Winkelwerte übertragen werden. Die Beziehung lautet $\sin \left(\alpha \right)=\sin (\alpha +k\cdot 360\mathrm{°}),k\in \mathbb{Z}\backslash sin\backslash left(\backslash alpha\backslash right)=\backslash sin\backslash left(\backslash alpha+k\backslash cdot360°\backslash right),\backslash \; k\backslash in\backslash mathbb\; Z$ .

Analyse der Antwortmöglichkeiten

Verwende ${\alpha }^{\mathrm{\prime }}=50\mathrm{°}\backslash alpha\text{'}=50°$aus den Vorüberlegungen für die Beziehungen, denn $sin(230\mathrm{°})=-sin(50\mathrm{°})sin(230°)=-sin(50°)$ und die Beziehungsgleichungen sind nur für spitze Winkel.

• $sin(310\mathrm{°})sin(310°)$: Da $310\mathrm{°}310°$ im IV. Quadranten und $310\mathrm{°}=360\mathrm{°}-{\alpha }^{\mathrm{\prime }}=360\mathrm{°}-50\mathrm{°}310°=360°-\backslash alpha\text{'}=360°-50°$, gilt $\Rightarrow \sin (230\mathrm{°})=\sin (310\mathrm{°})\backslash Rightarrow\backslash color\{green\}\{\backslash sin(230°)=\backslash sin(310°)\}$

• $-sin(310\mathrm{°})-sin(310°)$: Da du gerade herausgefunden hast, dass $sin(230\mathrm{°})=sin(310\mathrm{°})sin(230°)=sin(310°)$ und gleichzeitig nicht $sin(230\mathrm{°})=0sin(230°)=0$, ist die Aussage falsch. $\Rightarrow sin(230\mathrm{°})\mathrm{\ne }-sin(310\mathrm{°})\backslash Rightarrow\backslash color\{red\}\{sin(230°)\backslash neq-sin(310°)\}$

• $-sin(50\mathrm{°})-sin(50°)$: Da $50\mathrm{°}50°$ im I. Quadranten liegt und $230\mathrm{°}=180\mathrm{°}+50\mathrm{°}230°=180°+50°$ ist der Sinus hier nur betragsgleich, nicht wertgleich. Durch das Minus vor dem Term wird er wertgleich. $\Rightarrow sin(230\mathrm{°})=-sin(50\mathrm{°})\backslash Rightarrow\backslash color\{green\}\{sin(230°)=-sin(50°)\}$

• $sin(590\mathrm{°})sin(590°)$: Da $590\mathrm{°}=1\cdot 360\mathrm{°}+230\mathrm{°}590°=1\backslash cdot360°+230°$ist der Winkel an der gleichen Stelle einzutragen, nur eine Umrundung später. Der Sinus ist für diesen Winkel also wertgleich . $\Rightarrow sin(590\mathrm{°})=sin(230\mathrm{°})\backslash Rightarrow\backslash color\{green\}\{sin(590°)=\; sin(230°)\}$

Vorüberlegungen

• Da der Sinus dem y-Wert des Punktes auf dem Einheitskreis entspricht, ist der Winkel $\alpha =90\mathrm{°}\backslash alpha=90°$ genau die y-Achse.

• Der Sinus ist hier maximal und hat den Wert $sin(90\mathrm{°})=1sin(90°)=1$.

• Es gibt keinen weiteren Winkel in $[0\mathrm{°};360\mathrm{°}][0°;360°]$, der den gleichen Sinuswert hat.

• Betragsgleich ist $sin(270\mathrm{°})=-1sin(270°)=-1$

• Durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von 360° kann die Lösung für negative Winkelwerte/große Winkelwerte übertragen werden. Die Beziehung lautet $\sin \left(\alpha \right)=\sin (\alpha +k\cdot 360\mathrm{°}),k\in \mathbb{Z}\backslash sin\backslash left(\backslash alpha\backslash right)=\backslash sin\backslash left(\backslash alpha+k\backslash cdot360°\backslash right),\backslash \; k\backslash in\backslash mathbb\; Z$

Analyse der Antwortmöglichkeiten

• $sin(270\mathrm{°})sin(270°)$: wie in den Vorüberlegungen beschrieben ist diese Lösung nur betragsgleich, nicht wertgleich $\Rightarrow \sin (90\mathrm{°})=-\sin (270\mathrm{°})\mathrm{\ne }sin(270\mathrm{°})\backslash Rightarrow\backslash color\{red\}\{\backslash sin(90°)=-\backslash sin(270°)\backslash neq\; sin(270°)\}$

• $sin(360\mathrm{°})sin(360°)$: Da der Sinuswert der y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis beim Winkel entspricht und 360° der Vollkreis ist, ist der Punkt auf der x-Achse und die y-Koordinate ist 0 $\Rightarrow sin(90\mathrm{°})\mathrm{\ne }sin(360\mathrm{°})\backslash Rightarrow\backslash color\{red\}\{sin(90°)\backslash neq\; sin(360°)\}$

• $sin(180\mathrm{°})sin(180°)$: Ähnlich zu 360° ist auch hier die y-Koordinate 0 $\Rightarrow sin(90\mathrm{°})\mathrm{\ne }sin(180\mathrm{°})\backslash Rightarrow\backslash color\{red\}\{sin(90°)\backslash neq\; sin(180°)\}$

• $sin(-270\mathrm{°})sin(-270°)$: Da $-270\mathrm{°}=90\mathrm{°}-360\mathrm{°}-270°=90°-360°$ befindest du dich hier am gleichen Punkt im Einheitskreis$\Rightarrow sin(90\mathrm{°})=sin(-270\mathrm{°})\backslash Rightarrow\backslash color\{green\}\{sin(90°)=\; sin(-270°)\}$

• $sin(450\mathrm{°})sin(450°)$: Da $450\mathrm{°}=1\cdot 360\mathrm{°}+90\mathrm{°}450°=1\backslash cdot\; 360°+90°$befindest du dich hier am gleichen Punkt im Einheitskreis $\Rightarrow sin(90\mathrm{°})=sin(450\mathrm{°})\backslash Rightarrow\; \backslash color\{green\}\{sin(90°)=sin(450°)\}$

erste Lösung mit Taschenrechner bestimmen

weitere Lösung zwischen 0° und 360°

Der gefundene Winkel liegt im I. Quadranten. Der nächste Winkel, der den gleichen Sinuswert hat, liegt im II. Quadranten:

$sin(30\mathrm{°})=sin(180\mathrm{°}-30\mathrm{°})=sin(150\mathrm{°})sin(30°)=sin(180°-30°)=sin(150°)$

${\alpha }_2=30\mathrm{°}\backslash alpha\_2=30°$

Lösungen zwischen 0° und -360°

Die beiden Lösungen können mithilfe der Beziehung $sin(\alpha )=sin(k\cdot 360\mathrm{°}+\alpha )sin(\backslash alpha)=sin(k\backslash cdot360°+\backslash alpha)$ mit $k=-1k=-1$ in den Bereich [-360°;0] übertragen werden:

$sin(30\mathrm{°})=sin(-1\cdot 360\mathrm{°}+30\mathrm{°})=sin(-330\mathrm{°})sin(30°)=sin(-1\backslash cdot\; 360°+30°)=sin(-330°)$

$sin(150\mathrm{°})=sin(-1\cdot 360\mathrm{°}+150\mathrm{°})=sin(-210\mathrm{°})sin(150°)=sin(-1\backslash cdot\; 360°+150°)=sin(-210°)$

also ${\alpha }_3=-330\mathrm{°}\backslash alpha\_3=-330°$und ${\alpha }_4=-210\mathrm{°}\backslash alpha\_4=-210°$

Lösungen zwischen 360° und 720°

Die beiden Lösungen 30° und 150° können mithilfe der Beziehung $sin(\alpha )=sin(k\cdot 360\mathrm{°}+\alpha )sin(\backslash alpha)=sin(k\backslash cdot360°+\backslash alpha)$ mit $k=1k=1$ in den Bereich [360°;720°] übertragen werden:

$sin(30\mathrm{°})=sin(1\cdot 360\mathrm{°}+30\mathrm{°})=sin(390\mathrm{°})sin(30°)=sin(1\backslash cdot360°+30°)=sin(390°)$

$sin(150\mathrm{°})=sin(1\cdot 360\mathrm{°}+150\mathrm{°})=sin(510\mathrm{°})sin(150°)=sin(1\backslash cdot360°+150°)=sin(510°)$

also ${\alpha }_5=390\mathrm{°}\backslash alpha\_5=390°$und ${\alpha }_6=510\mathrm{°}\backslash alpha\_6=510°$

erste Lösung mit Taschenrechner bestimmen

weitere Lösung zwischen 0° und 360°

Der gefundene Winkel liegt im I. Quadranten. Der nächste Winkel, der den gleichen Kosinuswert hat, liegt im IV. Quadranten:

$cos(45\mathrm{°})=cos(360\mathrm{°}-45\mathrm{°})=cos(315\mathrm{°})cos(45°)=cos(360°-45°)=cos(315°)$

also ${\alpha }_2=315\mathrm{°}\backslash alpha\_2=315°$

Lösungen zwischen 0° und -360°

Die beiden Lösungen können mithilfe der Beziehung $cos(\alpha )=cos(k\cdot 360\mathrm{°}+\alpha )cos(\backslash alpha)=cos(k\backslash cdot360°+\backslash alpha)$ mit $k=-1k=-1$ in den Bereich [-360°;0] übertragen werden:

$cos(45\mathrm{°})=cos(-1\cdot 360\mathrm{°}+45\mathrm{°})=cos(-315\mathrm{°})cos(45°)=cos(-1\backslash cdot\; 360°+45°)=cos(-315°)$

$cos(315\mathrm{°})=cos(-1\cdot 360\mathrm{°}+315\mathrm{°})=cos(-45\mathrm{°})cos(315°)=cos(-1\backslash cdot360°+315°)=cos(-45°)$

also ${\alpha }_3=-310\mathrm{°}\backslash alpha\_3=-310°$ und ${\alpha }_4=-45\mathrm{°}\backslash alpha\_4=-45°$

Lösungen zwischen 360° und -720°

Die beiden Lösungen können mithilfe der Beziehung $cos(\alpha )=cos(k\cdot 360\mathrm{°}+\alpha )cos(\backslash alpha)=cos(k\backslash cdot360°+\backslash alpha)$ mit $k=1k=1$ in den Bereich [360°;720°] übertragen werden:

$cos(45\mathrm{°})=cos(1\cdot 360\mathrm{°}+45\mathrm{°})=cos(405\mathrm{°})cos(45°)=cos(1\backslash cdot360°+45°)=cos(405°)$

$cos(315\mathrm{°})=cos(1\cdot 360\mathrm{°}+315\mathrm{°})=cos(675\mathrm{°})cos(315°)=cos(1\backslash cdot360°+315°)=cos(675°)$

also ${\alpha }_5=405\mathrm{°}\backslash alpha\_5=405°$ und ${\alpha }_6=675\mathrm{°}\backslash alpha\_6=675°$

Besonderer Sinus-Wert!

$\sin \left(\alpha \right)=-1\backslash sin\backslash left(\backslash alpha\backslash right)=-1$ gilt nur einmal im Einheitskreis für Winkel zwischen 0° und 360°, nämlich für ${\alpha }_1=270\mathrm{°}\backslash alpha\_1=270°$

Weitere Winkel

Weitere Lösungen erhältst du, indem du in den Zusammenhang $\sin \left(\alpha \right)=\sin (k\cdot 360\mathrm{°}+\alpha )\backslash sin\backslash left(\backslash alpha\backslash right)=\backslash sin\backslash left(k\backslash cdot360°+\backslash alpha\backslash right)$ die Werte $k=1k=1$ und $k=-1k=-1$ einsetzt:

$\sin \left(270\mathrm{°}\right)=\sin (-1\cdot 360\mathrm{°}+270\mathrm{°})=\sin (-90\mathrm{°})\backslash sin\backslash left(270°\backslash right)=\backslash sin\backslash left(-1\backslash cdot360°+270°\backslash right)=\backslash sin\backslash left(-90°\backslash right)$

$\sin \left(270\mathrm{°}\right)=\sin (1\cdot 360\mathrm{°}+270\mathrm{°})=\sin \left(630\mathrm{°}\right)\backslash sin\backslash left(270°\backslash right)=\backslash sin\backslash left(1\backslash cdot360°+270°\backslash right)=\backslash sin\backslash left(630°\backslash right)$

also ${\alpha }_2=-90\mathrm{°}\backslash alpha\_2=-90°$ und ${\alpha }_3=630\mathrm{°}\backslash alpha\_3=630°$