4Mathematische Untersuchung der Strategie

Die Strategie der vier ist, die ersten $rr$ der $NN$ Bewerber*innen abzulehnen und danach die erste Person zu nehmen, die besser als die ersten $rr$ Bewerber*innen ist. Emmy will nun $rr$ so wählen, dass die Wahrscheinlichkeit $P\left(r\right)P\backslash left(r\backslash right)$, mit dieser Strategie die beste Person zu finden, maximal ist. Dafür muss sie $P\left(r\right)P\backslash left(r\backslash right)$ in Abhängigkeit von $rr$ berechnen.

Emmy geht die einzelnen Kandidat*innen nach den ersten $rr$ Leuten durch und berechnet jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass die Person die beste Wahl ist und sie mit der Strategie ausgewählt wird.

Wie sieht es mit der nächsten Bewerbung aus?

Was gilt allgemeiner für die $ii$te Person, die nach den ersten $rr$ kommt?

Die Gesamtwahrscheinlichkeit, mit der Strategie die beste Person auszuwählen, ist die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Personen:

Emmy präsentiert die Wahrscheinlichkeit stolz ihren Freunden.

Bertrand ist noch nicht zufrieden. "Wie sollen wir nun das richtige $rr$ finden, für das $P(r)P(r)$ maximal ist?", fragt er.

"Das ist ja einfach eine Extremwertaufgabe", meint Carl, "ich weiß, wie das geht, da muss man die Ableitung von $P(r)P(r)$ finden und herausfinden, für welches $rr$ die Ableitung Null ist!"

"Wie willst du denn bitte diese Funktion nach $rr$ ableiten?!", entgegnet Maryam. "Siehst du nicht, dass auch der Index der Summe von $rr$ abhängt?"

"Ich hab da eine Idee", meint Emmy. "Wir können die Summe durch ein Integral abschätzen."

"Das Integral können wir ganz leicht berechnen", fährt Emmy fort.

"Das ging mir jetzt zu schnell! Wie hast du denn das Integral berechnet?", fragt Bertrand.

"Cool, das kann ich nun nach $rr$ ableiten!", behauptet Carl und fängt an zu rechnen. Nach einem kurzen Moment zeigt er den anderen sein Ergebnis:

Carl fährt fort: "Wir brauchen also ein $rr$, so dass

Das gilt genau dann, wenn

Also muss gelten $\frac{r}{N}=\frac{1}{e}\mathrm{.}\backslash frac\; rN=\backslash frac\; 1e.$"

"Wir haben unser $rr$ gefunden!", meint Maryam.

"Ist das nun auch ein Maximum der Funktion?", fragt Bertrand. "Es könnte ja auch ein Minimum oder ein Terrassenpunkt sein."

"Gute Frage! Lasst uns die Funktion $-\frac{1}{N}(\ln \left(\frac{r}{N}\right)+1)-\backslash frac\; 1N\backslash left(\backslash ln\backslash left(\backslash frac\; rN\backslash right)+1\backslash right)$ aufmalen, dann sehen wir schon, ob unser $rr$ ein Maximum ist", schlägt Carl vor.

"Ah, es gibt ein Maximum bei unserem $rr$. Das heißt, für $r=\frac{N}{e}r=\backslash frac\; Ne$ ist die Erfolgswahrscheinlichkeit unserer Strategie maximal", meint Maryam.

"Das stimmt nicht ganz.", entgegnet Bertrand, "wir haben die Summe ja nicht genau bestimmt sondern nur abgeschätzt. Außerdem können wir $rr$ in Echt nur als ganze Zahl wählen, aber bei uns ist

Wir können nicht $\mathrm{26,86}26\{,\}86$ Personen ablehnen, sondern nur $2626$ oder $2727$."

"Ok, alles ist nur abgeschätzt. Aber was ist denn nun die Wahrscheinlichkeit, dass die Strategie funktioniert, wenn wir $r=\frac{N}{e}r=\backslash frac\{N\}\{e\}$ wählen?", fragt Maryam.

$P(r)\approx -\frac{r}{N}\ln \left(\frac{r}{N}\right)\approx -\frac{N}{eN}\ln \left(\frac{N}{eN}\right)=-\frac{1}{e}\ln \left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\approx \mathrm{36,79}\mathrm{\%}P(r)\backslash approx\; -\backslash frac\; rN\; \backslash ln\backslash left(\backslash frac\; rN\backslash right)\backslash approx\; -\backslash frac\{N\}\{eN\}\backslash ln\backslash left(\; \backslash frac\{N\}\{eN\}\backslash right)=-\backslash frac\; 1e\backslash ln\backslash left(\backslash frac\; 1e\backslash right)=\backslash frac\; 1e\backslash approx\; 36\{,\}79\backslash \%$

"Wow, also mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr $\mathrm{36,79}\mathrm{\%}36\{,\}79\backslash \%$ finden wir mit der Strategie die beste Person!", ruft Carl.

Quellen:

• Abb. 1: zugeschnittenes Bild Lefthand-Riemann-Sum-Integral-Test von Lazauya, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons