Der Scheitel der Parabel $p_{\tiny 1}\$ist laut Angabe: $\ S_{\tiny 1}(-4|1)\$

Die Scheitelform lautet:

$\ f\left(x\right)=a(x-d)^2+e$

Setze die entsprechenden Werte des Scheitels$\ S_{\tiny 1}$ ein.

$p_{\tiny 1}:y\ =\ (x+4)^2+1$

die Normalform ist dann:

$p_{\tiny 1}:y\ =\ x^2+8x+17$

Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:

$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$

Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung ein.

Da es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt ist der Vorfaktor $a=-1$

$\text{Aus }A(-4|1):\ \ \ \ (I) \ \ 1= -1\cdot (-4)^2+b\cdot (-4)+c$

$\text{Aus } B\hspace{1.5mm}(0|1)\hspace{1.5mm}:\ (II)\ \ \ 1= -1\cdot (0)^2+b\cdot (0)+c\quad\Rightarrow\quad c=1$

$\hspace{74mm}$setze $c$ in $(I)$ ein und berechne $b$

Die Normalform von $p_{2}\$lautet:

$p_{2}:y=-x^2-4x+1\$

Umformen der allgemeinen Form von $\ p_{2}\$in die Scheitelpunktform:

$p_{2}:y=-x^2-4x+1$

$p_{2}:y=-(x+4x-1)$

$p_{2}:y=-(x+2)^2+4+1$

$p_{2}:y=-(x+2)^2+5$

$\underline{\underline{S_{2}(-2|5)}}$

oder, du kannst auch gleich die Scheitelpunktform ermitteln:

Die Funktionswerte von $A$ und $B$ sind gleich nämlich: $\ \ y_{\tiny{A}}=y_{\tiny{B}}=1$

d.h. es gilt:$\ x_{\tiny{S}}=\dfrac{x_{\tiny{A}}+x{\tiny{B}}}{2}\quad\Rightarrow\quad x_{\tiny{S}}=\dfrac{-4+0}{2}\quad\Rightarrow\quad \boxed{x_{\tiny{S}}=-2}$

setze $x_{\tiny{S}}\$und z.B. $x_{\tiny{A}}\$in die Scheitelpunktform$\ (x-x_{\tiny{S}})^2+y_{\tiny{S}}\$ ein und berechne $\ y_{\tiny{S}}$.

$\hspace{10mm}-(-4+2)^2+y_{\tiny{S}}=1\quad\Rightarrow\quad y_{\tiny{S}}=1+4\quad\Rightarrow\quad \boxed{y_{\tiny{S}}=5}$

Die Scheitelpunkform lautet dann: $\ p_{2}:y=-(x+2)^2+5\quad\Rightarrow\quad \underline{\underline{S_{2}(-2|5)}}$

$\text{Koordinaten der Schnittpunkte:}\ \hspace{2mm}\boxed{Q\ (-4|1)}\hspace{4mm}\boxed{R\ (-2|5)}$

Berechne die Schnittpunkte $M$ und $N$ der Normalparabel$\ \ p_3:$ $\ y=x^2+2x-2$

mit der Normalparabel $p_4: y = –x^2 – 2x + 4$ , indem du die Funktionsterme gleichsetzt und diese Gleichung anschließend nach $x$ auflöst.

Löse jetzt die Quadratische Gleichung z.B. mit der Mitternachtsformel

$x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\qquad\Rightarrow\ x_{1{,}2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}$

$\hspace{4.8cm}x_{1{,}2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{16}}{2\cdot1}$

$\hspace{4.8cm}x_{1{,}2}=\dfrac{-2\pm{4}}{2\cdot1}\ =\ -1\pm2$

$x_1\ =\ -3$

$x_2\ =\ \ \ \ 1$

Setze $x_1$ und$\ x_2$ in z.B. $\ p_3: y\ =\ x^2+2x-2\$ ein und bestimme $y_1$ und$\ y_2$.

Du kannst $x_1\$und$\ x_2\$auch in $p_4:y=-x^2-2x+4$ einsetzen.

$y_1\ =\ 1\cdot(-3)^2+2\cdot(-3)-2\ \quad\Rightarrow\quad y_{1}=9-8\quad\Rightarrow\quad M\ (-3|1)$

$y_{2}\ =\ 1\cdot(1)^2+2\cdot1-2\hspace{12.5mm}\Rightarrow\quad y_{2}=1+0\quad\Rightarrow\quad N\ (1|1)$