Aufgabengruppe I - lernen mit Serlo!

Gegeben ist folgende Gleichung:

\displaystyle \dfrac{1{,}5x+6}{x+6{,}5}=\dfrac{x-3}{2x-3}

Geben Sie die Definitionsmenge an, lösen Sie die Gleichung nach $x$ auf und bestimmen Sie die Lösungsmenge.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen lösen

$\dfrac{1{,}5x+6}{x+6{,}5}=\dfrac{x-3}{2x-3}$

Definitionsmenge bestimmen.

Im Nenner eines Bruches darf nicht Null stehen. Alle Zahlen, für die sich beim Einsetzen in die Gleichung im Nenner Null ergibt, dürfen nicht in der Definitionsmenge enthalten sein.

Setze jeden der Nenner gleich Null.

$\ \ x+6{,}5=0\qquad\Rightarrow\qquad x=-6{,}5\\\ 2x-3=0\hspace{9.5mm}\Rightarrow\qquad x=\ \ \ \ 1{,}5$

Der Nenner wird Null bei:

$\ x=-6{,}5;\quad x=1{,}5\qquad\Rightarrow\qquad$ $D=\mathbb R\setminus \left\{-6{,}5;\ 1{,}5\right\}$

Lösen der Bruchgleichung:

Bestimme den Hauptnenner, der HN ist: $\ (x+6{,}5)\cdot(2x-3)$

Multipliziere die Bruchgleichung mit dem HN:

$\dfrac{(1{,}5x+6)\cdot[\cancel{(x+6{,}5)}\cdot(2x-3)]}{\cancel{(x+6{,}5)}}=\dfrac{(x-3)\cdot[(x+6{,}5)\cdot\cancel{(2x-3)}]}{\cancel{(2x-3)}}$

$\displaystyle (1{,}5x+6)\cdot(2x-3)$	$=$	$\displaystyle (x-3)\cdot(x+6{,}5)$
	↓	multipliziere die Klammern aus
$\displaystyle 3x^2+7{,}5x-18$	$=$	$\displaystyle x^2+3{,}5x-19{,}5$	$\displaystyle -x^2-3{,}5x$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle 2x^2+4x-18$	$=$	$\displaystyle -19{,}5$	$\displaystyle +19{,}5$
	↓	addiere
$\displaystyle 2x^2+4x+1{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$

löse die quadratische Gleichung z.B mit der Mitternachtsformel

$x_{1/2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad\Rightarrow\quad x_{1/2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-12}}{4}$

$x_{1/2}=\frac{-4\pm2}{4}\quad\Rightarrow\quad x_1=\frac{-4-2}{4}\quad\text{und}\quad x_2=\frac{-4+2}{4}$

$x_1=-1{,}5\\x_2=-0{,}5$

Die Lösungsmenge: $\ \ \mathbb{L}=\left\{-0{,}5;-1{,}5\right\}$

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