Aufgaben zu Bruchungleichungen

Hier lernst du, wie du Bruchungleichungen lösen kannst. Du löst Ungleichungen mit Brüchen, die eine Variable (zum Beispiel $x$ ) im Zählen und Nenner enthalten.

Für welche positiven x-Werte gilt: $\dfrac{2x+1}{x}<2{,}001$ ?

Löse die Bruchungleichungen

$\dfrac{x-1}{2x+3}>0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung

Definitionsmenge bestimmen

Bestimme zuerst die Definitionsmenge. Der Nenner darf nicht $0$ sein. Deshalb muss im Vorfeld die Gleichung $2x+3=0$ gelöst werden.

$\displaystyle 2x+3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1{,}5$

Es gilt also: $D=\mathbb{R} \backslash \{-1{,}5\}$

Ungleichung lösen

Um die Ungleichung zu lösen, muss mit dem Nenner der linken Seite der Ungleichung multipliziert werden und die entstehende Ungleichung nach $x$ aufgelöst werden.

$\frac{x-1}{2x+3}>0$

Multipliziere mit $(2x+3)$ .

Vorsicht

Wenn $(2x+3)$ kleiner als $0$ ist, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. Daher braucht man hier eine Fallunterscheidung.

1. Fall: Nenner positiv

Der Nenner $\left(2x+3\right)$ ist positiv, wenn $x>-1{,}5$ .

$\displaystyle \frac{x-1}{2x+3}$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot\left(2x+3\right)$
$\displaystyle x-1$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle x$	$>$	$\displaystyle 1$

Im Fall $x>-1{,}5$ ist, ist die Ungleichung also für $x>1$ erfüllt.

$\Rightarrow]1;\infty[$ ist Teil des Lösungsintervalls

2. Fall: Nenner negativ

Der Nenner $\left(2x+3\right)<0$ ist negativ, wenn $x<-1{,}5$ . Das Ungleichheitszeichen wird umgedreht.

$\displaystyle \frac{x-1}{2x+3}$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot\left(2x+3\right)$
$\displaystyle x-1$	$<$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle x$	$<$	$\displaystyle 1$

Die Lösung ist zwar $x<1$ , laut Voraussetzung soll beim 2. Fall aber sogar $x<-1{,}5$ gelten. Deshalb wird das obige Lösungsintervall erweitert um $]-\infty;-1{,}5[$ .

Lösung

$x\in]−\infty;-1{,}5[$ oder $x \in\; ]1; \infty[$

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$\dfrac{x}{3-4x}\le0$

Definitionsmenge bestimmen
Bestimme zuerst die Definitionsmenge.
Weil der Nenner nicht $0$ sein darf, muss zunächst die Gleichung $3-4x=0$ nach x aufgelöst werden.
$\displaystyle 3-4x$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle +4x$
$\displaystyle 3$ $=$ $\displaystyle 4x$ $\displaystyle :4$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle \frac{3}{4}$
Es gilt also: $D=\mathbb{R}\ \backslash \left\{\frac{3}{4}\right\}$
Ungleichung lösen
Um die Ungleichung zu lösen, muss zunächst mit dem Nenner der linken Seite multipliziert werden und die entstehende Ungleichung im Anschluss nach $x$ aufgelöst werden.
$\dfrac {x}{3-4x}\leq 0$
Multipliziere mit $(3-4x)$ .
Vorsicht
Wenn $(3-4x)$ kleiner als $0$ ist, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. Daher braucht man hier eine Fallunterscheidung.
1. Fall: $(3-4x)>0$ , also $x<\frac 34$
$\displaystyle \frac{x}{3-4x}$ $≤$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle \cdot\left(3-4x\right)$
$\displaystyle x$ $≤$ $\displaystyle 0$
Im Fall $x<\frac 34$ ist, ist die Ungleichung also für $x\leq 0$ erfüllt.
$\Rightarrow]-\infty;0]$ ist Teil des Lösungsintervalls
2. Fall: $(3-4x)<0$ , also $x>\frac{3}{4}$
$\displaystyle \frac{x}{3-4x}$ $≤$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle \cdot\left(3-4x\right)$
$\displaystyle x$ $≥$ $\displaystyle 0$
Im Fall $x>\frac 34$ ist, ist die Ungleichung also für $x\geq 0$ erfüllt. Da laut der Fallunterscheidung $x>\frac34$ ist, gilt die Gleichung also für $x>\frac34$ .
$\Rightarrow ]\frac 34; \infty[$ ist Teil des Lösungsintervalls
Lösung
$x \in\; ]-\infty;0]\; \cup \; ]\frac 34; \infty[$
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \dfrac{2x+1}x$	$<$	$\displaystyle 2{,}001$	$\displaystyle \cdot x$
	↓	Da x positiv ist wird das Ungleichheitszeichen nicht umgedreht
$\displaystyle 2x + 1$	$<$	$\displaystyle 2{,}001\cdot x$	$\displaystyle -2x$
$\displaystyle 1$	$<$	$\displaystyle 0{,}001x$	$\displaystyle : 0{,}001$
$\displaystyle 1000$	$<$	$\displaystyle x$

$\displaystyle 3-4x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4x$
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 4x$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}$

$\displaystyle \frac{x}{3-4x}$	$≤$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot\left(3-4x\right)$
$\displaystyle x$	$≤$	$\displaystyle 0$