Hier lernst du, wie du Bruchungleichungen lösen kannst. Du löst Ungleichungen mit Brüchen, die eine Variable (zum Beispiel x) im Zählen und Nenner enthalten.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung
Definitionsmenge bestimmen
Bestimme zuerst die Definitionsmenge. Der Nenner darf nicht 0 sein. Deshalb muss im Vorfeld die Gleichung 2x+3=0 gelöst werden.
2x+3
=
0
−3
2x
=
−3
:2
x
=
−1,5
Es gilt also: D=R\{−1,5}
Ungleichung lösen
Um die Ungleichung zu lösen, muss mit dem Nenner der linken Seite der Ungleichung multipliziert werden und die entstehende Ungleichung nach x aufgelöst werden.
2x+3x−1>0
Multipliziere mit (2x+3).
1. Fall: Nenner positiv
Der Nenner (2x+3)ist positiv, wennx>−1,5.
2x+3x−1
>
0
⋅(2x+3)
x−1
>
0
+1
x
>
1
Im Fall x>−1,5 ist, ist die Ungleichung also für x>1 erfüllt.
⇒]1;∞[ist Teil des Lösungsintervalls
2. Fall: Nenner negativ
DerNenner (2x+3)<0 ist negativ, wenn x<−1,5. Das Ungleichheitszeichen wird umgedreht.
2x+3x−1
>
0
⋅(2x+3)
x−1
<
0
+1
x
<
1
Die Lösung ist zwar x<1, laut Voraussetzung soll beim 2. Fall aber sogar x<−1,5 gelten. Deshalb wird das obige Lösungsintervall erweitert um ]−∞;−1,5[.
Weil der Nenner nicht 0 sein darf, muss zunächst die Gleichung 3−4x=0 nach x aufgelöst werden.
3−4x
=
0
+4x
3
=
4x
:4
x
=
43
Es gilt also: D=R\{43}
Ungleichung lösen
Um die Ungleichung zu lösen, muss zunächst mit dem Nenner der linken Seite multipliziert werden und die entstehende Ungleichung im Anschluss nach x aufgelöst werden.
3−4xx≤0
Multipliziere mit (3−4x).
1. Fall:(3−4x)>0, also x<43
3−4xx
≤
0
⋅(3−4x)
x
≤
0
Im Fall x<43 ist, ist die Ungleichung also für x≤0 erfüllt.
⇒]−∞;0] ist Teil des Lösungsintervalls
2. Fall:(3−4x)<0, also x>43
3−4xx
≤
0
⋅(3−4x)
x
≥
0
Im Fall x>43 ist, ist die Ungleichung also für x≥0 erfüllt. Da laut der Fallunterscheidung x>43 ist, gilt die Gleichung also für x>43.