Aufgaben zu Bruchungleichungen

Hier lernst du, wie du Bruchungleichungen lösen kannst. Du löst Ungleichungen mit Brüchen, die eine Variable (zum Beispiel $x$ ) im Zählen und Nenner enthalten.

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Für welche positiven x-Werte gilt: $\frac{2 x + 1}{x} < 2,001$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
$\frac{2 x + 1}{x}$ $<$ $2,001$ $\cdot x$
↓
Da x positiv ist wird das Ungleichheitszeichen nicht umgedreht
$2 x + 1$ $<$ $2,001 \cdot x$ $- 2 x$
$1$ $<$ $0,001 x$ $: 0,001$
$1000$ $<$ $x$
Die Ungleichung gilt also für alle Werte die größer als 1000 sind.
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Löse die Bruchungleichungen
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $\frac{x - 1}{2 x + 3} > 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung
  Definitionsmenge bestimmen
  Bestimme zuerst die Definitionsmenge. Der Nenner darf nicht $0$ sein. Deshalb muss im Vorfeld die Gleichung $2 x + 3 = 0$ gelöst werden.
  $2 x + 3$ $=$ $0$ $- 3$
  $2 x$ $=$ $- 3$ $: 2$
  $x$ $=$ $- 1,5$
  Es gilt also: $D = ℝ \ {- 1,5}$
  Ungleichung lösen
  Um die Ungleichung zu lösen, muss mit dem Nenner der linken Seite der Ungleichung multipliziert werden und die entstehende Ungleichung nach $x$ aufgelöst werden.
  $\frac{x - 1}{2 x + 3} > 0$
  Multipliziere mit $(2 x + 3)$ .
  Vorsicht
  Wenn $(2 x + 3)$ kleiner als $0$ ist, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. Daher braucht man hier eine Fallunterscheidung.
  1. Fall: Nenner positiv
  Der Nenner $(2 x + 3)$ ist positiv, wenn $x > - 1,5$ .
  $\frac{x - 1}{2 x + 3}$ $>$ $0$ $\cdot (2 x + 3)$
  $x - 1$ $>$ $0$ $+ 1$
  $x$ $>$ $1$
  Im Fall $x > - 1,5$ ist, ist die Ungleichung also für $x > 1$ erfüllt.
  $\Rightarrow] 1; \infty [$ ist Teil des Lösungsintervalls
  2. Fall: Nenner negativ
  Der Nenner $(2 x + 3) < 0$ ist negativ, wenn $x < - 1,5$ . Das Ungleichheitszeichen wird umgedreht.
  $\frac{x - 1}{2 x + 3}$ $>$ $0$ $\cdot (2 x + 3)$
  $x - 1$ $<$ $0$ $+ 1$
  $x$ $<$ $1$
  Die Lösung ist zwar $x < 1$ , laut Voraussetzung soll beim 2. Fall aber sogar $x < - 1,5$ gelten. Deshalb wird das obige Lösungsintervall erweitert um $] - \infty; - 1,5 [$ .
  Lösung
  $x \in] - \infty; - 1,5 [$ oder $x \in] 1; \infty [$
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2. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $\frac{x}{3 - 4 x} \leq 0$
  
  Definitionsmenge bestimmen
  Bestimme zuerst die Definitionsmenge.
  Weil der Nenner nicht $0$ sein darf, muss zunächst die Gleichung $3 - 4 x = 0$ nach x aufgelöst werden.
  $3 - 4 x$ $=$ $0$ $+ 4 x$
  $3$ $=$ $4 x$ $: 4$
  $x$ $=$ $\frac{3}{4}$
  Es gilt also: $D = ℝ \ {\frac{3}{4}}$
  Ungleichung lösen
  Um die Ungleichung zu lösen, muss zunächst mit dem Nenner der linken Seite multipliziert werden und die entstehende Ungleichung im Anschluss nach $x$ aufgelöst werden.
  $\frac{x}{3 - 4 x} \leq 0$
  Multipliziere mit $(3 - 4 x)$ .
  Vorsicht
  Wenn $(3 - 4 x)$ kleiner als $0$ ist, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. Daher braucht man hier eine Fallunterscheidung.
  1. Fall: $(3 - 4 x) > 0$ , also $x < \frac{3}{4}$
  $\frac{x}{3 - 4 x}$ $\leq$ $0$ $\cdot (3 - 4 x)$
  $x$ $\leq$ $0$
  Im Fall $x < \frac{3}{4}$ ist, ist die Ungleichung also für $x \leq 0$ erfüllt.
  $\Rightarrow] - \infty; 0]$ ist Teil des Lösungsintervalls
  2. Fall: $(3 - 4 x) < 0$ , also $x > \frac{3}{4}$
  $\frac{x}{3 - 4 x}$ $\leq$ $0$ $\cdot (3 - 4 x)$
  $x$ $\geq$ $0$
  Im Fall $x > \frac{3}{4}$ ist, ist die Ungleichung also für $x \geq 0$ erfüllt. Da laut der Fallunterscheidung $x > \frac{3}{4}$ ist, gilt die Gleichung also für $x > \frac{3}{4}$ .
  $\Rightarrow] \frac{3}{4}; \infty [$ ist Teil des Lösungsintervalls
  Lösung
  $x \in] - \infty; 0] \cup] \frac{3}{4}; \infty [$
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\frac{2 x + 1}{x}$	$<$	$2,001$	$\cdot x$
	↓	Da x positiv ist wird das Ungleichheitszeichen nicht umgedreht
$2 x + 1$	$<$	$2,001 \cdot x$	$- 2 x$
$1$	$<$	$0,001 x$	$: 0,001$
$1000$	$<$	$x$

$\frac{x - 1}{2 x + 3}$	$>$	$0$	$\cdot (2 x + 3)$
$x - 1$	$>$	$0$	$+ 1$
$x$	$>$	$1$

$2 x + 3$	$=$	$0$	$- 3$
$2 x$	$=$	$- 3$	$: 2$
$x$	$=$	$- 1,5$

$3 - 4 x$	$=$	$0$	$+ 4 x$
$3$	$=$	$4 x$	$: 4$
$x$	$=$	$\frac{3}{4}$

$\frac{x}{3 - 4 x}$	$\leq$	$0$	$\cdot (3 - 4 x)$
$x$	$\leq$	$0$

$\frac{x}{3 - 4 x}$	$\leq$	$0$	$\cdot (3 - 4 x)$
$x$	$\geq$	$0$

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