Die Funktion f(x) wird dann 0, sobald mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist. Da die Nullstelle x1=1 bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von f bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich 0 setzt.
Ermitteln Sie die Vorzeichenbereiche für die durch
f(x)=−(x−2)3⋅x2
gegebene Funktion und fertigen Sie eine prinzipielle Skizze des Funktionsgraphen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Ausschlaggebend für das Vorzeichen der Funktion f(x) ist der Term −(x−2)3. Der Term x2 hat keine Auswirkung auf das Vorzeichen der Funktion.
Für x<2 ist der Term −(x−2)3>0⇒f(x)>0
Für x>2 ist der Term −(x−2)3<0⇒f(x)<0
Für x=0 (doppelte Nullstelle) und x=2 (dreifache Nullstelle) ist f(x)=0
Damit ergeben sich folgende Vorzeichenbereiche:
Bei einer doppelten Nullstelle gibt es ein Extremum auf der x-Achse, hier im Punkt (0∣0). Das Extremum kann wegen des Vorzeichenbereichs (grün) nur ein Tiefpunkt sein.
Bei einer dreifachen Nullstelle gibt es einen Sattelpunkt auf der x-Achse, hier im Punkt (2∣0). Der Sattelpunkt kann wegen des Vorzeichenbereichs (braun) nur ein links-rechts-Sattelpunkt sein.
Mit den ermittelten Vorzeichenbereichen ergibt sich folgende grobe Funktionsdarstellung:
Zwischen den beiden Nullstellen N1 und N2 gibt es nach dieser Skizze einen Hochpunkt.
Funktionsdarstellung f(x)
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