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Der Umfang $u$ eines Dreiecks $A B C$ beträgt $24$ cm. Welche Aussage trifft daher für die Länge der Seite $\overline{AB}$ zu? Kreuze an.

$|\overline{AB}| < 12 cm$
$|\overline{AB}| > 12 cm$
$|\overline{AB}| = 12 cm$
$|\overline{AB}| > 1 cm$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecke konstruieren

Lösung

Es ist: $\overline{AB}<12~\text{cm}$

Wenn die Seite $\overline{AB}$ nicht kürzer als $12\, \text{cm}$ ist, bleiben für die anderen beiden Seiten zusammen höchstens $24\, \text{cm}-12\, \text{cm}=12\, \text{cm}$ . Das kann aber nicht sein, weil diese beiden Seiten zusammen länger als die Seite $\overline{AB}$ sein müssen.

Eine Seitenlänge von $1\,\text{cm}$ für $\overline{AB}$ ist aber möglich, etwa $|\overline{AB}|=1\, \text{cm}$ , $|\overline{BC}|=|\overline{CA}|=11{,}5\, \text{cm}$ .

Grafische Begründung

Wenn die Seite $\overline{AB}<\,12\,\text{cm}$ ist, erfüllen die Seiten die Dreiecksgleichung. Für die anderen Seiten ist sozusagen noch genügend Strecke da, um ein Dreieck zu bilden.

Wenn $\overline{AB}=12\,\text{cm}$ ist, bleiben für die anderen Strecken ebenfalls nur $12\,\text{cm}$ . Die Seiten können sich nicht in einem Punkt $C$ verbinden, außer sie liegen auf $\overline{AB}$ . Dabei entsteht allerdings auch kein Dreieck.

Wenn $\overline{AB}>12\,\text{cm}$ ist, bleiben für die anderen Strecken noch weniger als $12\,\text{cm}$ übrig. Die Seiten können sich nicht in einem Punkt $C$ verbinden. Das ergibt kein Dreieck.

Für den Fall, dass $\overline{AB}>1~\text{cm}$ kann ein Dreieck entstehen, es lassen sich aber auch Gegenbeispiele finden. Diese Antwort ist allgemein also auch nicht richtig.

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Für jedes Dreieck gilt:

Die Länge einer Dreiecksseite muss immer kleiner sein als die Summe der Längen der anderen beiden Seiten.

In Formeln:

$|\overline{AB}|<|\overline{BC}|+|\overline{CA}|$

$|\overline{BC}|<|\overline{AB}|+|\overline{CA}|$

$|\overline{CA}|<|\overline{BC}|+|\overline{AB}|$