2022

Die Aufgabenstellung findest du hier als PDF.

1
Löse die folgenden Aufgaben
1. Gib die Gleichung der eingezeichneten Gerade $g$ an.
  $g : y =$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  $y=m\cdot x+t$ , m ist die Steigung, t ist der y-Wert, in dem die Gerade die y-Achse schneidet. $m = - 0,5;$ $t = - 1,5$ ; $\Rightarrow$
  $g : y = - 0,5 x - 1,5$
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2. Die Gerade $h$ schneidet die x-Achse im Punkt $P (– 1 ∣ 0)$ und hat die Steigung $m =\dfrac{1}{4}$ . Zeichne die Gerade $h$ in das Koordinatensystem ein.
  
  Zeichne zunächst den Punkt $P (- 1 ∣ 0)$ in das Koordinatensystem ein. Gehe dann von $P$ aus $4$ Kästchen nach rechts und ein Kästchen nach oben ( $m= \dfrac{1}{4}$ ). Verbinde diesen Punkt durch eine Gerade mit $P$ . So erhältst du die Gerade $h$ .
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3. Die Gerade f schneidet die y-Achse im Punkt $R (0 ∣ 1)$ und die x-Achse im Punkt $Q (5 ∣ 0)$ . Gib die Gleichung der Gerade $f$ an.
  $f : y =$
  
  $f: y=m\cdot x+t$
  Die Gerade $f$ schneidet die y-Achse im Punkt $R (0 ∣ 1)$ . $t$ ist der y-Wert, in dem die Gerade die y-Achse schneidet.
  $\Rightarrow y=m\cdot x+1$
  Die Gerade $f$ schneidet die x-Achse im Punkt $Q (5 ∣ 0)$ . Setze Q in die
  Gleichung $y=m\cdot x+1$ ein.
  $\Rightarrow$ $0 = 5 m + 1$
  $\Rightarrow$ $m = - 0,2$
  Die Gleichung für $f$ lautet also: $f:y=-0{,}2\cdot x+1$
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2
Ergänze die fehlenden Terme in den Kästchen, so dass eine wahre Aussage bei Anwendung des Distributivgesetzes entsteht.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
$-2ab\cdot(-0{,}5a^2+1-\square)=\square-2ab+5a^2b^3$
Löse die Klammer auf:
$a^3b-2ab+2ab\cdot \square=\square-2ab+5a^2b^3$
Vergleiche die Terme auf den beiden Seiten der Gleichung und ergänze entsprechend.
$a^3b-2ab+2ab\cdot 2{,}5ab^2=a^3b-2ab+5a^2b^3$
Die vollständige Gleichung lautet also:
$-2ab\cdot(-0{,}5a^2+1-2{,}5ab^2)=a^3b-2ab+5a^2b^3$

Gib die Lösungsmenge L der Gleichung an:

\displaystyle 3\cdot(x² – x) – (x + 4) – 3x² = 0

L={____}

4
Für das gleichschenklige Trapez $A B C D$ mit der Höhe $h$ gilt:
$A B ∣ ∣ C D$ ; $∢ C B A = 110 °$ ; $h = 2 c m .$
Vervollständige die Zeichnung zum gleichschenkligen Trapez $A B C D$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Trapez
Zeichne eine Parallele zu $\overline{AB}$ mit Abstand $h = 2 c m$ . Trage dann in $A$ und in $B$ jeweils einen 110° Winkel an. Die Schnittpunkte der freien Schenkel dieser Winkel mit der Parallelen zu $\overline{AB}$ sind die Punkte $C$ und $D$ des gleichschenkligen Trapezes.
5
Löse die Klammer auf und fasse so weit wie möglich zusammen.
$(2 x + 5)^{2} – 8 x = (2x + 5)² – 8x =$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\displaystyle (2x+5)^2-8x$
$=$ $\displaystyle 4x^2+20x+25-8x$
$=$ $\displaystyle 4x^2+12x+25$
6
Die Punkte $A (0 ∣ 0)$ , $B (4 ∣ – 3)$ , $C$ und $D (1 ∣ 3)$ sind die Eckpunkte eines Parallelogramms $A B C D$ . Bestimme die Koordinaten des Eckpunktes $C$ .
C(_|_)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt im Koordinatensystem
$A\rightarrow D$ : $D(0+\textcolor{ff6600}{1}|0+\textcolor{ff6600}{3})$
$B\rightarrow C$ : $C(4+\textcolor{ff6600}{1}|-3+\textcolor{ff6600}{3})$
Die Koordinaten des Eckpunktes $C$ sind $C (5 ∣ 0)$ .
7
Ein Rechteck mit der Breite $x$ cm ist doppelt so lang wie breit ( $x∈\mathbb{Q^+}$ ).
Nur drei der folgenden Terme beschreiben den Umfang $u$ dieses Rechtecks in Abhängigkeit von $x$ richtig. Kreuze den Term an, der den Umfang $u$ nicht korrekt beschreibt.
$u (x) = (x + x + 2 x + 2 x) c m$
$u (x) = 6 x c m$
$u(x) = 2x\cdot (2 + x) cm$
$u(x) = 2\cdot (2x + x) cm$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
$U_{Rechteck}=2\cdot Länge+2\cdot Breite= 2\cdot(Länge+Breite)$
Breite: x cm
Länge: $2 x$ cm
$U_{Rechteck}=$ $2\cdot(2x+x)$ cm $=$ $(2 x + 2 x + x + x)$ cm $= 6 x$ cm
8
Die Pyramide $A B C D S$ hat eine rechteckige Grundfläche $A B C D$ und wurde im Schrägbild (siehe unten) mit dem Verzerrungsmaßstab $q = 0,5$ und dem Verzerrungswinkel $ω = 45 °$ dargestellt. Bestimme den Flächeninhalt $A$ der rechteckigen Grundfläche $A B C D$ mithilfe des Schrägbilds.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Der Flächeninhalt des Rechtecks berechnest du mit $A=\text{Länge}\cdot \text{Breite}$ .
Die Länge ist hier die Länge der Strecke $\overline{AB}= 4\;\text{cm}$ ( $2$ Kästchen entsprechen $1 \;\text{cm}$ ).
Die Breite ist hier die Länge der Strecke $\overline{BC}$ . Sie beträgt gemessen (Geodreieck) etwa $1{,}5 \;\text{cm}$ . Da der Verzerrungsmaßstab $q = 0,5$ beträgt, ist die Strecke $\overline{BC}$ in Wirklichkeit $3\;\text{cm}$ lang. (⁣ $3\;\text{cm}\cdot q= 3\;\text{cm}\cdot0{,}5= 1{,}5\;\text{cm}$ ).
Der Flächeninhalt der Grundseite der Pyramide ist dann:
$\displaystyle A_{ABCD}=4 \;\text{cm}\cdot 3\;\text{cm}=12\;\text{cm}^2$
9
Der Flächeninhalt $A$ des Dreiecks $P Q R$ soll mit Hilfe einer Determinante ermittelt werden. Entnimm der Zeichnung die notwendigen Angaben für die Einträge in der Determinante.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
$P(1|1{,}5);\;Q(3|0{,}5)$ und $R (5 ∣ 3)$
$\overrightarrow{PQ}=\vec Q-\vec P=\begin{pmatrix}3\\0{,}5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{PR}=\vec R-\vec P=\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1{,}5\end{pmatrix}$
$A_{Dreieck}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}|$
$A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 1{,}5 \end{vmatrix}$ FE
Lies die Koordinaten der drei Punkte ab und berechne die Vektoren $\overrightarrow{PQ}$ und $\overrightarrow{PR}.$
10
Welche Definitionsmenge $D$ gehört zum Bruchterm $T(x)=\dfrac{4+x}{2x-5}$ ?
Kreuze diese an.
$D= \mathbb{Q}\setminus \{-4\}$
$D=\mathbb{Q}\setminus \{0\}$
$D= \mathbb{Q}\setminus \{2{,}5\}$
$D= \mathbb{Q}\setminus \{5\}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
$\displaystyle 2x-5$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle +5$
↓
addiere
$\displaystyle 2x$ $=$ $\displaystyle 5$ $\displaystyle :2$
↓
dividiere
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle 2{,}5$
$D= \mathbb{Q}\setminus \{2{,}5\}$
Prüfe, für welche Werte der Nenner des Bruches 0 ist.

Gib die Lösungsmenge L der Bruchgleichung $\dfrac{3}{x+8}=\dfrac{1}{2x+1}$ mit $D=\mathbb{Q}$ \ { -8; -0,5 } an.

L={ ___}

12
Der Umfang $u$ eines Dreiecks $A B C$ beträgt $24$ cm. Welche Aussage trifft daher für die Länge der Seite $\overline{AB}$ zu? Kreuze an.
$|\overline{AB}| < 12 cm$
$|\overline{AB}| > 12 cm$
$|\overline{AB}| = 12 cm$
$|\overline{AB}| > 1 cm$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecke konstruieren
Lösung
Es ist: $\overline{AB}<12~\text{cm}$
Wenn die Seite $\overline{AB}$ nicht kürzer als $12\, \text{cm}$ ist, bleiben für die anderen beiden Seiten zusammen höchstens $24\, \text{cm}-12\, \text{cm}=12\, \text{cm}$ . Das kann aber nicht sein, weil diese beiden Seiten zusammen länger als die Seite $\overline{AB}$ sein müssen.
Eine Seitenlänge von $1\,\text{cm}$ für $\overline{AB}$ ist aber möglich, etwa $|\overline{AB}|=1\, \text{cm}$ , $|\overline{BC}|=|\overline{CA}|=11{,}5\, \text{cm}$ .
Grafische Begründung
Wenn die Seite $\overline{AB}<\,12\,\text{cm}$ ist, erfüllen die Seiten die Dreiecksgleichung. Für die anderen Seiten ist sozusagen noch genügend Strecke da, um ein Dreieck zu bilden.
Wenn $\overline{AB}=12\,\text{cm}$ ist, bleiben für die anderen Strecken ebenfalls nur $12\,\text{cm}$ . Die Seiten können sich nicht in einem Punkt $C$ verbinden, außer sie liegen auf $\overline{AB}$ . Dabei entsteht allerdings auch kein Dreieck.
Wenn $\overline{AB}>12\,\text{cm}$ ist, bleiben für die anderen Strecken noch weniger als $12\,\text{cm}$ übrig. Die Seiten können sich nicht in einem Punkt $C$ verbinden. Das ergibt kein Dreieck.
Für den Fall, dass $\overline{AB}>1~\text{cm}$ kann ein Dreieck entstehen, es lassen sich aber auch Gegenbeispiele finden. Diese Antwort ist allgemein also auch nicht richtig.
Für jedes Dreieck gilt:
Die Länge einer Dreiecksseite muss immer kleiner sein als die Summe der Längen der anderen beiden Seiten.
In Formeln:
$|\overline{AB}|<|\overline{BC}|+|\overline{CA}|$
$|\overline{BC}|<|\overline{AB}|+|\overline{CA}|$
$|\overline{CA}|<|\overline{BC}|+|\overline{AB}|$
13
Ein quaderförmiges Schwimmbecken hat eine Länge von $25$ m und ist $10$ m breit. Bei der Befüllung fließen $20$ m³ Wasser pro Stunde in das zu Beginn leere Becken. Gib an, wie hoch das Becken nach $15$ Stunden mit Wasser gefüllt ist.
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen
$V_{\text{Quader}}=l\cdot b\cdot h$
In einer Stunde fließen $20 m^{3}$ Wasser in das Schwimmbecken.
$25m\cdot 10m\cdot h=20m^3$
$h=20m^3:250m^2=0{,}08m$
In einer Stunde wird das quaderförmige Schwimmbecken $0,08 m$ hoch gefüllt.
$0{,}08m\cdot 15=1{,}2m$
In 15 Stunden wird das quaderförmige Schwimmbecken $1,2 m$ hoch gefüllt.
Berechne zunächst, wie hoch das Becken in einer Stunde gefüllt wird.
14
Ein quadratischer Term $T (x)$ hat für $x = 2$ den minimalen Termwert $T_{min} = 7$ . Auf welchen der angegebenen quadratischen Terme trifft dies zu? Kreuze an.
$T(x) = –2\cdot(x + 2)² + 7$
$T (x) = (x – 7)^{2} + 2 T(x) = (x – 7)² + 2$
$T(x) = 7\cdot(x – 2)²$
$T (x) = (x – 2)^{2} + 7 T(x) = (x – 2)² + 7$
$T (x) = (x + 2)^{2} – 7 T(x) = (x + 2)² – 7$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Term
$T(2)=-2\cdot(2+2)^2+7=-2\cdot16+7= 25$
$T (2) = (2 – 7)^{2} + 2 = 25 + 2 = 27 T(2) = (2– 7)² + 2=25+2=27$
$T(2) = 7\cdot(2 – 2)²=0$
$T (2) = (2 – 2)^{2} + 7 = 7 T(2) = (2 – 2)² + 7=7$
$T (2) = (2 + 2)^{2} – 7 = 16 - 7 = 9 T(2) = (2 + 2)² – 7=16-7=9$
15
Eine Jeans kostete im Mai 50 €. Zum 1. Juni wurde der Preis um 10% erhöht. Bei einer Rabattaktion im Oktober wurde der Preis vom Juni wieder um 10% gesenkt. Micha behauptet: „Dann hatte die Jeans im Oktober wieder den gleichen Preis wie im Mai.“ Begründe mathematisch, warum Micha nicht Recht hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
Die Jeans kostet im Mai $50$ €.
$1$ % $\mathop{\widehat{=}}$ $0,5$ €
$10$ % $\mathop{\widehat{=}}$ $5$ €
Im Juni kostet die Jeans $55$ €.
$1$ % $\mathop{\widehat{=}} 0{,}55$ €
$10$ % $\mathop{\widehat{=}}$ $5,50$ €
Im Oktober kostet die Jeans $49,50$ €.
16
Die Abbildung stellt maßstabsgetreu einen Aussichtsturm mit zwei Plattformen dar. Zu beiden gelangen die Besucher mit einem Fahrstuhl, der pro Sekunde 3 Meter nach oben fährt. Plattform B erreicht der Fahrstuhl ohne Zwischenhalt nach genau zwei Minuten. In welcher Höhe befindet sich Plattform A? Gib deinen Lösungsweg an.
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab
Höhe Plattform $\ \text{B}\ \ (\text{HP}_B):$
$\ v=3\dfrac{\text{m}}{\text{s}};\ t=2\ \text{min}=120\ s$
$\ \text{HP}_B=120\ s\cdot3\ \dfrac{\text{m}}{s}=360\ \text{m}$
Höhe Plattform $\ \text{A}\ \ (\text{HP}_A):$
$\ \dfrac{\text{HP}_B}{\text{HP}_A}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow\dfrac{360\ \text{m}}{\text{HP}_A}=\dfrac{3}{2}$
$\ \Rightarrow 3\text{HP}_A\ =\ 720\ \text{m}\Rightarrow\text{HP}_A=\dfrac{720\ \text{m}}{3}$
$\ \Rightarrow\ \ \text{HP}_A\ =\ 240\ \text{m}$
Plattform $\ \text{A}\$ befindet sich in einer Höhe von $\ 240\ \text{m}$ .
Berechne zuerst, mit den Angaben aus der Aufgabenstellung, die Höhe von Plattform $\text{B}$ .
Ermittle das Streckenverhältnis durch Messen aus der Zeichnung.
17
Der Punkt $P$ soll durch Drehung um den Punkt $Z$ auf den Punkt $P ꞌ$ abgebildet werden. Das Maß des Drehwinkels beträgt $α = 30 °$ . Kreise den Bildpunkt $P ꞌ$ ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung
Verbinde die Punkte $Z$ und $P$ durch eine Strecke. Trage in $Z$ den Winkel $\alpha= 30°$ gegen den Uhrzeigersinn an. Der Punkt, der auf dem freien Schenkel des Winkels $\alpha$ liegt, ist der gesuchte Punkt P'.

Ein Spielwürfel mit den Zahlen $1$ bis $6$ wurde $25$ -mal geworfen. Die Zahl $2$ wurde dabei mit einer relativen Häufigkeit von $16$ % gewürfelt. Gib an, wie oft die Zahl $2$ gewürfelt wurde.

mal

Gib die Winkelmaße α und β an. Es gilt: $g ∣ ∣ h$ und $|\overline {AC}|=|\overline {BC}|$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \dfrac{3}{x+8}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2x+1}$	$\displaystyle \cdot(x+8)$
	↓	multipliziere und kürze
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1\cdot(x+8)}{2x+1}$	$\displaystyle \cdot (2x+1)$
	↓	multipliziere und kürze
$\displaystyle 3\cdot (2x+1)$	$=$	$\displaystyle x+8$
$\displaystyle 6x+3$	$=$	$\displaystyle x+8$	$\displaystyle -x$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle 5x+3$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle -3$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle 5x$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle :5$
	↓	kürze
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle 30°+\alpha+90°$	$=$	$\displaystyle 180°$
	↓	fasse zusammen
$\displaystyle 120°+\alpha$	$=$	$\displaystyle 180°$	$\displaystyle -120°$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 60°$

$\displaystyle 3\cdot(x^2-x)-(x+4)-3x^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	löse die Klammern auf
$\displaystyle 3x^2-3x-x-4-3x^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	fasse zusammen
$\displaystyle -4x-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4x$
	↓	addiere
$\displaystyle -4$	$=$	$\displaystyle 4x$	$\displaystyle :4$
	↓	dividiere
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1$

	$\displaystyle (2x+5)^2-8x$
$=$	$\displaystyle 4x^2+20x+25-8x$
$=$	$\displaystyle 4x^2+12x+25$

$\displaystyle 2x-5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +5$
	↓	addiere
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle :2$
	↓	dividiere
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2{,}5$

$\displaystyle \frac{16}{100}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{x}{25}$	$\displaystyle \cdot 25$
	↓	multipliziere
$\displaystyle \dfrac{400}{100}$	$=$	$\displaystyle x$	$\displaystyle :100$
	↓	kürze
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle x$

2022

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Lösung

Grafische Begründung