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4Potenzen zusammenfassen mit Potenzgesetzen

Ausgangssituation: Du hast in deiner Exponentialgleichung Potenzen mit unterschiedlicher Basis.

In vielen Fällen können die Potenzgesetze helfen.

VorgehenExponenten vereinfachen

Verwende die Potenzgesetze ax+y=axaya^{x+y}=a^x\cdot a^y bzw axy=axaya^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}und axy=(ax)ya^{xy}=\left(a^x\right)^y, um die Exponenten zu vereinfachen, z.B.:

3x+2=3x323^{x+2}=3^x\cdot3^2 und

32x=(32)x3^{2x}=\left(3^2\right)^x

Ebenso kannst du mit diesen Rechengesetzen mehrere Potenzen mit gleicher Basis zusammenfassen:

32x: 3x=32xx=3x3^{2x}:\ 3^x=3^{2x-x}=3^x

VorgehenPotenzen bei unterschiedlicher Basis zusammenfassen

Verwende axbx=(ab)xa^x\cdot b^x=\left(ab\right)^x und axbx=(ab)x\frac{a^x}{b^x}=\left(\frac{a}{b}\right)^x um Potenzen mit unterschiedlicher Basis zusammenzufassen und eine neue Potenz mit gemeinsamer Basis zu erhalten:

22x52x=(25)2x=102x2^{2x}\cdot5^{2x}=\left(2\cdot5\right)^{2x}=10^{2x} oder

4x+16x+1=(46)x+1=(23)x+1\displaystyle\frac{4^{x+1}}{6^{x+1}}=\left(\frac{4}{6}\right)^{x+1}=\left(\frac{2}{3}\right)^{x+1}

Beispiel

Im folgenden Beispiel hast du zwei Potenzen, die sich sowohl in Basis als auch Exponent unterscheiden. Dein erstes Ziel ist es, bei beiden den gleichen Exponenten herzustellen. Anschließend kannst du die Potenzen durch geeignete Umformungen verrechnen

2x+1\displaystyle 2^{x+1}==40,5x\displaystyle 4\cdot0{,}5^x

Wende links ax+y=axaya^{x+y}=a^x\cdot a^y

2x2\displaystyle 2^x\cdot2==40,5x\displaystyle 4\cdot0{,}5^x:2\displaystyle :2

Bringe alles ohne x auf eine Seite

2x\displaystyle 2^x==20,5x\displaystyle 2\cdot0{,}5^x:0,5x\displaystyle :0{,}5^x

Bringe alle x auf eine Seite

2x0,5x\displaystyle \frac{2^x}{0{,}5^x}==2\displaystyle 2

Verwende axbx=(ab)x\frac{a^x}{b^x}=\left(\frac{a}{b}\right)^x

(20,5)x\displaystyle \left(\frac{2}{0{,}5}\right)^x==2\displaystyle 2
4x\displaystyle 4^x==2\displaystyle 2

Logarithmiere

x\displaystyle x==log42\displaystyle \log_42
x\displaystyle x==0,5\displaystyle 0{,}5

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