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Kumulierte Wahrscheinlichkeit

Die Binomialverteilung bei  und  . Der rot markierte Bereich ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit  .

Die Binomialverteilung bei n=50n=50 und p=0,6p=0{,}6. Der rot markierte Bereich ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit P(27X33)P\left(27\le X\le33\right).

Berechnest du eine kumulierte Wahrscheinlichkeit, so summierst du die Wahrscheinlichkeit mehrerer Ereignisse auf.

Meist wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit bei binomialverteilten Zufallsgrößen und den zugehörigen Bernoulli-Ketten verwendet, um statt P(X=k)P\left(X=k\right) auch Wahrscheinlichkeiten der Form P(X<k), P(Xk), P(X>k),P(Xk)P\left(X<k\right),\ P\left(X\le k\right),\ P\left(X>k\right),P\left(X\ge k\right) und alle Variationen von P(k1<X<k2)P\left(k_1<X<k_2\right) zu bestimmen.

Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit ohne besondere Hilfsmittel

Um eine kumulierte Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, addierst du die Wahrscheinlichkeiten aller Teilereignisse im vorgegebenen Bereich.

P(2X4)P\left(2\le X\le4\right) bedeutet zum Beispiel, dass die Zufallsgröße XXdie Werte 22, 33 und 44 annehmen kann. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit ergibt sich also aus:

P(2X4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)P\left(2\le X\le4\right)=P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)

BeispielDefekte Elektroautos

Das Un­ter­neh­men Nesla stellt Elek­tro­fahr­zeu­ge her. Lei­der ist der Her­stel­ler noch sehr un­er­fah­ren und pro­du­ziert ab und zu feh­ler­haf­te Pro­duk­te. Die Wahr­schein­lich­keit be­trägt 5 %5\ \%, dass ein Auto Feh­ler auf­weist.

Wir berechnen die kumulierte Wahrscheinlichkeit, dass in einer Lieferung von n=100n=100 Fahrzeugen, höchstens k=4k=4 defekt sind.

Kumulierte Wahrscheinlichkeit besteht aus einzelnen Wahrscheinlichkeiten

P(X4)\displaystyle P\left(X\le4\right)==P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)\displaystyle P\left(X=0\right)+P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)

Die Wahrscheinlichkeit hier ist binomialverteilt zu n=100n=100, p=0,05p=0{,}05

==(1000)0,0500,95100+(1001)0,0510,9599+(1002)0,0520,9598+(1003)0,0530,9597+(1004)0,0540,9596\displaystyle \binom{100}{0}\cdot0{,}05^0\cdot0{,}95^{100}+\binom{100}{1}\cdot0{,}05^1\cdot0{,}95^{99}+\binom{100}{2}\cdot0{,}05^2\cdot0{,}95^{98}+\binom{100}{3}\cdot0{,}05^3\cdot0{,}95^{97}+\binom{100}{4}\cdot0{,}05^4\cdot0{,}95^{96}

Das liefert uns der Taschenrechner

0,0059+0,0312+0,0812+0,1396+0,1781\displaystyle 0{,}0059+0{,}0312+0{,}0812+0{,}1396+0{,}1781
==0,4360\displaystyle 0{,}4360

Die Wahrscheinlichkeit ist ungefähr 43,6 %43{,}6\ \%, dass höchstens 4 defekte Fahrzeuge dabei sind.

Aufwändigere kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Während du beim ersten Beispiel die drei Teilwahrscheinlichkeiten vielleicht noch schnell mit der Bernoulli-Formel berechnest, hast du bei P(X100)P\left(X\le100\right) eher weniger Spaß, denn du müsstest alle Teilwahrscheinlichkeiten P(X=0), P(X=1),...P(X=99),P(X=100)P\left(X=0\right),\ P\left(X=1\right),...P\left(X=99\right),P\left(X=100\right) aufsummieren. Oder kurz geschrieben mit dem Summenzeichen: P(X100)=k=0100P(X=k)P\left(X\le100\right)=\sum_{k=0}^{100}P\left(X=k\right).

Hier helfen dir stochastische Tabellen, wie zum Beispiel das Tafelwerk oder der Geogebra Wahrscheinlichkeitsrechner. Auch manche Taschenrechner können das berechnen, schau in der Bedienungsanleitung nach.

Gedruckte Tabellen (die du meistens in der Schule verwenden musst) haben dabei eine Einschränkung: lediglich Wahrscheinlichkeiten der Form P(Xk)P\left(X\le k\right)_{ } können nachgeschaut werden. Im Tafelwerk ist dies zum Beispiel die rechte Spalte der Tabelle. Alle anderen Fälle musst du umschreiben:

zu bestimmende Wahrscheinlichkeit

in Worten

so muss sie umgeschrieben werden

gefragter Bereich am Zahlenstrahl (orange ist jeweils der gefragte Bereich)

P(Xk)P\left(X\le k\right)

höchstens k Treffer

(kann direkt nachgeschaut werden)

Bild

P(X<k)P\left(X<k\right)

weniger als k Treffer

P(Xk1)P\left(X\le k-1\right)

(einen Wert davor nachschauen)

Bild

P(Xk)P\left(X\ge k\right)

mindestens k Treffer

1P(Xk1)1-P\left(X\le k-1\right)

(Gegenereignis betrachten)

Bild

P(X>k)P\left(X>k\right)

mehr als k Treffer

1P(Xk)1-P\left(X\le k\right)

(Gegenereignis betrachten)

Bild

P(k1<Xk2)P\left(k_1<X\le k_2\right)

mehr als k1k_1 aber höchstens k2k_2 Treffer

P(Xk2)P(Xk1)P\left(X\le k_2\right)-P\left(X\le k_1\right)

(Bereich bis zu k1k_1 muss wieder weggenommen werden

Bild

Alle anderen Fälle P(k1XΔ k1)P\left(k_1\square X\Delta\ k_1\right) mit {,<}\square\in\left\{\le,<\right\} und Δ{;>}\Delta\in\left\{\ge;>\right\}

(Kombination aus den obigen)

Auf P(k1<Xk2)P\left(k_1<X\le k_2\right) zurückführen

(analog zum oberen Bild mit anderen Grenzen)

Berechnung mit dem Taschenrechner

Die Berechnung einer kumulierten Wahrscheinlichkeit, gerade bei der Binomialverteilung, ist von Hand sehr mühsam. Die meisten Taschenrechner oder Online-Rechner haben eine Funktion BinomialCDF oder PoissonCDF etc. Wo diese zu finden ist, steht in der Betriebsanleitung. Damit lassen sich kumulierte Wahrscheinlichkeiten von der Form P(Xk)P\left(X\le k\right) in einem Schritt berechnen.

BeispielBerechnung mit BinomialCDF

Im Beispiel unseres Automobilherstellers können wir berechnen:

BinomialCDF mit n=100, k=4, p=0,05n=100,\ k=4,\ p=0{,}05

P(X4)\displaystyle P\left(X\le4\right)0,436\displaystyle 0{,}436
BeispielUmständliche Berechnungen mit BinomialCDF

Ein weiterer Kunde gibt n=300n=300 Fahrzeuge in Auftrag, droht aber den Vertrag zu kündigen, sobald mehr als 3 Fahrzeuge defekt sind.

Berechne P(X>3)P\left(X>3\right).

Das ist das Gegenereignis, siehe unten.

P(X>3)\displaystyle P\left(X>3\right)==1P(X3)\displaystyle 1-P\left(X\le3\right)

BinomialCDF mit n=300, p=0,05, k=3n=300,\ p=0{,}05,\ k=3

10,000164...\displaystyle 1-0{,}000164...
99,98 %\displaystyle 99{,}98\ \%

Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 3 Fahrzeug kaputt sind, liegt bei ungefähr 99,98 %99{,}98\ \%. Damit springt der Kunde recht sicher vom Vertrag ab.


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