Teil A - lernen mit Serlo!

Aufgabe A1

Mia lernt in der Schule den Begriff „Inflation“ kennen. Damit wird der Preisanstieg von Produkten über einen bestimmten Zeitraum hinweg bezeichnet. Dieser Zusammenhang lässt sich unter der Annahme einer gleichbleibenden jährlichen Preissteigerung von $p\;\%$ $%$ näherungsweise durch eine Funktion $f$ mit einer Gleichung der Form

$y=a\cdot\begin{pmatrix} 1+\dfrac{p}{100}\end{pmatrix}^X (\mathbb{G}=\mathbb{R^+}\times\mathbb{R^+}; a,p \in\mathbb{R}^+)$

beschreiben. Dabei steht $a\;€$ für den Anfangspreis eines Produkts und $y\;€$ für dessen Preis nach $x$ Jahren. Mia kauft ihrer Mutter jährlich am 1. Juni Rosen beim örtlichen Blumenladen.

Am 1. Juni 2020 kostete eine Rose noch $2{,}20\;€$ . Am 1. Juni 2022 lag der Preis pro Rose bei $2{,}50\;€$ .

Berechnen Sie den voraussichtlichen Preis einer Rose am 1. Juni 2027 unter der Voraussetzung, dass die jährliche Preissteigerung von $p\;\%$ gleich bleibt. (3 P)

Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

[Zwischenergebnis: $p= 6{,}60$ ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung

$y=a\cdot\begin{pmatrix} 1+\dfrac{p}{100}\end{pmatrix}^X\$ setzte, $\ y=2{,}50;\ a=2{,}20\ \text{und}\ x=2\$ in die Gleichung ein

$\hspace{30mm}$ und berechne $\ \text{}p$ .

Preissteigerung bestimmen

$\displaystyle 2{,}50$	$=$	$\displaystyle 2{,}20\cdot\begin{pmatrix} 1+\dfrac{p}{100}\end{pmatrix}^2\$
	↓	multipliziere die Klammer aus
$\displaystyle 2{,}50$	$=$	$\displaystyle 2{,}20\cdot\begin{pmatrix} 1+\dfrac{2p}{100}+\dfrac{p^2}{10000}\end{pmatrix}\$
	↓	löse die Klammer auf
$\displaystyle 2{,}50$	$=$	$\displaystyle 2{,}20+\dfrac{4{,}40p}{100}+\dfrac{2{,}20p^2}{10000}$	$\displaystyle \cdot10000$
	↓	multipliziere
$\displaystyle 25000$	$=$	$\displaystyle 22000+440p+2{,}20p^2$
	↓	fasse zusammen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2{,}20p^2+440p-3000$
	↓	berechne $\text{p}\$ mit z.B. der Mitternachtsformel
$\displaystyle p_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-440\pm\sqrt{193600+26400}}{4{,}4}$

$\hspace{5mm}p_{1}\ =\ 6{,}60\hspace{15mm}\mathbb{L}=\{6{,}60\}$

$\hspace{5mm}(p_{2}\ =\ -206{,}60)$ : $\ {p_{2}}\notin{\mathbb{R^+}}$

Preis der Rose

Berechne jetzt, wie viel eine Rose im Juni 2027 voraussichtlich kostet.

$f:y=2{,}20\cdot\begin{pmatrix} 1+\dfrac{6{,}60}{100}\end{pmatrix}^X\ \hspace{15mm}\mathbb{G}=\mathbb{R^+}\times\mathbb{R^+}$

$f(7)=2{,}20\cdot\begin{pmatrix} 1+\dfrac{6{,}60}{100}\end{pmatrix}^7\$

$f(7)=2{,}20\cdot1{,}066^7\ \Rightarrow\ f(7)=2{,}200\cdot1{,}564$

$f(7)=3{,}44$

Eine Rose würde voraussichtlich $\ 3{,}44\ €\$ kosten.

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Berechnen Sie, in welchem Jahr Mia erstmals mehr als doppelt so viel für eine Rose bezahlen müsste wie am 1. Juni 2020, wenn man von einer jährlichen Preissteigerung von $6{,}60\;\%$ ausgeht. (2 P)

$\displaystyle 4{,}40$	$=$	$\displaystyle 2{,}20\cdot\left(1+\dfrac{6{,}60}{100}\right)^X$	$\displaystyle :2{,}20$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle \left(1+\dfrac{6{,}60}{100}\right)^X$
	↓	löse die Klammer auf
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle 1{,}066^X$	$\displaystyle \text{lg}$
	↓	logarithmiere
$\displaystyle \text{lg}(2)$	$=$	$\displaystyle x\cdot\text{lg}(1{,}066)$	$\displaystyle :\text{lg}(1{,}066)$
	↓	dividiere
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\text{lg}(2)}{\text{lg}(1{,}066)}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 10{,}85\qquad\mathbb{L}=\{10{,}85\}$

Aufgabe A1

Preissteigerung bestimmen

Preis der Rose

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Berechnung der Anzahl der Jahre

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