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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Aufgabe A1

    Mia lernt in der Schule den Begriff „Inflation“ kennen. Damit wird der Preisanstieg von Produkten über einen bestimmten Zeitraum hinweg bezeichnet. Dieser Zusammenhang lässt sich unter der Annahme einer gleichbleibenden jährlichen Preissteigerung von p  %p\;\%% näherungsweise durch eine Funktion ff mit einer Gleichung der Form

    y=a(1+p100)X(G=R+×R+;a,pR+)y=a\cdot\begin{pmatrix} 1+\dfrac{p}{100}\end{pmatrix}^X (\mathbb{G}=\mathbb{R^+}\times\mathbb{R^+}; a,p \in\mathbb{R}^+)

    beschreiben. Dabei steht a  a\;€ für den Anfangspreis eines Produkts und y  y\;€ für dessen Preis nach xx Jahren. Mia kauft ihrer Mutter jährlich am 1. Juni Rosen beim örtlichen Blumenladen.

    1. Am 1. Juni 2020 kostete eine Rose noch 2,20  2{,}20\;€. Am 1. Juni 2022 lag der Preis pro Rose bei 2,50  2{,}50\;€.

      Berechnen Sie den voraussichtlichen Preis einer Rose am 1. Juni 2027 unter der Voraussetzung, dass die jährliche Preissteigerung von p  %p\;\% gleich bleibt. (3 P)

      Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

      [Zwischenergebnis: p=6,60p= 6{,}60]

    2. Berechnen Sie, in welchem Jahr Mia erstmals mehr als doppelt so viel für eine Rose bezahlen müsste wie am 1. Juni 2020, wenn man von einer jährlichen Preissteigerung von 6,60  %6{,}60\;\% ausgeht. (2 P)


  2. 2

    Aufgabe A2

    Die Strecke [BC][BC] mit dem Mittelpunkt MM ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks ABCABC. Dieses Dreieck ist die Grundfläche der Pyramide ABCSABCS mit der Höhe [MS][MS].

    Es gilt: BC=10  cm\overline{BC}= 10\;\text{cm}; AM=9  cm\overline{AM}= 9\;\text{cm}; MS=7  cm\overline{MS}= 7\;\text{cm}.

    Die Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCSABCS. In der Zeichnung gilt: q=12q=\dfrac{1}{2} ; ω=45°\omega=45°.

    [AM][AM] liegt auf der Schrägbildachse.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Bild
    1. Berechnen Sie das Maß des Winkels ASM ASM. (1 P)

      [[Ergebnis: ASM=52,13°]\sphericalangle ASM=52{,}13°]

    2. Punkte PnP_n liegen auf der Strecke [AS][AS]. Die Winkel SMPnSMP_n haben das Maß φ\varphi mit

      φ  ]0°;90°[\varphi \in\; ]0°;90°[. Punkte QnQ_n liegen auf der Strecke [AM][AM] mit [PnQn][AM][P_nQ_n] \perp [AM]. Die Dreiecke BCQnBCQ_n sind die Grundflächen der Pyramiden BCQnSBCQ_n S mit der Spitze SS und der Höhe [MS][MS].

      Zeichnen Sie die Strecken [MP1MP_1] und [P1Q1P_1Q_1] sowie die Pyramide BCQ1SBCQ_1 S für φ=60°\varphi=60°in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein. (2 P)

    3. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken [MPn][MP_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: MPn(φ)=5,53sin(φ+52,13°)  cm.\overline{MP_n}(\varphi)=\dfrac{5{,}53}{\sin(\varphi+52{,}13°)}\;\text{cm}.

      Die Länge der Strecke [MP0][MP_0] ist minimal. Geben Sie den zugehörigen Wert für φ\varphi an. (3 P)

      °
    4. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken [MQn][MQ_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: (3 P)

      MQn(φ)=5,53sin(φ)sin(φ+52,13°)  cm.\overline{MQ_n}(\varphi)=\dfrac{5{,}53\cdot \sin(\varphi)}{\sin(\varphi+52{,}13°)}\;\text{cm}.

      Berechnen Sie sodann das Volumen der Pyramide BCQ1S.BCQ _1S.

  3. 3

    Aufgabe A3

    Pfeile OPn(φ)=(5sinφ5cosφ)\overrightarrow {OP_n}(\varphi)= \begin{pmatrix} 5\cdot \sin\varphi \\ 5\cdot \cos\varphi \end{pmatrix} und OQn(φ)=(2sin2φ4sinφ)\overrightarrow {OQ_n}(\varphi)= \begin{pmatrix} -2\cdot \sin^2\varphi \\ \dfrac{4}{\sin\varphi} \end{pmatrix}mit O(00)O(0|0) spannen für

    φ  ]0°;90°]\varphi\in\;]0°;90°] Dreiecke OPnQnOP_nQ_n auf.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Bild
    1. Geben Sie für φ=80°\varphi=80°die Koordinaten der Pfeile OP1\overrightarrow {OP_1} und OQ1\overrightarrow {OQ_1} an.

      Zeichnen Sie sodann das Dreieck OP1Q1OP_1Q_1 in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein. (2 P)

    2. Begründen Sie rechnerisch, weshalb die Länge der Strecken [OPn][OP_n] konstant ist. (2 P)

    3. Berechnen Sie das Maß des Winkels P1OQ1.P_1OQ_1. (2 P)

      °

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