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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Aufgabe A1

    Mia lernt in der Schule den Begriff „Inflation“ kennen. Damit wird der Preisanstieg von Produkten über einen bestimmten Zeitraum hinweg bezeichnet. Dieser Zusammenhang lässt sich unter der Annahme einer gleichbleibenden jährlichen Preissteigerung von p% näherungsweise durch eine Funktion f mit einer Gleichung der Form

    y=a(1+p100)X(𝔾=+×+;a,p+)

    beschreiben. Dabei steht a für den Anfangspreis eines Produkts und y für dessen Preis nach x Jahren. Mia kauft ihrer Mutter jährlich am 1. Juni Rosen beim örtlichen Blumenladen.

    1. Am 1. Juni 2020 kostete eine Rose noch 2,20. Am 1. Juni 2022 lag der Preis pro Rose bei 2,50.

      Berechnen Sie den voraussichtlichen Preis einer Rose am 1. Juni 2027 unter der Voraussetzung, dass die jährliche Preissteigerung von p% gleich bleibt. (3 P)

      Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

      [Zwischenergebnis: p=6,60]

    2. Berechnen Sie, in welchem Jahr Mia erstmals mehr als doppelt so viel für eine Rose bezahlen müsste wie am 1. Juni 2020, wenn man von einer jährlichen Preissteigerung von 6,60% ausgeht. (2 P)


  2. 2

    Aufgabe A2

    Die Strecke [BC] mit dem Mittelpunkt M ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks ABC. Dieses Dreieck ist die Grundfläche der Pyramide ABCS mit der Höhe [MS].

    Es gilt: BC=10cm; AM=9cm; MS=7cm.

    Die Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCS. In der Zeichnung gilt: q=12 ; ω=45°.

    [AM] liegt auf der Schrägbildachse.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Bild
    1. Berechnen Sie das Maß des Winkels ASM. (1 P)

      [Ergebnis: ASM=52,13°]

    2. Punkte Pn liegen auf der Strecke [AS]. Die Winkel SMPn haben das Maß φ mit

      φ]0°;90°[. Punkte Qn liegen auf der Strecke [AM] mit [PnQn][AM]. Die Dreiecke BCQn sind die Grundflächen der Pyramiden BCQnS mit der Spitze S und der Höhe [MS].

      Zeichnen Sie die Strecken [MP1] und [P1Q1] sowie die Pyramide BCQ1S für φ=60°in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein. (2 P)

    3. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken [MPn] in Abhängigkeit von φ gilt: MPn(φ)=5,53sin(φ+52,13°)cm.

      Die Länge der Strecke [MP0] ist minimal. Geben Sie den zugehörigen Wert für φ an. (3 P)

      °
    4. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken [MQn] in Abhängigkeit von φ gilt: (3 P)

      MQn(φ)=5,53sin(φ)sin(φ+52,13°)cm.

      Berechnen Sie sodann das Volumen der Pyramide BCQ1S.

  3. 3

    Aufgabe A3

    Pfeile OPn(φ)=(5sinφ5cosφ) und OQn(φ)=(2sin2φ4sinφ)mit O(0|0) spannen für

    φ]0°;90°] Dreiecke OPnQn auf.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Bild
    1. Geben Sie für φ=80°die Koordinaten der Pfeile OP1 und OQ1 an.

      Zeichnen Sie sodann das Dreieck OP1Q1 in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein. (2 P)

    2. Begründen Sie rechnerisch, weshalb die Länge der Strecken [OPn] konstant ist. (2 P)

    3. Berechnen Sie das Maß des Winkels P1OQ1. (2 P)

      °

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