Teil A

$y=a\cdot\begin{pmatrix} 1+\dfrac{p}{100}\end{pmatrix}^X\$setzte, $\ y=2{,}50;\ a=2{,}20\ \text{und}\ x=2\$in die Gleichung ein

$\hspace{30mm}$und berechne $\ \text{}p$.

Preissteigerung bestimmen

$\hspace{5mm}p_{1}\ =\ 6{,}60\hspace{15mm}\mathbb{L}=\{6{,}60\}$

$\hspace{5mm}(p_{2}\ =\ -206{,}60)$ :$\ {p_{2}}\notin{\mathbb{R^+}}$

Preis der Rose

Berechne jetzt, wie viel eine Rose im Juni 2027 voraussichtlich kostet.

$f:y=2{,}20\cdot\begin{pmatrix} 1+\dfrac{6{,}60}{100}\end{pmatrix}^X\ \hspace{15mm}\mathbb{G}=\mathbb{R^+}\times\mathbb{R^+}$

$f(7)=2{,}20\cdot\begin{pmatrix} 1+\dfrac{6{,}60}{100}\end{pmatrix}^7\$

$f(7)=2{,}20\cdot1{,}066^7\ \Rightarrow\ f(7)=2{,}200\cdot1{,}564$

$f(7)=3{,}44$

Eine Rose würde voraussichtlich$\ 3{,}44\ €\$kosten.

Berechnung der Anzahl der Jahre

$\ 2\cdot2{,}20=2{,}20\cdot\left(1+\dfrac{6{,}60}{100}\right)^X\qquad x\in\mathbb{R}^+$

$\qquad4{,}40=2{,}20\cdot\left(1+\dfrac{6{,}60}{100}\right)^X$

Mia müsste im Jahr 2031 erstmals mehr als doppelt so viel für eine Rose bezahlen, wie am 1. Juni 2020.

Berechnung des Winkels

Für den Winkel ist die Strecke $[AM]$ die Gegenkathete und die Strecke $[MS]$ die Ankathete.

geg.: $MS=7 cm$

ges.: Rechnerischer Nachweis für $\overline {MP_n}(φ)=\frac{5{,}53}{sin(φ+52{,}13°)}cm$

Nachweis von $\overline {MP_n}(φ)$

Im Dreieck $MP_nS$ ist der Winkel bei $S$ und der bei $M$ bekannt. Daher ist der Winkel bei $P_n$ gerade $180^\circ-(52{,}13^\circ+\varphi)$.

Verwende nun die Beziehung $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin \alpha$.

1. Nachweis für $[MP_n(\varphi )]$ durch Bildung von Verhältnis der Strecken- und Sinus-Werte

$\displaystyle\hphantom{\Rightarrow} \frac{\overline {MP_n}}{\overline {MS}}=\frac{\sin(52{,}53^\circ)}{\sin(φ+52{,}13^\circ)}$

$\displaystyle\Rightarrow \frac{\overline {MP_n}}{\overline {7cm}}=\frac{\sin(52{,}53^\circ)}{\sin(φ+52{,}13^\circ)}\qquad|$auflösen nach $\color{blue}{\overline {MP_n}(φ)}$

$\displaystyle\Rightarrow \mathbf{\overline {MP_n}(φ)}=\frac{7cm\cdot0{,}78941}{\sin(φ+52{,}13^\circ)}=\mathbf{\frac{5{,}53}{\sin(φ+52{,}13^\circ)}}cm \qquad$$\varphi\in]0^\circ;90^\circ]\qquad$

Zugehöriger Wert für $\varphi$, damit $\overline{MP_0}(φ)$ minimal ist

Der Bruch wird am kleinsten, wenn der Nenner am größten ist. Bestimme $\varphi$ so, dass der Sinus von $90^\circ$ dort steht:

$\mathbf{\varphi}=90^\circ-52{,}13^\circ=\mathbf{37{,}87^\circ}$

geg.: $\displaystyle\mathbf{\overline {MP_n}(φ)}=\mathbf{\frac{5{,}53}{sin(φ+52{,}13^\circ)}}cm$, Identität $cos(90°-\varphi)$ ≙ $sin(\varphi )$

ges.:

1. Länge der Strecke $\overline{MQ_n}(φ)$

2. Volumen der Pyramide $V_{\text{Pyr}}(\varphi=60^\circ)$

Berechnung Länge der Strecke $\overline{MQ_n}(φ)$

Es gilt: $\displaystyle\mathbf{cos(90^\circ-\varphi)}=\biggl[\frac {AK}{HY}\biggl ]=\mathbf{\frac{\overline {MQ_n}}{\overline {MP_n}}}\qquad$ für $\varphi \in]0^\circ;90^\circ]$

Mit gegebenem $\overline{MP_n}(φ)$ und Identität: $\color{blue}cos(90^\circ - α) = sin(α)$

$\Rightarrow$ $\displaystyle\frac{\overline {MQ_n}}{\overline {MP_n}}=\sin(\varphi) \qquad$

$\Rightarrow {\overline {MQ_n}(φ)}={\overline {MP_n}}\cdot \sin(\varphi)$

$\displaystyle\Rightarrow \overline {MQ_n}(φ)={\frac{5{,}53}{\sin(φ+52{,}13^\circ)}}\cdot \sin(φ)\quad$

$\displaystyle\mathbf{\Rightarrow \overline {MQ_n}(φ)={\frac{5{,}53\cdot \sin(\varphi)}{sin(φ+52{,}13^\circ)}}}\qquad$q.e.d.

Volumen der Pyramide $V_{Pyr}(\varphi=60°)$ berechnen:

$\mathbf{V_{BCQ_1S}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h}$

Für $G$ gilt: $G=\frac{1}{2}\cdot \overline{MQ_1}\cdot \overline {BC}\: [cm^2]; \quad\varphi=60°$

Mit $\displaystyle \overline {MQ_1}(60°)=\frac{5{,}53\cdot \sin (60^\circ)}{\sin(60^\circ+52{,}13^\circ)}=\frac{5{,}53\cdot 0{,}866}{0{,}926}=\frac{4{,}788}{0{,}926}=5{,}17\: cm$,

mit $BC=10\:cm$ und mit $MS≙h=7\: cm$

$\mathbf{\Rightarrow V_{BCQ_1S}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot10\:cm\cdot 7\:cm\cdot 5{,}17\: cm=\mathbf{60{,}32\: cm^3}$

geg.: $\overrightarrow {OP_n}(\varphi)= \begin{pmatrix} 5\cdot \sin\varphi \\ 5\cdot \cos\varphi \end{pmatrix}$; $\overrightarrow {OQ_n}(\varphi)= \begin{pmatrix} -2\cdot \mathbf{\sin^2\varphi} \\ \dfrac{4}{\sin\varphi} \end{pmatrix}$; $\varphi=80°$

ges.: Koordinaten $\overrightarrow {OP_1}$ und $\overrightarrow {OQ_1}$ für $\varphi=80°$; Zeichnung Dreieck $OP_1Q_1$

Berechnung der Koordinaten für $\overrightarrow {OP_1}(\varphi=80°)$:

$\overrightarrow {OP_1}(\varphi=80°)= \begin{pmatrix} 5\cdot {\sin80°} \\ 5\cdot {\cos 80°} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\cdot {0{,}98481} \\ 5\cdot {0{,}17365} \end{pmatrix}=\mathbf{\begin{pmatrix} 4{,}92 \\ 0{,}87 \end{pmatrix}}$

Berechnung der Koordinaten für $\overrightarrow {OQ_1}(\varphi=80°)$

$\Rightarrow \overrightarrow {OQ_1}(\varphi=80°)= \begin{pmatrix} -2\cdot \sin^2(80°) \\ \dfrac{4}{\sin 80°} \end{pmatrix}$

$\hphantom{\Rightarrow}=\begin{pmatrix} {-2\cdot 0{,}98481^2} \\ \dfrac{4}{0{,}98481} \end{pmatrix}=\mathbf {\begin{pmatrix} {-1{,}94} \\ 4{,}06 \end{pmatrix}}$

Einzeichnen des Dreiecks $OP_1Q_1$ in das KOSY

geg.: Behauptung : Strecke $[OP_n]=const.$

ges.: Begründung durch rechnerischen Nachweis

Berechnung der Strecken aus den Koordinaten

Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

$\overrightarrow {OP_n}(\varphi)= \begin{pmatrix} 5\cdot \sin\varphi \\ 5\cdot \cos\varphi \end{pmatrix}\\$$\mathbf{\overline{OP_n}(φ)^2=(5\cdot sin\varphi)^2+(5\cdot cos\varphi)^2}$

${\overline{OP_n}^2(φ)={25\cdot (\sin\varphi)^2+25\cdot (\cos\varphi)^2}}$

$\hphantom{{\overline{OP_n}^2(φ)}}=25 \cdot(\sin^2 \varphi+\cos^2 \varphi)$

$\hphantom{{\overline{OP_n}^2(φ)}}=25$ (trigonometrischer Pythagoras)

Daher ist:

$\mathbf{ \overline{OP_n}(φ)=\sqrt{25}\ LE =5\ LE}$ für alle $\varphi \in]0°;90°]\qquad$q.e.d.

geg.: Vektoren $\overline{OP_1}(80°)=\begin{pmatrix} 4{,}92 \\ 0{,}87 \end{pmatrix}$ und $\overline{OQ_1}(80°)=\begin{pmatrix} -1{,}94 \\ 4{,}06 \end{pmatrix}$ gem. Aufgabe 3a

ges.: $∡ P_1OQ_1$

Berechnung mit Kosinussatz aufgelöst nach Kosinus $γ$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(γ)\qquad\qquad$|$-c^2$

$0=c^2+a^2+b^2-2ab\cdot \cos(γ)\qquad\:\:$|$+ 2ab\cdot \cos(γ)$

$2ab\cdot \cos(γ)=-c^2+a^2+b^2\qquad\quad$ | $: 2ab$

$\displaystyle\cos(γ)=\frac{-c^2+a^2+b^2}{2ab}$

Berechnung von $a, b, c$ und $cos(γ)$

$\Rightarrow a: ≙ |\overline {OP_1}|=5\:\qquad$für alle $\varphi$ nach Teil b)

$\Rightarrow b: ≙ |\overline {OQ_1}|=\sqrt{-1{,}94^2+4{,}06^2}=\sqrt{3{,}76+16{,}48}=\sqrt{20{,}24}=4{,}50$

Berechnung Vektor $\overrightarrow {P_1Q_1}$ mit Vektoraddition $\overrightarrow{OP_1}\oplus\overrightarrow{P_1Q_1}=\overrightarrow {OQ_1}$

umgestellt nach $\overrightarrow{P_1Q_1}=\overrightarrow {OQ_1}-\overrightarrow{OP_1}=\begin{pmatrix} -1{,}94 \\ 4{,}06 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4{,}92 \\ 0{,}87 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6{,}86 \\ 3{,}19 \end{pmatrix}$

$c^2= \mathbf{\overrightarrow{|P_1Q_1|^2}}={(-6{,}86)^2+3{,}22^2}={47{,}06+10{,}18}={57{,}24}$

Die Werte von $a^2$ und $b^2$ sind schon oben berechnet worden.

$\displaystyle\Rightarrow \mathbf{\cos(∡P_1 OQ_1 )}=\frac{-c^2+a^2+b^2}{2ab}$

$\displaystyle=\frac{-57{,}46+25+20{,}24}{2\cdot5\cdot4{,}50} =\frac{-12{,}22}{45}=\mathbf{-0{,}27}$

Falls $\cos(∡P_1OQ_1 )$ negativ, so ist $∡P_1OQ_1$ zwischen $90°$ und $180°$ groß.

Kosinuswert $\mathbf{∡P_1OQ_1=-0{,}27 \qquad \Rightarrow ∡P_1 OQ_1=105{,}76^\circ}$