Teil A

$y=a\cdot {\left(\begin{array}{c}1+{\displaystyle \frac{p}{100}}\end{array}\right)}^X$setzte, $y=\mathrm{2,50};a=\mathrm{2,20}\text{und}x=2$in die Gleichung ein

$$und berechne $p$.

Preissteigerung bestimmen

$p_1=\mathrm{6,60}𝕃=\{\mathrm{6,60}\}$

$(p_2=-\mathrm{206,60})$ :$p_2\notin {ℝ}^{+}$

Preis der Rose

Berechne jetzt, wie viel eine Rose im Juni 2027 voraussichtlich kostet.

$f:y=\mathrm{2,20}\cdot {\left(\begin{array}{c}1+{\displaystyle \frac{\mathrm{6,60}}{100}}\end{array}\right)}^X𝔾={ℝ}^{+}\times {ℝ}^{+}$

$f(7)=\mathrm{2,20}\cdot {\left(\begin{array}{c}1+{\displaystyle \frac{\mathrm{6,60}}{100}}\end{array}\right)}^7$

$f(7)=\mathrm{2,20}\cdot {\mathrm{1,066}}^7\Rightarrow f(7)=\mathrm{2,200}\cdot \mathrm{1,564}$

$f(7)=\mathrm{3,44}$

Eine Rose würde voraussichtlich$\mathrm{3,44}€$kosten.

Berechnung der Anzahl der Jahre

$2\cdot \mathrm{2,20}=\mathrm{2,20}\cdot {(1+{\displaystyle \frac{\mathrm{6,60}}{100}})}^{X}x\in {ℝ}^{+}$

$\mathrm{4,40}=\mathrm{2,20}\cdot {(1+{\displaystyle \frac{\mathrm{6,60}}{100}})}^X$

Mia müsste im Jahr 2031 erstmals mehr als doppelt so viel für eine Rose bezahlen, wie am 1. Juni 2020.

Berechnung des Winkels

Für den Winkel ist die Strecke $[AM]$ die Gegenkathete und die Strecke $[MS]$ die Ankathete.

geg.: $MS=7cm$

ges.: Rechnerischer Nachweis für $\overline{M{P}_n}(\phi )=\frac{\mathrm{5,53}}{sin(\phi +\mathrm{52,13}°)}cm$

Nachweis von $\overline{M{P}_n}(\phi )$

Im Dreieck $M{P}_{n}S$ ist der Winkel bei $S$ und der bei $M$ bekannt. Daher ist der Winkel bei $P_n$ gerade ${180}^{\circ }-({\mathrm{52,13}}^{\circ }+\phi )$.

Verwende nun die Beziehung $\sin ({180}^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$.

1. Nachweis für $[M{P}_n(\phi )]$ durch Bildung von Verhältnis der Strecken- und Sinus-Werte

$${\displaystyle \phantom{\Rightarrow }\frac{\overline{M{P}_n}}{\overline{MS}}=\frac{\sin ({\mathrm{52,53}}^{\circ })}{\sin (\phi +{\mathrm{52,13}}^{\circ })}}$$

$${\displaystyle \Rightarrow \frac{\overline{M{P}_n}}{\overline{7cm}}=\frac{\sin ({\mathrm{52,53}}^{\circ })}{\sin (\phi +{\mathrm{52,13}}^{\circ })}|}$$auflösen nach $\overline{M{P}_n}(\phi )$

$${\displaystyle \Rightarrow \overline{𝐌{𝐏}_{𝐧}}(𝛗)=\frac{7cm\cdot \mathrm{0,78941}}{\sin (\phi +{\mathrm{52,13}}^{\circ })}=\frac{\mathrm{𝟓,𝟓𝟑}}{\sin (𝛗+{\mathrm{𝟓𝟐,𝟏𝟑}}^{\circ })}cm}$$$\phi \in ]0^{\circ };{90}^{\circ }]$

Zugehöriger Wert für $\phi$, damit $\overline{M{P}_0}(\phi )$ minimal ist

Der Bruch wird am kleinsten, wenn der Nenner am größten ist. Bestimme $\phi$ so, dass der Sinus von ${90}^{\circ }$ dort steht:

$𝛗={90}^{\circ }-{\mathrm{52,13}}^{\circ }={\mathrm{𝟑𝟕,𝟖𝟕}}^{\circ }$

geg.: $${\displaystyle \overline{𝐌{𝐏}_{𝐧}}(𝛗)=\frac{\mathrm{𝟓,𝟓𝟑}}{𝐬𝐢𝐧(𝛗+{\mathrm{𝟓𝟐,𝟏𝟑}}^{\circ })}cm}$$, Identität $cos(90°-\phi )$ ≙ $sin(\phi )$

ges.:

1. Länge der Strecke $\overline{M{Q}_n}(\phi )$

2. Volumen der Pyramide $V_{\text{Pyr}}(\phi ={60}^{\circ })$

Berechnung Länge der Strecke $\overline{M{Q}_n}(\phi )$

Es gilt: $${\displaystyle 𝐜𝐨𝐬({\mathrm{𝟗𝟎}}^{\circ }-𝛗)=\left[\frac{AK}{HY}\right]=\frac{\overline{𝐌{𝐐}_{𝐧}}}{\overline{𝐌{𝐏}_{𝐧}}}}$$ für $\phi \in ]0^{\circ };{90}^{\circ }]$

Mit gegebenem $\overline{M{P}_n}(\phi )$ und Identität: $cos({90}^{\circ }-\alpha )=sin(\alpha )$

$\Rightarrow$ $${\displaystyle \frac{\overline{M{Q}_n}}{\overline{M{P}_n}}=\sin (\phi )}$$

$\Rightarrow \overline{M{Q}_n}(\phi )=\overline{M{P}_n}\cdot \sin (\phi )$

$${\displaystyle \Rightarrow \overline{M{Q}_n}(\phi )=\frac{\mathrm{5,53}}{\sin (\phi +{\mathrm{52,13}}^{\circ })}\cdot \sin (\phi )}$$

$${\displaystyle \Rightarrow \overline{𝐌{𝐐}_{𝐧}}(𝛗)=\frac{\mathrm{𝟓,𝟓𝟑}\cdot \sin (𝛗)}{𝐬𝐢𝐧(𝛗+{\mathrm{𝟓𝟐,𝟏𝟑}}^{\circ })}}$$q.e.d.

Volumen der Pyramide $V_{Pyr}(\phi =60°)$ berechnen:

${𝐕}_{𝐁𝐂{𝐐}_{\mathrm{𝟏}}𝐒}=\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟑}}\cdot 𝐆\cdot 𝐡$

Für $G$ gilt: $G=\frac{1}{2}\cdot \overline{M{Q}_1}\cdot \overline{BC}[c{m}^2];\phi =60°$

Mit $${\displaystyle \overline{M{Q}_1}(60°)=\frac{\mathrm{5,53}\cdot \sin ({60}^{\circ })}{\sin ({60}^{\circ }+{\mathrm{52,13}}^{\circ })}=\frac{\mathrm{5,53}\cdot \mathrm{0,866}}{\mathrm{0,926}}=\frac{\mathrm{4,788}}{\mathrm{0,926}}=\mathrm{5,17}cm}$$,

mit $BC=10cm$ und mit $MS\stackrel{\wedge}{=}h=7cm$

$\Rightarrow {𝐕}_{𝐁𝐂{𝐐}_{\mathrm{𝟏}}𝐒}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 10cm\cdot 7cm\cdot \mathrm{5,17}cm=\mathrm{𝟔𝟎,𝟑𝟐}𝐜{𝐦}^{\mathrm{𝟑}}$

geg.: $\overrightarrow{O{P}_n}(\phi )=\left(\begin{array}{c}5\cdot \sin \phi \\ 5\cdot \cos \phi \end{array}\right)$; $\overrightarrow{O{Q}_n}(\phi )=\left(\begin{array}{c}-2\cdot {\sin }^{\mathrm{𝟐}}𝛗\\ {\displaystyle \frac{4}{\sin \phi }}\end{array}\right)$; $\phi =80°$

ges.: Koordinaten $\overrightarrow{O{P}_1}$ und $\overrightarrow{O{Q}_1}$ für $\phi =80°$; Zeichnung Dreieck $O{P}_1{Q}_1$

Berechnung der Koordinaten für $\overrightarrow{O{P}_1}(\phi =80°)$:

$\overrightarrow{O{P}_1}(\phi =80°)=\left(\begin{array}{c}5\cdot \sin 80°\\ 5\cdot \cos 80°\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\cdot \mathrm{0,98481}\\ 5\cdot \mathrm{0,17365}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{𝟒,𝟗𝟐}\\ \mathrm{𝟎,𝟖𝟕}\end{array}\right)$

Berechnung der Koordinaten für $\overrightarrow{O{Q}_1}(\phi =80°)$

$\Rightarrow \overrightarrow{O{Q}_1}(\phi =80°)=\left(\begin{array}{c}-2\cdot {\sin }^2(80°)\\ {\displaystyle \frac{4}{\sin 80°}}\end{array}\right)$

$\phantom{\Rightarrow }=\left(\begin{array}{c}-2\cdot {\mathrm{0,98481}}^2\\ {\displaystyle \frac{4}{\mathrm{0,98481}}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{𝟏,𝟗𝟒}\\ \mathrm{𝟒,𝟎𝟔}\end{array}\right)$

Einzeichnen des Dreiecks $O{P}_1{Q}_1$ in das KOSY

geg.: Behauptung : Strecke $[O{P}_n]=const.$

ges.: Begründung durch rechnerischen Nachweis

Berechnung der Strecken aus den Koordinaten

Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{O{P}_n}(\phi )=\left(\begin{array}{c}5\cdot \sin \phi \\ 5\cdot \cos \phi \end{array}\right)\\ \end{array}$$\overline{𝐎{𝐏}_{𝐧}}(𝛗{)}^{\mathrm{𝟐}}=(\mathrm{𝟓}\cdot 𝐬𝐢𝐧𝛗{)}^{\mathrm{𝟐}}+(\mathrm{𝟓}\cdot 𝐜𝐨𝐬𝛗{)}^{\mathrm{𝟐}}$

${\overline{O{P}_n}}^2(\phi )=25\cdot (\sin \phi {)}^2+25\cdot (\cos \phi {)}^2$

$\phantom{{\overline{O{P}_n}}^2(\phi )}=25\cdot ({\sin }^2\phi +{\cos }^2\phi )$

$\phantom{{\overline{O{P}_n}}^2(\phi )}=25$ (trigonometrischer Pythagoras)

Daher ist:

$\overline{𝐎{𝐏}_{𝐧}}(𝛗)=\sqrt{\mathrm{𝟐𝟓}}𝐋𝐄=\mathrm{𝟓}𝐋𝐄$ für alle $\phi \in ]0°;90°]$q.e.d.

geg.: Vektoren $\overline{O{P}_1}(80°)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{4,92}\\ \mathrm{0,87}\end{array}\right)$ und $\overline{O{Q}_1}(80°)=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{1,94}\\ \mathrm{4,06}\end{array}\right)$ gem. Aufgabe 3a

ges.: $\measuredangle P_{1}O{Q}_1$

Berechnung mit Kosinussatz aufgelöst nach Kosinus $\gamma$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (\gamma )$|$-c^2$

$0=c^2+a^2+b^2-2ab\cdot \cos (\gamma )$|$+2ab\cdot \cos (\gamma )$

$2ab\cdot \cos (\gamma )=-c^2+a^2+b^2$ | $:2ab$

$${\displaystyle \cos (\gamma )=\frac{-c^2+a^2+b^2}{2ab}}$$

Berechnung von $a,b,c$ und $cos(\gamma )$

$\Rightarrow a:\stackrel{\wedge}{=}|\overline{O{P}_1}|=5$für alle $\phi$ nach Teil b)

$\Rightarrow b:\stackrel{\wedge}{=}|\overline{O{Q}_1}|=\sqrt{-{\mathrm{1,94}}^2+{\mathrm{4,06}}^2}=\sqrt{\mathrm{3,76}+\mathrm{16,48}}=\sqrt{\mathrm{20,24}}=\mathrm{4,50}$

Berechnung Vektor $\overrightarrow{P_1{Q}_1}$ mit Vektoraddition $\overrightarrow{O{P}_1}\oplus ︎\overrightarrow{P_1{Q}_1}=\overrightarrow{O{Q}_1}$

umgestellt nach $\overrightarrow{P_1{Q}_1}=\overrightarrow{O{Q}_1}-\overrightarrow{O{P}_1}=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{1,94}\\ \mathrm{4,06}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\mathrm{4,92}\\ \mathrm{0,87}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{6,86}\\ \mathrm{3,19}\end{array}\right)$

$c^2=\overrightarrow{|{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}{𝐐}_{\mathrm{𝟏}}{|}^{\mathrm{𝟐}}}=(-\mathrm{6,86}{)}^2+{\mathrm{3,22}}^2=\mathrm{47,06}+\mathrm{10,18}=\mathrm{57,24}$

Die Werte von $a^2$ und $b^2$ sind schon oben berechnet worden.

$${\displaystyle \Rightarrow \cos (\measuredangle {𝐏}_{\mathrm{𝟏}}𝐎{𝐐}_{\mathrm{𝟏}})=\frac{-c^2+a^2+b^2}{2ab}}$$

$${\displaystyle =\frac{-\mathrm{57,46}+25+\mathrm{20,24}}{2\cdot 5\cdot \mathrm{4,50}}=\frac{-\mathrm{12,22}}{45}=-\mathrm{𝟎,𝟐𝟕}}$$

Falls $\cos (\measuredangle P_{1}O{Q}_1)$ negativ, so ist $\measuredangle P_{1}O{Q}_1$ zwischen $90°$ und $180°$ groß.

Kosinuswert $\measuredangle {𝐏}_{\mathrm{𝟏}}𝐎{𝐐}_{\mathrm{𝟏}}=-\mathrm{𝟎,𝟐𝟕}\Rightarrow \measuredangle {𝐏}_{\mathrm{𝟏}}𝐎{𝐐}_{\mathrm{𝟏}}={\mathrm{𝟏𝟎𝟓,𝟕𝟔}}^{\circ }$