geg.: $\overrightarrow{O{P}_n}(\phi )=\left(\begin{array}{c}5\cdot \sin \phi \\ 5\cdot \cos \phi \end{array}\right)$; $\overrightarrow{O{Q}_n}(\phi )=\left(\begin{array}{c}-2\cdot {\sin }^{\mathrm{𝟐}}𝛗\\ {\displaystyle \frac{4}{\sin \phi }}\end{array}\right)$; $\phi =80°$

ges.: Koordinaten $\overrightarrow{O{P}_1}$ und $\overrightarrow{O{Q}_1}$ für $\phi =80°$; Zeichnung Dreieck $O{P}_1{Q}_1$

Berechnung der Koordinaten für $\overrightarrow{O{P}_1}(\phi =80°)$:

$\overrightarrow{O{P}_1}(\phi =80°)=\left(\begin{array}{c}5\cdot \sin 80°\\ 5\cdot \cos 80°\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\cdot \mathrm{0,98481}\\ 5\cdot \mathrm{0,17365}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{𝟒,𝟗𝟐}\\ \mathrm{𝟎,𝟖𝟕}\end{array}\right)$

Berechnung der Koordinaten für $\overrightarrow{O{Q}_1}(\phi =80°)$

$\Rightarrow \overrightarrow{O{Q}_1}(\phi =80°)=\left(\begin{array}{c}-2\cdot {\sin }^2(80°)\\ {\displaystyle \frac{4}{\sin 80°}}\end{array}\right)$

$\phantom{\Rightarrow }=\left(\begin{array}{c}-2\cdot {\mathrm{0,98481}}^2\\ {\displaystyle \frac{4}{\mathrm{0,98481}}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{𝟏,𝟗𝟒}\\ \mathrm{𝟒,𝟎𝟔}\end{array}\right)$

Einzeichnen des Dreiecks $O{P}_1{Q}_1$ in das KOSY

geg.: Behauptung : Strecke $[O{P}_n]=const.$

ges.: Begründung durch rechnerischen Nachweis

Berechnung der Strecken aus den Koordinaten

Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{O{P}_n}(\phi )=\left(\begin{array}{c}5\cdot \sin \phi \\ 5\cdot \cos \phi \end{array}\right)\\ \end{array}$$\overline{𝐎{𝐏}_{𝐧}}(𝛗{)}^{\mathrm{𝟐}}=(\mathrm{𝟓}\cdot 𝐬𝐢𝐧𝛗{)}^{\mathrm{𝟐}}+(\mathrm{𝟓}\cdot 𝐜𝐨𝐬𝛗{)}^{\mathrm{𝟐}}$

${\overline{O{P}_n}}^2(\phi )=25\cdot (\sin \phi {)}^2+25\cdot (\cos \phi {)}^2$

$\phantom{{\overline{O{P}_n}}^2(\phi )}=25\cdot ({\sin }^2\phi +{\cos }^2\phi )$

$\phantom{{\overline{O{P}_n}}^2(\phi )}=25$ (trigonometrischer Pythagoras)

Daher ist:

$\overline{𝐎{𝐏}_{𝐧}}(𝛗)=\sqrt{\mathrm{𝟐𝟓}}𝐋𝐄=\mathrm{𝟓}𝐋𝐄$ für alle $\phi \in ]0°;90°]$q.e.d.

geg.: Vektoren $\overline{O{P}_1}(80°)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{4,92}\\ \mathrm{0,87}\end{array}\right)$ und $\overline{O{Q}_1}(80°)=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{1,94}\\ \mathrm{4,06}\end{array}\right)$ gem. Aufgabe 3a

ges.: $\measuredangle P_{1}O{Q}_1$

Berechnung mit Kosinussatz aufgelöst nach Kosinus $\gamma$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (\gamma )$|$-c^2$

$0=c^2+a^2+b^2-2ab\cdot \cos (\gamma )$|$+2ab\cdot \cos (\gamma )$

$2ab\cdot \cos (\gamma )=-c^2+a^2+b^2$ | $:2ab$

$${\displaystyle \cos (\gamma )=\frac{-c^2+a^2+b^2}{2ab}}$$

Berechnung von $a,b,c$ und $cos(\gamma )$

$\Rightarrow a:\stackrel{\wedge}{=}|\overline{O{P}_1}|=5$für alle $\phi$ nach Teil b)

$\Rightarrow b:\stackrel{\wedge}{=}|\overline{O{Q}_1}|=\sqrt{-{\mathrm{1,94}}^2+{\mathrm{4,06}}^2}=\sqrt{\mathrm{3,76}+\mathrm{16,48}}=\sqrt{\mathrm{20,24}}=\mathrm{4,50}$

Berechnung Vektor $\overrightarrow{P_1{Q}_1}$ mit Vektoraddition $\overrightarrow{O{P}_1}\oplus ︎\overrightarrow{P_1{Q}_1}=\overrightarrow{O{Q}_1}$

umgestellt nach $\overrightarrow{P_1{Q}_1}=\overrightarrow{O{Q}_1}-\overrightarrow{O{P}_1}=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{1,94}\\ \mathrm{4,06}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\mathrm{4,92}\\ \mathrm{0,87}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{6,86}\\ \mathrm{3,19}\end{array}\right)$

$c^2=\overrightarrow{|{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}{𝐐}_{\mathrm{𝟏}}{|}^{\mathrm{𝟐}}}=(-\mathrm{6,86}{)}^2+{\mathrm{3,22}}^2=\mathrm{47,06}+\mathrm{10,18}=\mathrm{57,24}$

Die Werte von $a^2$ und $b^2$ sind schon oben berechnet worden.

$${\displaystyle \Rightarrow \cos (\measuredangle {𝐏}_{\mathrm{𝟏}}𝐎{𝐐}_{\mathrm{𝟏}})=\frac{-c^2+a^2+b^2}{2ab}}$$

$${\displaystyle =\frac{-\mathrm{57,46}+25+\mathrm{20,24}}{2\cdot 5\cdot \mathrm{4,50}}=\frac{-\mathrm{12,22}}{45}=-\mathrm{𝟎,𝟐𝟕}}$$

Falls $\cos (\measuredangle P_{1}O{Q}_1)$ negativ, so ist $\measuredangle P_{1}O{Q}_1$ zwischen $90°$ und $180°$ groß.

Kosinuswert $\measuredangle {𝐏}_{\mathrm{𝟏}}𝐎{𝐐}_{\mathrm{𝟏}}=-\mathrm{𝟎,𝟐𝟕}\Rightarrow \measuredangle {𝐏}_{\mathrm{𝟏}}𝐎{𝐐}_{\mathrm{𝟏}}={\mathrm{𝟏𝟎𝟓,𝟕𝟔}}^{\circ }$