Berechnung des Winkels

Für den Winkel ist die Strecke $[AM]$ die Gegenkathete und die Strecke $[MS]$ die Ankathete.

geg.: $MS=7cm$

ges.: Rechnerischer Nachweis für $\overline{M{P}_n}(\phi )=\frac{\mathrm{5,53}}{sin(\phi +\mathrm{52,13}°)}cm$

Nachweis von $\overline{M{P}_n}(\phi )$

Im Dreieck $M{P}_{n}S$ ist der Winkel bei $S$ und der bei $M$ bekannt. Daher ist der Winkel bei $P_n$ gerade ${180}^{\circ }-({\mathrm{52,13}}^{\circ }+\phi )$.

Verwende nun die Beziehung $\sin ({180}^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$.

1. Nachweis für $[M{P}_n(\phi )]$ durch Bildung von Verhältnis der Strecken- und Sinus-Werte

$${\displaystyle \phantom{\Rightarrow }\frac{\overline{M{P}_n}}{\overline{MS}}=\frac{\sin ({\mathrm{52,53}}^{\circ })}{\sin (\phi +{\mathrm{52,13}}^{\circ })}}$$

$${\displaystyle \Rightarrow \frac{\overline{M{P}_n}}{\overline{7cm}}=\frac{\sin ({\mathrm{52,53}}^{\circ })}{\sin (\phi +{\mathrm{52,13}}^{\circ })}|}$$auflösen nach $\overline{M{P}_n}(\phi )$

$${\displaystyle \Rightarrow \overline{𝐌{𝐏}_{𝐧}}(𝛗)=\frac{7cm\cdot \mathrm{0,78941}}{\sin (\phi +{\mathrm{52,13}}^{\circ })}=\frac{\mathrm{𝟓,𝟓𝟑}}{\sin (𝛗+{\mathrm{𝟓𝟐,𝟏𝟑}}^{\circ })}cm}$$$\phi \in ]0^{\circ };{90}^{\circ }]$

Zugehöriger Wert für $\phi$, damit $\overline{M{P}_0}(\phi )$ minimal ist

Der Bruch wird am kleinsten, wenn der Nenner am größten ist. Bestimme $\phi$ so, dass der Sinus von ${90}^{\circ }$ dort steht:

$𝛗={90}^{\circ }-{\mathrm{52,13}}^{\circ }={\mathrm{𝟑𝟕,𝟖𝟕}}^{\circ }$

geg.: $${\displaystyle \overline{𝐌{𝐏}_{𝐧}}(𝛗)=\frac{\mathrm{𝟓,𝟓𝟑}}{𝐬𝐢𝐧(𝛗+{\mathrm{𝟓𝟐,𝟏𝟑}}^{\circ })}cm}$$, Identität $cos(90°-\phi )$ ≙ $sin(\phi )$

ges.:

1. Länge der Strecke $\overline{M{Q}_n}(\phi )$

2. Volumen der Pyramide $V_{\text{Pyr}}(\phi ={60}^{\circ })$

Berechnung Länge der Strecke $\overline{M{Q}_n}(\phi )$

Es gilt: $${\displaystyle 𝐜𝐨𝐬({\mathrm{𝟗𝟎}}^{\circ }-𝛗)=\left[\frac{AK}{HY}\right]=\frac{\overline{𝐌{𝐐}_{𝐧}}}{\overline{𝐌{𝐏}_{𝐧}}}}$$ für $\phi \in ]0^{\circ };{90}^{\circ }]$

Mit gegebenem $\overline{M{P}_n}(\phi )$ und Identität: $cos({90}^{\circ }-\alpha )=sin(\alpha )$

$\Rightarrow$ $${\displaystyle \frac{\overline{M{Q}_n}}{\overline{M{P}_n}}=\sin (\phi )}$$

$\Rightarrow \overline{M{Q}_n}(\phi )=\overline{M{P}_n}\cdot \sin (\phi )$

$${\displaystyle \Rightarrow \overline{M{Q}_n}(\phi )=\frac{\mathrm{5,53}}{\sin (\phi +{\mathrm{52,13}}^{\circ })}\cdot \sin (\phi )}$$

$${\displaystyle \Rightarrow \overline{𝐌{𝐐}_{𝐧}}(𝛗)=\frac{\mathrm{𝟓,𝟓𝟑}\cdot \sin (𝛗)}{𝐬𝐢𝐧(𝛗+{\mathrm{𝟓𝟐,𝟏𝟑}}^{\circ })}}$$q.e.d.

Volumen der Pyramide $V_{Pyr}(\phi =60°)$ berechnen:

${𝐕}_{𝐁𝐂{𝐐}_{\mathrm{𝟏}}𝐒}=\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟑}}\cdot 𝐆\cdot 𝐡$

Für $G$ gilt: $G=\frac{1}{2}\cdot \overline{M{Q}_1}\cdot \overline{BC}[c{m}^2];\phi =60°$

Mit $${\displaystyle \overline{M{Q}_1}(60°)=\frac{\mathrm{5,53}\cdot \sin ({60}^{\circ })}{\sin ({60}^{\circ }+{\mathrm{52,13}}^{\circ })}=\frac{\mathrm{5,53}\cdot \mathrm{0,866}}{\mathrm{0,926}}=\frac{\mathrm{4,788}}{\mathrm{0,926}}=\mathrm{5,17}cm}$$,

mit $BC=10cm$ und mit $MS\stackrel{\wedge}{=}h=7cm$

$\Rightarrow {𝐕}_{𝐁𝐂{𝐐}_{\mathrm{𝟏}}𝐒}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 10cm\cdot 7cm\cdot \mathrm{5,17}cm=\mathrm{𝟔𝟎,𝟑𝟐}𝐜{𝐦}^{\mathrm{𝟑}}$