Teil A - lernen mit Serlo!

Aufgabe A2

Die Strecke $[B C]$ mit dem Mittelpunkt $M$ ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks $A B C$ . Dieses Dreieck ist die Grundfläche der Pyramide $A B C S$ mit der Höhe $[M S]$ .

Es gilt: $\overline{BC}= 10\;\text{cm}$ ; $\overline{AM}= 9\;\text{cm}$ ; $\overline{MS}= 7\;\text{cm}$ .

Die Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide $A B C S$ . In der Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}$ ; $\omega=45°$ .

$[A M]$ liegt auf der Schrägbildachse.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Berechnen Sie das Maß des Winkels $A S M$ . (1 P)
$[$ Ergebnis: $\sphericalangle ASM=52{,}13°]$

Berechnung des Winkels
Für den Winkel ist die Strecke $[A M]$ die Gegenkathete und die Strecke $[M S]$ die Ankathete.
$\displaystyle \tan∡ASM$ $=$ $\displaystyle \frac{\overline{AM}}{\overline{MS}}=\frac{9\ cm}{7\ cm}=1{,}286$
$\displaystyle ∡ASM$ $=$ $\displaystyle 52{,}13°$
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Das Dreieck $A M S$ ist bei $M$ rechtwinklig. Daher wird der Winkel $\measuredangle ASM$ mit dem Tangens berechnet.
Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke $[A S]$ . Die Winkel $S M P_{n}$ haben das Maß $\varphi$ mit
$\varphi \in\; ]0°;90°[$ . Punkte $Q_{n}$ liegen auf der Strecke $[A M]$ mit $[P_nQ_n] \perp [AM]$ . Die Dreiecke $B C Q_{n}$ sind die Grundflächen der Pyramiden $B C Q_{n} S$ mit der Spitze $S$ und der Höhe $[M S]$ .
Zeichnen Sie die Strecken [ $M P_{1}$ ] und [ $P_{1} Q_{1}$ ] sowie die Pyramide $B C Q_{1} S$ für $\varphi=60°$ in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Skizze
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Zeichne die Strecken $[M P_{1}]$ und $[P_{1} Q_{1}]$ und Pyramide $B C Q_{1} S$ für $\varphi=60°$
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $[M P_{n}]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $\overline{MP_n}(\varphi)=\dfrac{5{,}53}{\sin(\varphi+52{,}13°)}\;\text{cm}.$
Die Länge der Strecke $[M P_{0}]$ ist minimal. Geben Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$ an. (3 P)
°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
geg.: $M S = 7 c m$
ges.: Rechnerischer Nachweis für $\overline {MP_n}(φ)=\frac{5{,}53}{sin(φ+52{,}13°)}cm$
Nachweis von $\overline {MP_n}(φ)$
Im Dreieck $M P_{n} S$ ist der Winkel bei $S$ und der bei $M$ bekannt. Daher ist der Winkel bei $P_{n}$ gerade $180^\circ-(52{,}13^\circ+\varphi)$ .
Verwende nun die Beziehung $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin \alpha$ .
1. Nachweis für $[MP_n(\varphi )]$ durch Bildung von Verhältnis der Strecken- und Sinus-Werte
$\displaystyle\hphantom{\Rightarrow} \frac{\overline {MP_n}}{\overline {MS}}=\frac{\sin(52{,}53^\circ)}{\sin(φ+52{,}13^\circ)}$
$\displaystyle\Rightarrow \frac{\overline {MP_n}}{\overline {7cm}}=\frac{\sin(52{,}53^\circ)}{\sin(φ+52{,}13^\circ)}\qquad|$ auflösen nach $\color{blue}{\overline {MP_n}(φ)}$
$\displaystyle\Rightarrow \mathbf{\overline {MP_n}(φ)}=\frac{7cm\cdot0{,}78941}{\sin(φ+52{,}13^\circ)}=\mathbf{\frac{5{,}53}{\sin(φ+52{,}13^\circ)}}cm \qquad$ $\varphi\in]0^\circ;90^\circ]\qquad$
Zugehöriger Wert für $\varphi$ , damit $\overline{MP_0}(φ)$ minimal ist
Der Bruch wird am kleinsten, wenn der Nenner am größten ist. Bestimme $\varphi$ so, dass der Sinus von $90^\circ$ dort steht:
$\mathbf{\varphi}=90^\circ-52{,}13^\circ=\mathbf{37{,}87^\circ}$
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Bestimme den Winkel $M P_{n} S$ und verende den Sinussatz.
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $[M Q_{n}]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: (3 P)
$\overline{MQ_n}(\varphi)=\dfrac{5{,}53\cdot \sin(\varphi)}{\sin(\varphi+52{,}13°)}\;\text{cm}.$
Berechnen Sie sodann das Volumen der Pyramide $B C Q_{1} S .$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
geg.: $\displaystyle\mathbf{\overline {MP_n}(φ)}=\mathbf{\frac{5{,}53}{sin(φ+52{,}13^\circ)}}cm$ , Identität $cos(90°-\varphi)$ ≙ $sin(\varphi )$
ges.:
1. Länge der Strecke $\overline{MQ_n}(φ)$
2. Volumen der Pyramide $V_{\text{Pyr}}(\varphi=60^\circ)$
Berechnung Länge der Strecke $\overline{MQ_n}(φ)$
Es gilt: $\displaystyle\mathbf{cos(90^\circ-\varphi)}=\biggl[\frac {AK}{HY}\biggl ]=\mathbf{\frac{\overline {MQ_n}}{\overline {MP_n}}}\qquad$ für $\varphi \in]0^\circ;90^\circ]$
Mit gegebenem $\overline{MP_n}(φ)$ und Identität: $\color{blue}cos(90^\circ - α) = sin(α)$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\frac{\overline {MQ_n}}{\overline {MP_n}}=\sin(\varphi) \qquad$
$\Rightarrow {\overline {MQ_n}(φ)}={\overline {MP_n}}\cdot \sin(\varphi)$
$\displaystyle\Rightarrow \overline {MQ_n}(φ)={\frac{5{,}53}{\sin(φ+52{,}13^\circ)}}\cdot \sin(φ)\quad$
$\displaystyle\mathbf{\Rightarrow \overline {MQ_n}(φ)={\frac{5{,}53\cdot \sin(\varphi)}{sin(φ+52{,}13^\circ)}}}\qquad$ q.e.d.
Volumen der Pyramide $V_{Pyr}(\varphi=60°)$ berechnen:
$\mathbf{V_{BCQ_1S}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h}$
Für $G$ gilt: $G=\frac{1}{2}\cdot \overline{MQ_1}\cdot \overline {BC}\: [cm^2]; \quad\varphi=60°$
Mit $\displaystyle \overline {MQ_1}(60°)=\frac{5{,}53\cdot \sin (60^\circ)}{\sin(60^\circ+52{,}13^\circ)}=\frac{5{,}53\cdot 0{,}866}{0{,}926}=\frac{4{,}788}{0{,}926}=5{,}17\: cm$ ,
mit $BC=10\:cm$ und mit $MS≙h=7\: cm$
$\mathbf{\Rightarrow V_{BCQ_1S}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot10\:cm\cdot 7\:cm\cdot 5{,}17\: cm=\mathbf{60{,}32\: cm^3}$
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Berechne die Länge der Strecke $\overline{MQ_n}(φ)$ als Kathete im rechtwinkligen Dreieck $M P_{n} Q_{n}$ .
Berechne das Volumen der Pyramide $V_{Pyr}$ mit $\varphi=60^\circ$ mit der Formel für das Volumen einer Pyramide.

Aufgabe A2

Berechnung des Winkels

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Nachweis von MPn‾(φ)\overline {MP_n}(φ)MPn​​(φ)

Zugehöriger Wert für φ\varphiφ, damit MP0‾(φ)\overline{MP_0}(φ)MP0​​(φ) minimal ist

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Berechnung Länge der Strecke MQn‾(φ)\overline{MQ_n}(φ)MQn​​(φ)

Volumen der Pyramide VPyr(φ=60°)V_{Pyr}(\varphi=60°)VPyr​(φ=60°) berechnen:

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Nachweis von $\overline {MP_n}(φ)$

Zugehöriger Wert für $\varphi$ , damit $\overline{MP_0}(φ)$ minimal ist

Berechnung Länge der Strecke $\overline{MQ_n}(φ)$

Volumen der Pyramide $V_{Pyr}(\varphi=60°)$ berechnen: