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Aufgabe A2

Die Strecke [BC][BC] mit dem Mittelpunkt MM ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks ABCABC. Dieses Dreieck ist die Grundfläche der Pyramide ABCSABCS mit der Höhe [MS][MS].

Es gilt: BC=10  cm\overline{BC}= 10\;\text{cm}; AM=9  cm\overline{AM}= 9\;\text{cm}; MS=7  cm\overline{MS}= 7\;\text{cm}.

Die Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCSABCS. In der Zeichnung gilt: q=12q=\dfrac{1}{2} ; ω=45°\omega=45°.

[AM][AM] liegt auf der Schrägbildachse.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Bild
  1. Berechnen Sie das Maß des Winkels ASM ASM. (1 P)

    [[Ergebnis: ASM=52,13°]\sphericalangle ASM=52{,}13°]

  2. Punkte PnP_n liegen auf der Strecke [AS][AS]. Die Winkel SMPnSMP_n haben das Maß φ\varphi mit

    φ  ]0°;90°[\varphi \in\; ]0°;90°[. Punkte QnQ_n liegen auf der Strecke [AM][AM] mit [PnQn][AM][P_nQ_n] \perp [AM]. Die Dreiecke BCQnBCQ_n sind die Grundflächen der Pyramiden BCQnSBCQ_n S mit der Spitze SS und der Höhe [MS][MS].

    Zeichnen Sie die Strecken [MP1MP_1] und [P1Q1P_1Q_1] sowie die Pyramide BCQ1SBCQ_1 S für φ=60°\varphi=60°in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein. (2 P)

  3. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken [MPn][MP_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: MPn(φ)=5,53sin(φ+52,13°)  cm.\overline{MP_n}(\varphi)=\dfrac{5{,}53}{\sin(\varphi+52{,}13°)}\;\text{cm}.

    Die Länge der Strecke [MP0][MP_0] ist minimal. Geben Sie den zugehörigen Wert für φ\varphi an. (3 P)

    °
  4. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken [MQn][MQ_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: (3 P)

    MQn(φ)=5,53sin(φ)sin(φ+52,13°)  cm.\overline{MQ_n}(\varphi)=\dfrac{5{,}53\cdot \sin(\varphi)}{\sin(\varphi+52{,}13°)}\;\text{cm}.

    Berechnen Sie sodann das Volumen der Pyramide BCQ1S.BCQ _1S.