Berechnung des Winkels

Für den Winkel ist die Strecke $[AM]$ die Gegenkathete und die Strecke $[MS]$ die Ankathete.

geg.: $MS=7 cm$

ges.: Rechnerischer Nachweis für $\overline {MP_n}(φ)=\frac{5{,}53}{sin(φ+52{,}13°)}cm$

Nachweis von $\overline {MP_n}(φ)$

Im Dreieck $MP_nS$ ist der Winkel bei $S$ und der bei $M$ bekannt. Daher ist der Winkel bei $P_n$ gerade $180^\circ-(52{,}13^\circ+\varphi)$.

Verwende nun die Beziehung $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin \alpha$.

1. Nachweis für $[MP_n(\varphi )]$ durch Bildung von Verhältnis der Strecken- und Sinus-Werte

$\displaystyle\hphantom{\Rightarrow} \frac{\overline {MP_n}}{\overline {MS}}=\frac{\sin(52{,}53^\circ)}{\sin(φ+52{,}13^\circ)}$

$\displaystyle\Rightarrow \frac{\overline {MP_n}}{\overline {7cm}}=\frac{\sin(52{,}53^\circ)}{\sin(φ+52{,}13^\circ)}\qquad|$auflösen nach $\color{blue}{\overline {MP_n}(φ)}$

$\displaystyle\Rightarrow \mathbf{\overline {MP_n}(φ)}=\frac{7cm\cdot0{,}78941}{\sin(φ+52{,}13^\circ)}=\mathbf{\frac{5{,}53}{\sin(φ+52{,}13^\circ)}}cm \qquad$$\varphi\in]0^\circ;90^\circ]\qquad$

Zugehöriger Wert für $\varphi$, damit $\overline{MP_0}(φ)$ minimal ist

Der Bruch wird am kleinsten, wenn der Nenner am größten ist. Bestimme $\varphi$ so, dass der Sinus von $90^\circ$ dort steht:

$\mathbf{\varphi}=90^\circ-52{,}13^\circ=\mathbf{37{,}87^\circ}$

geg.: $\displaystyle\mathbf{\overline {MP_n}(φ)}=\mathbf{\frac{5{,}53}{sin(φ+52{,}13^\circ)}}cm$, Identität $cos(90°-\varphi)$ ≙ $sin(\varphi )$

ges.:

1. Länge der Strecke $\overline{MQ_n}(φ)$

2. Volumen der Pyramide $V_{\text{Pyr}}(\varphi=60^\circ)$

Berechnung Länge der Strecke $\overline{MQ_n}(φ)$

Es gilt: $\displaystyle\mathbf{cos(90^\circ-\varphi)}=\biggl[\frac {AK}{HY}\biggl ]=\mathbf{\frac{\overline {MQ_n}}{\overline {MP_n}}}\qquad$ für $\varphi \in]0^\circ;90^\circ]$

Mit gegebenem $\overline{MP_n}(φ)$ und Identität: $\color{blue}cos(90^\circ - α) = sin(α)$

$\Rightarrow$ $\displaystyle\frac{\overline {MQ_n}}{\overline {MP_n}}=\sin(\varphi) \qquad$

$\Rightarrow {\overline {MQ_n}(φ)}={\overline {MP_n}}\cdot \sin(\varphi)$

$\displaystyle\Rightarrow \overline {MQ_n}(φ)={\frac{5{,}53}{\sin(φ+52{,}13^\circ)}}\cdot \sin(φ)\quad$

$\displaystyle\mathbf{\Rightarrow \overline {MQ_n}(φ)={\frac{5{,}53\cdot \sin(\varphi)}{sin(φ+52{,}13^\circ)}}}\qquad$q.e.d.

Volumen der Pyramide $V_{Pyr}(\varphi=60°)$ berechnen:

$\mathbf{V_{BCQ_1S}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h}$

Für $G$ gilt: $G=\frac{1}{2}\cdot \overline{MQ_1}\cdot \overline {BC}\: [cm^2]; \quad\varphi=60°$

Mit $\displaystyle \overline {MQ_1}(60°)=\frac{5{,}53\cdot \sin (60^\circ)}{\sin(60^\circ+52{,}13^\circ)}=\frac{5{,}53\cdot 0{,}866}{0{,}926}=\frac{4{,}788}{0{,}926}=5{,}17\: cm$,

mit $BC=10\:cm$ und mit $MS≙h=7\: cm$

$\mathbf{\Rightarrow V_{BCQ_1S}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot10\:cm\cdot 7\:cm\cdot 5{,}17\: cm=\mathbf{60{,}32\: cm^3}$