Berechne die$\ \mathrm{\overline{FM}},\$ wende den Satz des Pythagoras an.

$\ \mathrm{\overline{FM}^2}=\mathrm{\overline{CM}^2}+\mathrm{\overline{CF}^2}\Rightarrow\mathrm{\overline{FM}}=\sqrt{\mathrm{\overline{CM}^2}+\mathrm{\overline{CF}^2}}$

$\mathrm{\overline{FM}=\sqrt{185\ }\ cm}\hspace{25mm}\boxed{\mathrm{\overline{FM}=13{,}60\ cm}}$

Berechne die$\ \mathrm{\sphericalangle{CFM}},\$ mithilfe des Tangens.

$\mathrm{ \tan\sphericalangle{CFM}=\dfrac{\overline{CM}}{\overline{FC}}\ \Rightarrow\ \mathrm\tan{\sphericalangle {CFM}=\dfrac{8}{11}}}$

$\ \mathrm{\tan\sphericalangle{CFM}=0{,}7272}\hspace{20mm}\boxed{\mathrm{\sphericalangle{CFM}}=36{,}03^{\circ}}$

Bei einem Dreieck kann man den Flächeninhalt mit zwei Seiten und dem Sinus des Winkels dazwischen bestimmen:$\ \ \mathrm{\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sin\alpha}$

Die obige Formel angewandt auf unser Dreieck ergibt:

$\ \mathrm{A_{CP_{1}F}=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{CF}\cdot \overline{FP_{1}}\cdot \sin\sphericalangle{CFM}}\ \Rightarrow\ \mathrm{A_{CP_{1}F}=\dfrac{1}{2}\cdot 11\cdot 4\cdot \sin 36{,}03^{\circ}\ cm^2}$

$\ \mathrm{A_{CP_{1}F}=11\cdot 2\cdot 0{,}5882\ cm^2}\hspace{15mm}\boxed{\mathrm{A_{CP_{1}F}=12{,}94\ cm^2}}$

$\rule{105mm}{1mm}$

Berechne$\ \mathrm{\overline{CP_{1}}}$ mit dem Kosinussatz :

$\ \mathrm{\overline{CP_{1}}=\sqrt{\overline{FC}^2+ \overline{FP_{1}}^2-2\cdot\overline{FC}\cdot\overline{FP_{1}}\cdot \cos\sphericalangle{CFM}}}$

$\ \mathrm{\overline{CP_{1}}=\sqrt{11^2+ 4^2-2\cdot11\cdot4\cdot \cos36{,}03^{\circ}}\ cm}$

$\ \mathrm{\overline{CP_{1}}=\sqrt{137-88\cdot 0{,}8087}\ cm}\hspace{12mm}\boxed{\mathrm{\overline{CP_{1}}=8{,}11\ cm}}$

Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Pyramide lautet:

$\ \mathrm{V_{Pyramide} = \frac{1}{3}\cdot G \cdot h}$

Grundfläche der Pyramide

$\mathrm{A_{Dreieck}=\overline{AB}\cdot \overline{CM}\Rightarrow A_{Dreieck}=\dfrac{1}{2}\cdot10\cdot8\ [cm^2]}$

$\ \mathrm{A_{Dreieck}=40\ cm^2}$

Höhe der Pyramide

Ermittle nun die Höhe $\mathrm{\overline{P_{n}K_{n}}}$ in Abhängigkeit von $\text{x}.$

$\ \mathrm{\dfrac{\overline{P_{n}K_{n}}}{\left(13{,}60-x\right)\ cm}=\sin\sphericalangle{FMC}\hspace{10mm}\sphericalangle{FMC}=90^{\circ}-\sphericalangle{CFM}}$

$\ \mathrm{\sphericalangle{FMC}=90^{\circ}-36{,}03^{\circ}\hspace{14mm}\sphericalangle{FMC}=53{,}97^{\circ}}$

$\ \mathrm{\overline{P_{n}K_{n}}=(13{,}60-x)\cdot\sin53{,}97^{\circ}\ [cm]\hspace{15mm}x\in\mathbb{R}\ ;\ x\in]0\ ;\ 13{,}60[}$

$\ \mathrm{\overline{P_{n}K_{n}}=(13{,}60-x)\cdot0{,}8087\ [cm]}$

$\ \mathrm{\overline{P_{n}K_{n}}=(11-0{,}81x)\ [cm]}$

Volumen der Pyramide

Setze die Grundfläche und die Höhe in die Formel für das Volumen der Pyramide ein.

$\ \mathrm{V{(x)} =\dfrac{1}{3}\cdot40\cdot(11-0{,}81x)\hspace{30mm}x\in\mathbb{R}\ ;\ x\in]0\ ;\ 13{,}60[}$

$\ \boxed{\mathrm{V{(x)} =(146{,}67-10{,}80x)\ cm^3}}$

Volumen des Prismas$\ \mathrm{ABCDEF}\$:

$\ \mathrm{V_{ABCDEF}=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{AB}\cdot\overline{CM}}\cdot\overline{CF}\ \Rightarrow\ \mathrm{V_{ABCDEF}=\dfrac{1}{2}\cdot10\cdot8\cdot11\ [cm^3]}$

$\ \mathrm{V_{ABCDEF}=440}$

Volumen der Pyramide

$V(x)=0{,}15\cdot440$

Ermittlung des zugehörigen Wertes für$\ \text{x}$

$V(x)=\ \mathrm{146{,}67-10{,}80x=0{,}15\cdot440\hspace{30mm}x\in\mathbb{R}\ ;\ x\in]0\ ;\ 13{,}60[}$

$\ \mathrm{-10{,}80x=66-146{,}67}$

$\ \mathrm{-10{,}80x=-80{,}67}$

$\hspace{11mm}\ \mathrm{x=7{,}47\hspace{49mm}\mathbb{L}=\{7{,}47\}}$

Bei$\ \boxed{\mathrm{x=7{,}47}}$ beträgt das Volumen der Pyramide$\ \mathrm{ABCP_{2}}\$

$\ 15\%\$des Volumens des Prismas$\ \text{ABCDEF}$.

$\ \mathrm{\sphericalangle{AP_{0}B}=2\cdot\sphericalangle{AP_{0}M}}$

$\ \mathrm{cos36{,}03^{\circ}=\dfrac{\overline{FP_{0}}}{11\ cm}\ \Rightarrow\ \overline{FP_{0}}=11\ cm\cdot0{,}8087}$

$\ \underline{\mathrm{\overline{FP_{0}}=8{,}90\ cm}}$

$\ \mathrm{\tan\sphericalangle{AP_{0}M}=\dfrac{\overline{AM}}{\overline{FM}-\overline{FP_{0}}}\Rightarrow\ tan\sphericalangle{AP_{0}M}=\dfrac{0{,}5\cdot10}{13{,}60-8{,}90}}$

$\ \mathrm{\tan\sphericalangle{AP_{0}M}=1{,}0638\ \Rightarrow\ \sphericalangle{AP_{0}M}=46{,}77^{\circ}}$

$\ \mathrm{\sphericalangle{AP_{0}B}=2\cdot46{,}77^{\circ}\ \Rightarrow\ \sphericalangle{AP_{0}B}=93{,}54^{\circ}}$

Der Winkel$\ \mathrm{{AP_{0}B}}\$beträgt$\ \boxed{93{,}54^{\circ}}$