Teil B

Die Scheitelpunktsform der Parabel $p$ lautet: $y=-\mathrm{0,5}(x-3{)}^2+5$

Die Dreiecke $A_n{B}_n{D}_n$ und $B_n{C}_n{D}_n$ stimmen jeweils in der Seite $[B_n{D}_n]$ überein, während die zugehörigen Höhen der Dreiecke $A_n{B}_n{D}_n$ halb so lang wie bei den Dreiecken $B_n{C}_n{D}_n$ sind. Daher ist der Flächeninhalt der Dreiecke $A_n{B}_n{D}_n$ stets halb so groß wie der Flächeninhalt der Dreiecke $B_n{C}_n{D}_n$.

Schnittpunkte der Parabel und der Geraden

Setze die Funktionsgleichungen für die Parabel $p$ und die Gerade $g$ gleich:

$-\mathrm{0,5}{x}^2+3x+\mathrm{0,5}=-\mathrm{0,25}x-3\text{x}\in ℝ$

$-\mathrm{0,5}{x}^2+\mathrm{3,25}x+\mathrm{3,5}=0$

Löse die quadratische Gleichung z. B. mit der Mitternachtsformel.

$x_{1/2}={\displaystyle \frac{-\mathrm{3,25}\pm \sqrt{\mathrm{10,5625}+7}}{-1}}\Rightarrow {\mathrm{x}}_{1/2}={\displaystyle \frac{-\mathrm{3,25}\pm \mathrm{4,19}}{-1}}$

${\mathrm{x}}_1={\displaystyle \frac{-\mathrm{3,25}+\mathrm{4,19}}{-1}}\Rightarrow {\text{x}}_1=-\mathrm{0,94}$

${\mathrm{x}}_2={\displaystyle \frac{-\mathrm{3,25}-\mathrm{4,19}}{-1}}\Rightarrow {\text{x}}_2=\mathrm{7,44}$

$𝕃=\{-\mathrm{0,94};\mathrm{7,44}\}$

Für $\text{x}\in ]-\mathrm{0,94};\mathrm{7,44}[$ gibt es Drachenvierecke ${\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{D}}_{\mathrm{n}}.$

Flächeninhalt des Drachenvierecks

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Drachenvierecks lautet:

$\mathrm{A}={\displaystyle \frac{\mathrm{e}\cdot \mathrm{f}}{2}}$

$\text{e}=\overline{{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{D}}_{\mathrm{n}}};\text{f}=\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}}$

$\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}}=(2+4)\mathrm{L}\mathrm{E}=6\mathrm{L}\mathrm{E}$

$\overline{{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{D}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=[-\mathrm{0,5}{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+\mathrm{0,5}-(-\mathrm{0,25}\mathrm{x}-3)]\mathrm{L}\mathrm{E}\mathrm{x}\in ℝ;\mathrm{x}\in ]-\mathrm{0,94};\mathrm{7,44}[$

$\begin{array}{l}\\ \overline{{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{D}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=(-\mathrm{0,5}{\mathrm{x}}^2+\mathrm{3,25}\mathrm{x}+\mathrm{3,5})\mathrm{L}\mathrm{E}\end{array}$

$\mathrm{A}(\mathrm{x})={\displaystyle \frac{6\cdot (-\mathrm{0,5}{\mathrm{x}}^2+\mathrm{3,25}\mathrm{x}+\mathrm{3,5})}{2}}\text{FE}\mathrm{x}\in ℝ;\mathrm{x}\in ]-\mathrm{0,94};\mathrm{7,44}[$

$\mathrm{A}(\mathrm{x})=(-\mathrm{1,5}{\mathrm{x}}^2+\mathrm{9,75}\mathrm{x}+\mathrm{10,5})\mathrm{F}\mathrm{E}$

Scheitelpunkt bestimmen

Ermittle den Scheitel der Parabel z. B. mit der Formel:

${\mathrm{x}}_{\mathrm{s}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{b}}{2\cdot \mathrm{a}}}{\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}=\mathrm{C}-{\displaystyle \frac{{\mathrm{b}}^2}{4\cdot \mathrm{a}}}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{s}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{9,75}}{-3}}=\mathrm{3,25}{\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}=\mathrm{10,5}-{\displaystyle \frac{\mathrm{95,06}}{-6}}=\mathrm{26,34}$

Der maximale Flächeninhalt des Drachenviereck:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\mathrm{26,34}\mathrm{F}\mathrm{E}$

Der zugehörige Wert für:

$\mathrm{x}=\mathrm{3,25}$

Die Dreiecke${\mathrm{B}}_3{\mathrm{C}}_3{\mathrm{D}}_3$und${\mathrm{B}}_4{\mathrm{C}}_4{\mathrm{D}}_4$sind gleichschenklig-rechtwinklig.

Folglich gilt: $\overline{{\mathrm{B}}_3{\mathrm{D}}_3}=\overline{{\mathrm{B}}_4{\mathrm{D}}_4}=2\cdot \overline{{\mathrm{M}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}}$ und somit $\overline{{\mathrm{B}}_3{\mathrm{D}}_3}=\overline{{\mathrm{B}}_4{\mathrm{D}}_4}=8\mathrm{L}\mathrm{E}$

$\Rightarrow -\mathrm{0,5}{x}^2+\mathrm{3,25}x+\mathrm{3,5}=8\text{x}\in ℝ;\text{x}\in ]-\mathrm{0,94};\mathrm{7,44}[$

Lösen der quadratischen Gleichung mittels der Linearfaktorzerlegung

$\mathrm{x}=2\vee \mathrm{x}=\mathrm{4,5}𝕃\{2;\mathrm{4,5}\}$

Die quadratische Gleichung wurde hier mithilfe

der Linearfaktorzerlegung gelöst, du kannst selbstverständlich

die quadratische Gleichung auch mit der Mitternachtsformel oder

der p-q Formel lösen.

Berechne die$\overline{\mathrm{F}\mathrm{M}},$ wende den Satz des Pythagoras an.

${\overline{\mathrm{F}\mathrm{M}}}^2={\overline{\mathrm{C}\mathrm{M}}}^2+{\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}}^2\Rightarrow \overline{\mathrm{F}\mathrm{M}}=\sqrt{{\overline{\mathrm{C}\mathrm{M}}}^2+{\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}}^2}$

$\overline{\mathrm{F}\mathrm{M}}=\sqrt{185}\mathrm{c}\mathrm{m}\overline{\mathrm{F}\mathrm{M}}=\mathrm{13,60}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Berechne die$\sphericalangle \mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{M},$ mithilfe des Tangens.

$\tan \sphericalangle \mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{M}={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{C}\mathrm{M}}}{\overline{\mathrm{F}\mathrm{C}}}}\Rightarrow \tan \sphericalangle \mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{M}={\displaystyle \frac{8}{11}}$

$\tan \sphericalangle \mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{M}=\mathrm{0,7272}\sphericalangle \mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{M}={\mathrm{36,03}}^{\circ }$

Bei einem Dreieck kann man den Flächeninhalt mit zwei Seiten und dem Sinus des Winkels dazwischen bestimmen:${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{a}\cdot \mathrm{b}\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\alpha }$

Die obige Formel angewandt auf unser Dreieck ergibt:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{C}{\mathrm{P}}_1\mathrm{F}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}\cdot \overline{\mathrm{F}{\mathrm{P}}_1}\cdot \sin \sphericalangle \mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{M}\Rightarrow {\mathrm{A}}_{\mathrm{C}{\mathrm{P}}_1\mathrm{F}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 11\cdot 4\cdot \sin {\mathrm{36,03}}^{\circ }\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{C}{\mathrm{P}}_1\mathrm{F}}=11\cdot 2\cdot \mathrm{0,5882}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{A}}_{\mathrm{C}{\mathrm{P}}_1\mathrm{F}}=\mathrm{12,94}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

Berechne$\overline{\mathrm{C}{\mathrm{P}}_1}$ mit dem Kosinussatz :

$\overline{\mathrm{C}{\mathrm{P}}_1}=\sqrt{{\overline{\mathrm{F}\mathrm{C}}}^2+{\overline{\mathrm{F}{\mathrm{P}}_1}}^2-2\cdot \overline{\mathrm{F}\mathrm{C}}\cdot \overline{\mathrm{F}{\mathrm{P}}_1}\cdot \cos \sphericalangle \mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{M}}$

$\overline{\mathrm{C}{\mathrm{P}}_1}=\sqrt{{11}^2+4^2-2\cdot 11\cdot 4\cdot \cos {\mathrm{36,03}}^{\circ }}\mathrm{c}\mathrm{m}$

$\overline{\mathrm{C}{\mathrm{P}}_1}=\sqrt{137-88\cdot \mathrm{0,8087}}\mathrm{c}\mathrm{m}\overline{\mathrm{C}{\mathrm{P}}_1}=\mathrm{8,11}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Pyramide lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}=\frac{1}{3}\cdot \mathrm{G}\cdot \mathrm{h}$

Grundfläche der Pyramide

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overline{\mathrm{C}\mathrm{M}}\Rightarrow {\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 10\cdot 8[\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2]$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=40\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

Höhe der Pyramide

Ermittle nun die Höhe $\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{K}}_{\mathrm{n}}}$ in Abhängigkeit von $\text{x}.$

${\displaystyle \frac{\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{K}}_{\mathrm{n}}}}{(\mathrm{13,60}-\mathrm{x})\mathrm{c}\mathrm{m}}}=\sin \sphericalangle \mathrm{F}\mathrm{M}\mathrm{C}\sphericalangle \mathrm{F}\mathrm{M}\mathrm{C}={90}^{\circ }-\sphericalangle \mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{M}$

$\sphericalangle \mathrm{F}\mathrm{M}\mathrm{C}={90}^{\circ }-{\mathrm{36,03}}^{\circ }\sphericalangle \mathrm{F}\mathrm{M}\mathrm{C}={\mathrm{53,97}}^{\circ }$

$\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{K}}_{\mathrm{n}}}=(\mathrm{13,60}-\mathrm{x})\cdot \sin {\mathrm{53,97}}^{\circ }[\mathrm{c}\mathrm{m}]\mathrm{x}\in ℝ;\mathrm{x}\in ]0;\mathrm{13,60}[$

$\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{K}}_{\mathrm{n}}}=(\mathrm{13,60}-\mathrm{x})\cdot \mathrm{0,8087}[\mathrm{c}\mathrm{m}]$

$\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{K}}_{\mathrm{n}}}=(11-\mathrm{0,81}\mathrm{x})[\mathrm{c}\mathrm{m}]$

Volumen der Pyramide

Setze die Grundfläche und die Höhe in die Formel für das Volumen der Pyramide ein.

$\mathrm{V}(\mathrm{x})={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 40\cdot (11-\mathrm{0,81}\mathrm{x})\mathrm{x}\in ℝ;\mathrm{x}\in ]0;\mathrm{13,60}[$

$\mathrm{V}(\mathrm{x})=(\mathrm{146,67}-\mathrm{10,80}\mathrm{x})\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$

Volumen des Prismas$\mathrm{ABCDEF}$:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overline{\mathrm{C}\mathrm{M}}\cdot \overline{CF}\Rightarrow {\mathrm{V}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 10\cdot 8\cdot 11[\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3]$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}}=440$

Volumen der Pyramide

$V(x)=\mathrm{0,15}\cdot 440$

Ermittlung des zugehörigen Wertes für$\text{x}$

$V(x)=\mathrm{146,67}-\mathrm{10,80}\mathrm{x}=\mathrm{0,15}\cdot 440\mathrm{x}\in ℝ;\mathrm{x}\in ]0;\mathrm{13,60}[$

$-\mathrm{10,80}\mathrm{x}=66-\mathrm{146,67}$

$-\mathrm{10,80}\mathrm{x}=-\mathrm{80,67}$

$\mathrm{x}=\mathrm{7,47}𝕃=\{\mathrm{7,47}\}$

Bei$\mathrm{x}=\mathrm{7,47}$ beträgt das Volumen der Pyramide$\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}{\mathrm{P}}_2$

$15\%$des Volumens des Prismas$\text{ABCDEF}$.

$\sphericalangle \mathrm{A}{\mathrm{P}}_0\mathrm{B}=2\cdot \sphericalangle \mathrm{A}{\mathrm{P}}_0\mathrm{M}$

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{36,03}}^{\circ }={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{F}{\mathrm{P}}_0}}{11\mathrm{c}\mathrm{m}}}\Rightarrow \overline{\mathrm{F}{\mathrm{P}}_0}=11\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \mathrm{0,8087}$

$\underline{\overline{\mathrm{F}{\mathrm{P}}_0}=\mathrm{8,90}\mathrm{c}\mathrm{m}}$

$\tan \sphericalangle \mathrm{A}{\mathrm{P}}_0\mathrm{M}={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}}{\overline{\mathrm{F}\mathrm{M}}-\overline{\mathrm{F}{\mathrm{P}}_0}}}\Rightarrow \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\sphericalangle \mathrm{A}{\mathrm{P}}_0\mathrm{M}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}\cdot 10}{\mathrm{13,60}-\mathrm{8,90}}}$

$\tan \sphericalangle \mathrm{A}{\mathrm{P}}_0\mathrm{M}=\mathrm{1,0638}\Rightarrow \sphericalangle \mathrm{A}{\mathrm{P}}_0\mathrm{M}={\mathrm{46,77}}^{\circ }$

$\sphericalangle \mathrm{A}{\mathrm{P}}_0\mathrm{B}=2\cdot {\mathrm{46,77}}^{\circ }\Rightarrow \sphericalangle \mathrm{A}{\mathrm{P}}_0\mathrm{B}={\mathrm{93,54}}^{\circ }$

Der Winkel$\mathrm{A}{\mathrm{P}}_0\mathrm{B}$beträgt${\mathrm{93,54}}^{\circ }$