Teil B

Die Scheitelpunktsform der Parabel $p$ lautet: $y=-0{,}5(x-3)^2+5$

Die Dreiecke $A_nB_nD_n$ und $B_nC_nD_n$ stimmen jeweils in der Seite $[B_nD_n]$ überein, während die zugehörigen Höhen der Dreiecke $A_nB_nD_n$ halb so lang wie bei den Dreiecken $B_nC_nD_n$ sind. Daher ist der Flächeninhalt der Dreiecke $A_nB_nD_n$ stets halb so groß wie der Flächeninhalt der Dreiecke $B_nC_nD_n$.

Schnittpunkte der Parabel und der Geraden

Setze die Funktionsgleichungen für die Parabel $p$ und die Gerade $g$ gleich:

$−0{,}5x^2+3x+0{,}5=-0{,}25x-3\hspace{30mm}\text{x}\in{\mathbb{R}}$

$−0{,}5x^2+3{,}25x+3{,}5=0$

Löse die quadratische Gleichung z. B. mit der Mitternachtsformel.

$\ x_{1/2}=\dfrac{-3{,}25\pm{\sqrt{10{,}5625+7}}}{-1}\ \Rightarrow\mathrm{x_{1/2}=\dfrac{-3{,}25\pm4{,}19}{-1}}$

$\ \mathrm{x_{1}=\dfrac{-3{,}25+4{,}19}{-1}}\Rightarrow \boxed{\text{x}_{1}=-0{,}94}$

$\ \mathrm{x_{2}=\dfrac{-3{,}25-4{,}19}{-1}}\Rightarrow \boxed{\text{x}_{2}=7{,}44}$

$\ \mathbb{L}=\{-0{,}94;\ 7{,}44\}$

Für $\text{x}\in\ ]-0{,}94;\ 7{,}44[$ gibt es Drachenvierecke $\ \mathrm{A_nB_nC_nD_n}.$

Flächeninhalt des Drachenvierecks

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Drachenvierecks lautet:

$\boxed{\mathrm{\ A=\dfrac{e\cdot f}{2}}}$

$\ \text{e}=\mathrm{\overline{B_nD_n}};\ \ \text{f}=\mathrm{\overline{A_nC_n}}$

$\mathrm{\overline{A_nC_n}=(2+4)LE=6\ LE}$

$\ \mathrm{\overline{B_nD_n}(x)=\left[-0{,}5x^2+3x+0{,}5-(-0{,}25x-3) \;\right]LE}\hspace{10mm}\mathrm{x\in\mathbb{R};\ x\in\ ]-0{,}94;\ 7{,}44[}$

$\\ \mathrm{\overline{B_nD_n}(x)=\left(-0{,}5x^2+3{,}25x+3{,}5 \right)LE}$

$\ \mathrm{A(x)=\dfrac{6\cdot(-0{,}5x^2+3{,}25x+3{,}5)}{2}}\ \text{FE}\hspace{32mm}\mathrm{x\in\mathbb{R};\ x\in\ ]-0{,}94;\ 7{,}44[}$

$\ \mathrm{A(x)=(-1{,}5x^2+9{,}75x+10{,}5)\ FE}$

Scheitelpunkt bestimmen

Ermittle den Scheitel der Parabel z. B. mit der Formel:

$\ \mathrm{x_s=-\dfrac{b}{2\cdot a}\hspace{35mm}\ \ y_s=C-\dfrac{b^2}{4\cdot a}}$

$\ \mathrm{x_s=-\dfrac{9{,}75}{-3}=3{,}25\hspace{26mm}y_s=10{,}5-\dfrac{95{,}06}{-6}=26{,}34}$

Der maximale Flächeninhalt des Drachenviereck:

$\ \boxed{\mathrm{A_{max}=26{,}34\ FE}}\$

Der zugehörige Wert für:

$\ \boxed{\mathrm{x=3{,}25}}$

Die Dreiecke$\ \mathrm{B_{3}C_{3}D_{3}}\$und$\ \mathrm{B_{4}C_{4}D_{4}}\$sind gleichschenklig-rechtwinklig.

Folglich gilt: $\ \mathrm{\overline{B_{3}D_{3}}=\overline{B_{4}D_{4}}=2\cdot \overline{M_{n}C_{n}}}$ und somit $\mathrm{\overline{B_{3}D_{3}}=\overline{B_{4}D_{4}}=8\ LE}$

$\ \Rightarrow\ -0{,}5x^2+3{,}25x+3{,}5=8\hspace{20mm}\text{x}\in\mathbb{R};\ \ \text{x}\in\ ]-0{,}94\ ;\ 7{,}44[$

Lösen der quadratischen Gleichung mittels der Linearfaktorzerlegung

$\ \mathrm{x=2}\ \lor\ \mathrm{{x=4{,}5}}\hspace{20mm}\mathbb{L}\{2\ ;\ 4{,}5\}$

Die quadratische Gleichung wurde hier mithilfe

der Linearfaktorzerlegung gelöst, du kannst selbstverständlich

die quadratische Gleichung auch mit der Mitternachtsformel oder

der p-q Formel lösen.

Berechne die$\ \mathrm{\overline{FM}},\$ wende den Satz des Pythagoras an.

$\ \mathrm{\overline{FM}^2}=\mathrm{\overline{CM}^2}+\mathrm{\overline{CF}^2}\Rightarrow\mathrm{\overline{FM}}=\sqrt{\mathrm{\overline{CM}^2}+\mathrm{\overline{CF}^2}}$

$\mathrm{\overline{FM}=\sqrt{185\ }\ cm}\hspace{25mm}\boxed{\mathrm{\overline{FM}=13{,}60\ cm}}$

Berechne die$\ \mathrm{\sphericalangle{CFM}},\$ mithilfe des Tangens.

$\mathrm{ \tan\sphericalangle{CFM}=\dfrac{\overline{CM}}{\overline{FC}}\ \Rightarrow\ \mathrm\tan{\sphericalangle {CFM}=\dfrac{8}{11}}}$

$\ \mathrm{\tan\sphericalangle{CFM}=0{,}7272}\hspace{20mm}\boxed{\mathrm{\sphericalangle{CFM}}=36{,}03^{\circ}}$

Bei einem Dreieck kann man den Flächeninhalt mit zwei Seiten und dem Sinus des Winkels dazwischen bestimmen:$\ \ \mathrm{\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sin\alpha}$

Die obige Formel angewandt auf unser Dreieck ergibt:

$\ \mathrm{A_{CP_{1}F}=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{CF}\cdot \overline{FP_{1}}\cdot \sin\sphericalangle{CFM}}\ \Rightarrow\ \mathrm{A_{CP_{1}F}=\dfrac{1}{2}\cdot 11\cdot 4\cdot \sin 36{,}03^{\circ}\ cm^2}$

$\ \mathrm{A_{CP_{1}F}=11\cdot 2\cdot 0{,}5882\ cm^2}\hspace{15mm}\boxed{\mathrm{A_{CP_{1}F}=12{,}94\ cm^2}}$

$\rule{105mm}{1mm}$

Berechne$\ \mathrm{\overline{CP_{1}}}$ mit dem Kosinussatz :

$\ \mathrm{\overline{CP_{1}}=\sqrt{\overline{FC}^2+ \overline{FP_{1}}^2-2\cdot\overline{FC}\cdot\overline{FP_{1}}\cdot \cos\sphericalangle{CFM}}}$

$\ \mathrm{\overline{CP_{1}}=\sqrt{11^2+ 4^2-2\cdot11\cdot4\cdot \cos36{,}03^{\circ}}\ cm}$

$\ \mathrm{\overline{CP_{1}}=\sqrt{137-88\cdot 0{,}8087}\ cm}\hspace{12mm}\boxed{\mathrm{\overline{CP_{1}}=8{,}11\ cm}}$

Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Pyramide lautet:

$\ \mathrm{V_{Pyramide} = \frac{1}{3}\cdot G \cdot h}$

Grundfläche der Pyramide

$\mathrm{A_{Dreieck}=\overline{AB}\cdot \overline{CM}\Rightarrow A_{Dreieck}=\dfrac{1}{2}\cdot10\cdot8\ [cm^2]}$

$\ \mathrm{A_{Dreieck}=40\ cm^2}$

Höhe der Pyramide

Ermittle nun die Höhe $\mathrm{\overline{P_{n}K_{n}}}$ in Abhängigkeit von $\text{x}.$

$\ \mathrm{\dfrac{\overline{P_{n}K_{n}}}{\left(13{,}60-x\right)\ cm}=\sin\sphericalangle{FMC}\hspace{10mm}\sphericalangle{FMC}=90^{\circ}-\sphericalangle{CFM}}$

$\ \mathrm{\sphericalangle{FMC}=90^{\circ}-36{,}03^{\circ}\hspace{14mm}\sphericalangle{FMC}=53{,}97^{\circ}}$

$\ \mathrm{\overline{P_{n}K_{n}}=(13{,}60-x)\cdot\sin53{,}97^{\circ}\ [cm]\hspace{15mm}x\in\mathbb{R}\ ;\ x\in]0\ ;\ 13{,}60[}$

$\ \mathrm{\overline{P_{n}K_{n}}=(13{,}60-x)\cdot0{,}8087\ [cm]}$

$\ \mathrm{\overline{P_{n}K_{n}}=(11-0{,}81x)\ [cm]}$

Volumen der Pyramide

Setze die Grundfläche und die Höhe in die Formel für das Volumen der Pyramide ein.

$\ \mathrm{V{(x)} =\dfrac{1}{3}\cdot40\cdot(11-0{,}81x)\hspace{30mm}x\in\mathbb{R}\ ;\ x\in]0\ ;\ 13{,}60[}$

$\ \boxed{\mathrm{V{(x)} =(146{,}67-10{,}80x)\ cm^3}}$

Volumen des Prismas$\ \mathrm{ABCDEF}\$:

$\ \mathrm{V_{ABCDEF}=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{AB}\cdot\overline{CM}}\cdot\overline{CF}\ \Rightarrow\ \mathrm{V_{ABCDEF}=\dfrac{1}{2}\cdot10\cdot8\cdot11\ [cm^3]}$

$\ \mathrm{V_{ABCDEF}=440}$

Volumen der Pyramide

$V(x)=0{,}15\cdot440$

Ermittlung des zugehörigen Wertes für$\ \text{x}$

$V(x)=\ \mathrm{146{,}67-10{,}80x=0{,}15\cdot440\hspace{30mm}x\in\mathbb{R}\ ;\ x\in]0\ ;\ 13{,}60[}$

$\ \mathrm{-10{,}80x=66-146{,}67}$

$\ \mathrm{-10{,}80x=-80{,}67}$

$\hspace{11mm}\ \mathrm{x=7{,}47\hspace{49mm}\mathbb{L}=\{7{,}47\}}$

Bei$\ \boxed{\mathrm{x=7{,}47}}$ beträgt das Volumen der Pyramide$\ \mathrm{ABCP_{2}}\$

$\ 15\%\$des Volumens des Prismas$\ \text{ABCDEF}$.

$\ \mathrm{\sphericalangle{AP_{0}B}=2\cdot\sphericalangle{AP_{0}M}}$

$\ \mathrm{cos36{,}03^{\circ}=\dfrac{\overline{FP_{0}}}{11\ cm}\ \Rightarrow\ \overline{FP_{0}}=11\ cm\cdot0{,}8087}$

$\ \underline{\mathrm{\overline{FP_{0}}=8{,}90\ cm}}$

$\ \mathrm{\tan\sphericalangle{AP_{0}M}=\dfrac{\overline{AM}}{\overline{FM}-\overline{FP_{0}}}\Rightarrow\ tan\sphericalangle{AP_{0}M}=\dfrac{0{,}5\cdot10}{13{,}60-8{,}90}}$

$\ \mathrm{\tan\sphericalangle{AP_{0}M}=1{,}0638\ \Rightarrow\ \sphericalangle{AP_{0}M}=46{,}77^{\circ}}$

$\ \mathrm{\sphericalangle{AP_{0}B}=2\cdot46{,}77^{\circ}\ \Rightarrow\ \sphericalangle{AP_{0}B}=93{,}54^{\circ}}$

Der Winkel$\ \mathrm{{AP_{0}B}}\$beträgt$\ \boxed{93{,}54^{\circ}}$