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Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Aufgabe B 1

    Die Parabel pp mit dem Scheitelpunkt S(35)S(3|5) hat eine Gleichung der Form

    y=0,5x2+bx+cy=-0{,}5x^2+bx+c mit G=R×R\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R} und b,cb, c R\in\mathbb{R}.

    Die Gerade gg hat die Gleichung y=0,25x3y=-0{,}25x-3 mit G=R×R.\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Parabel pp die Gleichung y=0,5x2+3x+0,5y=-0{,}5x^2+3x+0{,}5 hat. Zeichnen Sie sodann die Parabel pp und die Gerade gg für x[2;8]x\in[-2;8] in ein Koordinatensystem ein. (3 P)

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 1  cm1\;\text{cm}; 2x10-2\le x\le 10; 8y6-8\le y\le 6

    2. Punkte Bn(x0,25x3)B_n(x|-0{,}25x-3) auf der Geraden gg und Punkte Dn(x0,5x2+3x+0,5)D_n(x|-0{,}5x^2+3x+0{,}5) auf der Parabel pp haben dieselbe Abszisse xx. Sie sind zusammen mit Punkten AnA_n und CnC_n Eckpunkte von Drachenvierecken AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n mit den Symmetrieachsen AnCnA_nC_n und den Diagonalenschnittpunkten MnM_n.

      Es gilt: MnAn=2  LE\overline{M_nA_n}=2\;\text{LE}; MnCn=4  LE\overline {M_nC_n}=4\;\text{LE} ; yDn>yBny_{D_n}\gt y_{B_n}.

      Zeichnen Sie das Drachenviereck A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=0x=0 und das Drachenviereck A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=6x=6 in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (2 P)

    3. Begründen Sie, weshalb der Flächeninhalt der Dreiecke AnBnDnA_nB_nD_n stets halb so groß wie der Flächeninhalt der Dreiecke BnCnDnB_nC_nD_n ist. (1 P)

    4. Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von xx es Drachenvierecke AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gibt. (3 P)

    5. Unter den Drachenvierecken AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n hat das Drachenviereck A0B0C0D0A_0B_0C_0D_0 den maximalen Flächeninhalt.

      Berechnen Sie diesen Flächeninhalt und den zugehörigen Wert für xx. (4 P)

      [[Zwischenergebnis: BnDn(x)=(0,5x2+3,25x+3,5)  LE]\overline{B_nD_n}(x)=(-0{,}5x^2+3{,}25x+3{,}5)\;\text{LE}]

    6. Unter den Drachenvierecken AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gibt es zwei Drachenvierecke A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 und A4B4C4D4A_4B_4C_4D_4, die bei C3C_3 bzw. C4C_4 rechtwinklig sind.

      Begründen Sie, warum B3D3=B4D4=8  LE\overline{B_3D_3}=\overline{B_4D_4}=8\;\text{LE} gilt.

      Berechnen Sie sodann die xx-Koordinaten von B3B_3 und B4.B_4. (3 P)

  2. 2

    Aufgabe B 2

    Die Skizze unten zeigt ein Schrägbild des geraden Prismas ABCDEFABCDEF, dessen Grundfläche das gleichschenklige Dreieck ABCABC mit der Basis [AB][AB] ist. MM ist der Mittelpunkt der Strecke [AB][AB].

    Es gilt: CM=8  cm\overline {CM}=8\;\text{cm} ; CF=11  cm\overline{CF}= 11\;\text{cm} ; AB=10  cm\overline{AB}= 10\;\text{cm}.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Bild
    1. Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas ABCDEFABCDEF mit der Strecke [FMFM], wobei die Strecke [CM][CM] auf der Schrägbildachse und der Punkt CC links vom Punkt MM liegen soll.

      Für die Zeichnung gilt: q=12q=\dfrac{1}{2} ; ω=45°.\omega=45°.

      Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [FM][FM] und das Maß des Winkels CFMCFM. (4 P)

      [[Teilergebnisse: FM=13,60  cm\overline{FM}= 13{,}60\;\text{cm} ; CFM=36,03°].\sphericalangle {CFM}= 36{,}03°].

    2. Für Punkte PnP_n auf der Strecke [FM][FM] gilt: FPn(x)=x  cm\overline{FP_n}(x)=x\;\text{cm}; (xR;x[0;13,60[).(x\in\mathbb{R}; x\in[0;13{,}60[).

      Zeichnen Sie das Dreieck CP1FCP_1F für x=4x=4 in das Schrägbild zu 2a) ein.

      Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Dreiecks CP1FCP_1F sowie die Länge der Strecke [CP1].[CP_1]. (3 P)

    3. Das Dreieck ABCABC ist die Grundfläche von Pyramiden ABCPnABCP_n mit den Höhen [PnKn],[P_nK_n], wobei Kn[CM]K_n\in[CM] gilt.

      Zeichnen Sie die Pyramide ABCP1ABCP_1 und die Höhe [P1K1][P_1K_1] in das Schrägbild zu 2a) ein. (1 P)

    4. Zeigen Sie, dass sich das Volumen VV der Pyramiden ABCPnABCP_n in Abhängigkeit von xx wie folgt darstellen lässt: V(x)=(146,6710,80x)  cm3.V(x)=(146{,}67-10{,}80x)\;\text{cm}^3. (3 P)

    5. Das Volumen der Pyramide ABCP2ABCP_2 beträgt 15  %15\;\% des Volumens des Prismas ABCDEFABCDEF.

      Ermitteln Sie durch Rechnung den zugehörigen Wert für xx. (2 P)


    6. Unter den Punkten PnP_n hat der Punkt P0P_0 die kürzeste Entfernung zu CC.

      Zeichnen Sie die Pyramide ABCP0ABCP_0 in das Schrägbild zu 2a) ein.

      Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels AP0BAP_0B. (4 P)


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