Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B 1

Die Parabel $p$ mit dem Scheitelpunkt $S (3 | 5)$ hat eine Gleichung der Form

$y = - 0,5 x^{2} + b x + c$ mit $𝔾 = ℝ \times ℝ$ und $b, c$ $\in ℝ$ .

Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y = - 0,25 x - 3$ mit $𝔾 = ℝ \times ℝ .$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Parabel $p$ die Gleichung $y = - 0,5 x^{2} + 3 x + 0,5$ hat. Zeichnen Sie sodann die Parabel $p$ und die Gerade $g$ für $x \in [- 2; 8]$ in ein Koordinatensystem ein. (3 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 2 \leq x \leq 10$ ; $- 8 \leq y \leq 6$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion
Die Scheitelpunktsform der Parabel $p$ lautet: $y = - 0,5 (x - 3)^{2} + 5$
$y$ $=$ $- 0,5 (x - 3)^{2} + 5$
↓
berechne das Quadrat
$y$ $=$ $- 0,5 (x^{2} - 6 x + 9) + 5$
↓
löse die Klammer auf
$y$ $=$ $- 0,5 x^{2} + 3 x - 4,5 + 5$
↓
fasse zusammen
$y$ $=$ $- 0,5 x^{2} + 3 x + 0,5$
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Bringe die Gleichung der Parabel $p$ : $y = - 0,5 x^{2} + b x + c$ in die Scheitelpunktsform mit dem Scheitelpunkt $S (3 | 5)$ .
Forme sie dann wieder in die allgemeine Form um.
Punkte $B_{n} (x | - 0,25 x - 3)$ auf der Geraden $g$ und Punkte $D_{n} (x | - 0,5 x^{2} + 3 x + 0,5)$ auf der Parabel $p$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Sie sind zusammen mit Punkten $A_{n}$ und $C_{n}$ Eckpunkte von Drachenvierecken $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ mit den Symmetrieachsen $A_{n} C_{n}$ und den Diagonalenschnittpunkten $M_{n}$ .
Es gilt: $M_{n} A_{n} = 2 LE$ ; $M_{n} C_{n} = 4 LE$ ; $y_{D_{n}} > y_{B_{n}}$ .
Zeichnen Sie das Drachenviereck $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 0$ und das Drachenviereck $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 6$ in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (2 P)

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Begründen Sie, weshalb der Flächeninhalt der Dreiecke $A_{n} B_{n} D_{n}$ stets halb so groß wie der Flächeninhalt der Dreiecke $B_{n} C_{n} D_{n}$ ist. (1 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Die Dreiecke $A_{n} B_{n} D_{n}$ und $B_{n} C_{n} D_{n}$ stimmen jeweils in der Seite $[B_{n} D_{n}]$ überein, während die zugehörigen Höhen der Dreiecke $A_{n} B_{n} D_{n}$ halb so lang wie bei den Dreiecken $B_{n} C_{n} D_{n}$ sind. Daher ist der Flächeninhalt der Dreiecke $A_{n} B_{n} D_{n}$ stets halb so groß wie der Flächeninhalt der Dreiecke $B_{n} C_{n} D_{n}$ .
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Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von $x$ es Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ gibt. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
Schnittpunkte der Parabel und der Geraden
Setze die Funktionsgleichungen für die Parabel $p$ und die Gerade $g$ gleich:
$- 0,5 x^{2} + 3 x + 0,5 = - 0,25 x - 3 x \in ℝ$
$- 0,5 x^{2} + 3,25 x + 3,5 = 0$
Löse die quadratische Gleichung z. B. mit der Mitternachtsformel.
$x_{1 / 2} = \frac{- 3,25 \pm \sqrt{10,5625 + 7}}{- 1} \Rightarrow x_{1 / 2} = \frac{- 3,25 \pm 4,19}{- 1}$
$x_{1} = \frac{- 3,25 + 4,19}{- 1} \Rightarrow x_{1} = - 0,94$
$x_{2} = \frac{- 3,25 - 4,19}{- 1} \Rightarrow x_{2} = 7,44$
$𝕃 = {- 0,94; 7,44}$
Für $x \in] - 0,94; 7,44 [$ gibt es Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n} .$
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Bestimme die Schnittpunkte der Parabel $p$ mit der Geraden $g$ .
Setze dazu $p = g$ und berechne $x .$
Unter den Drachenvierecken $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ hat das Drachenviereck $A_{0} B_{0} C_{0} D_{0}$ den maximalen Flächeninhalt.
Berechnen Sie diesen Flächeninhalt und den zugehörigen Wert für $x$ . (4 P)
$[$ Zwischenergebnis: $B_{n} D_{n} (x) = (- 0,5 x^{2} + 3,25 x + 3,5) LE]$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Flächeninhalt des Drachenvierecks
Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Drachenvierecks lautet:
$A = \frac{e \cdot f}{2}$
$e = B_{n} D_{n}; f = A_{n} C_{n}$
$A_{n} C_{n} = (2 + 4) L E = 6 L E$
$B_{n} D_{n} (x) = [- 0,5 x^{2} + 3 x + 0,5 - (- 0,25 x - 3)] L E x \in ℝ; x \in] - 0,94; 7,44 [$
$\begin{array}{l} B_{n} D_{n} (x) = (- 0,5 x^{2} + 3,25 x + 3,5) L E \end{array}$
$A (x) = \frac{6 \cdot (- 0,5 x^{2} + 3,25 x + 3,5)}{2} FE x \in ℝ; x \in] - 0,94; 7,44 [$
$A (x) = (- 1,5 x^{2} + 9,75 x + 10,5) F E$
Scheitelpunkt bestimmen
Ermittle den Scheitel der Parabel z. B. mit der Formel:
$x_{s} = - \frac{b}{2 \cdot a} y_{s} = C - \frac{b^{2}}{4 \cdot a}$
$x_{s} = - \frac{9,75}{- 3} = 3,25 y_{s} = 10,5 - \frac{95,06}{- 6} = 26,34$
Der maximale Flächeninhalt des Drachenviereck:
$A_{m a x} = 26,34 F E$
Der zugehörige Wert für:
$x = 3,25$
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Stelle die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts des Drachenvierecks auf.
Du erhältst eine quadratische Funktion $A (x)$ , die den Flächeninhalt in Abhängigkeit vom Wert $x$ angibt.
Bestimme den Scheitelpunkt, um den maximalen Flächeninhalt $A$ und den zugehörigen Wert $x$ zu bestimmen.

Unter den Drachenvierecken $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ gibt es zwei Drachenvierecke $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ und $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ , die bei $C_{3}$ bzw. $C_{4}$ rechtwinklig sind.

Begründen Sie, warum $B_{3} D_{3} = B_{4} D_{4} = 8 LE$ gilt.

Berechnen Sie sodann die $x$ -Koordinaten von $B_{3}$ und $B_{4} .$ (3 P)

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$- 0,5 x^{2} + 3,25 x + 3,5$	$=$	$8$	$- 8$
$- 0,5 x^{2} + 3,25 x + 3,5 - 8$	$=$	$0$
$- 0,5 x^{2} + 3,25 x - 4,5$	$=$	$0$	$: (- 0,5)$
	↓	dividiere
$x^{2} - 6,5 x + 9$	$=$	$0$
	↓	zerlege in Linearfaktoren
$(x - 2) \cdot (x - 4,5)$	$=$	$0$
	↓	addiere
$x - 2$	$=$	$0$	$+ 2$
$x_{1}$	$=$	$2$
$x - 4,5$	$=$	$0$	$+ 4,5$
	↓	addiere
$x_{2}$	$=$	$4,5$

$y$	$=$	$- 0,5 (x - 3)^{2} + 5$
	↓	berechne das Quadrat
$y$	$=$	$- 0,5 (x^{2} - 6 x + 9) + 5$
	↓	löse die Klammer auf
$y$	$=$	$- 0,5 x^{2} + 3 x - 4,5 + 5$
	↓	fasse zusammen
$y$	$=$	$- 0,5 x^{2} + 3 x + 0,5$

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Schnittpunkte der Parabel und der Geraden

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Flächeninhalt des Drachenvierecks

Scheitelpunkt bestimmen

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