Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 1

Das Werfen einer beliebigen Zahl hat die Wahrscheinlichkeit $p=\dfrac{1}{4}$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Zahl nicht eintritt, ist $p=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}.$

Gegeben ist der Term $\left(\dfrac{3}{4}\right)^5$.

Hoch $5$ bedeutet, dass das Ereignis fünfmal hintereinander eintritt (Pfadmultiplikationsregel).

Der Term $\left(\dfrac{3}{4}\right)^5$ steht dann für die Wahrscheinlichkeit, dass z.B. die Zahl $1$ fünfmal hintereinander nicht geworfen wird, bzw. dass eine beliebige Zahl fünfmal hintereinander nicht geworfen wird.

Lösungsweg 1

Wenn bei 5 Würfen jede Zahl mindestens einmal vorkommen soll, heißt das, eine Zahl tritt doppelt auf.

Beispiel: $1\;2\;3\;4\;1$

Für die Reihenfolge dieser $5$ Zahlen gibt es insgesamt $\dfrac{5!}{2!}=60$ verschiedene Möglichkeiten.

Im obigen Beispiel trat die $1$ doppelt auf. Die $2$ kann ebenfalls doppelt auftreten, ebenso die $3$ und die $4$.

Somit gibt es $4\cdot 60 =240$ günstige Ereignisse und $4^5$ mögliche Ereignisse.

$\Rightarrow\;p=\dfrac{240}{4^5}=\dfrac{15}{64}$

Der Term $\dfrac{240}{4^5}$ berechnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jede Zahl mindestens einmal erzielt wird.

Lösungsweg 2

Der Term $\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}\cdot \dfrac{4}{4}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{2}{4}\cdot \dfrac{1}{4}$ berechnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jede Zahl mindestens einmal erzielt wird.

Hinweis: Wird der Term ausgerechnet, erhält man wie beim ersten Lösungsweg $\dfrac{15}{64}.$