Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

$g\in E?$

Setze die Geradengleichung $g$ in die Ebenengleichung ein:

Du hast eine wahre Aussage erhalten.

Die Gerade $g$ liegt in der Ebene $x_1+x_2+x_3=2$.

Zwei Geraden sind dann windschief zueinander, wenn sie nicht parallel zueinander sind und keinen Schnittpunkt haben.

Sind die Richtungsvektoren parallel zueinander?

Prüfe, ob der Richtungsvektor der Geraden $g$ ein Vielfaches des Richtungsvektors der Geraden $h_a$ ist.

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ a\\ 0\end{array}\right)$

Die dritte Zeile lautet: $-1=k\cdot 0$

Diese Gleichung ist für kein $k$ erfüllbar, d.h. die Richtungsvektoren sind nicht parallel zueinander.

Schneiden sich die beiden Geraden?

$g\cap h_a$

Somit erhält man das folgende Gleichungssystem:

$\begin{array}{cccccc}(\mathrm{I}):\lambda & =& 0& +& \mu & \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}):0& =& -1& +& \mu \cdot a& \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):-\lambda & =& 0& +& 0& \end{array}$

Aus Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})$ folgt: $\lambda =0$

Setze $\lambda =0$ in Gleichung $(\mathrm{I})$ ein, so folgt dann: $\mu =0$

Wird $\mu =0$ in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ eingesetzt, führt das auf einen Widerspruch $0=-1$

(falsche Aussage).

Das Gleichungssystem hat also keine Lösung.

Die beiden Geraden schneiden sich nicht, d.h. für jeden Wert von $a$ sind die Geraden windschief.