Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

$g\in E\;?$

Setze die Geradengleichung $g$ in die Ebenengleichung ein:

Du hast eine wahre Aussage erhalten.

Die Gerade $g$ liegt in der Ebene $x_1+x_2+x_3=2$.

Zwei Geraden sind dann windschief zueinander, wenn sie nicht parallel zueinander sind und keinen Schnittpunkt haben.

Sind die Richtungsvektoren parallel zueinander?

Prüfe, ob der Richtungsvektor der Geraden $g$ ein Vielfaches des Richtungsvektors der Geraden $h_a$ ist.

$\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=k \cdot \begin{pmatrix}1 \\ a \\ 0\end{pmatrix}$

Die dritte Zeile lautet: $-1=k\cdot 0$

Diese Gleichung ist für kein $k$ erfüllbar, d.h. die Richtungsvektoren sind nicht parallel zueinander.

Schneiden sich die beiden Geraden?

$g\cap h_a$

Somit erhält man das folgende Gleichungssystem:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\;\mathrm{(I)}:\;\;\;\lambda & = & 0 & + &\mu & \\\mathrm{(II)}:\;\;\; 0 & = & -1 & + &\mu\cdot a &\\\;\;\mathrm{(III)}:\;-\lambda & = & 0 & + &0& \end{array}$

Aus Gleichung $\mathrm{(III)}$ folgt: $\lambda=0$

Setze $\lambda=0$ in Gleichung $\mathrm{(I)}$ ein, so folgt dann: $\mu=0$

Wird $\mu =0$ in Gleichung $\mathrm{(II)}$ eingesetzt, führt das auf einen Widerspruch $0=-1$

(falsche Aussage).

Das Gleichungssystem hat also keine Lösung.

Die beiden Geraden schneiden sich nicht, d.h. für jeden Wert von $a$ sind die Geraden windschief.