Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die Gerade $g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ mit $\lambda \in \mathbb{R}.$

Zeigen Sie, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2$ liegt. (2 P)

Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden $h_a: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\mu\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 0 \end{pmatrix}$

mit $\mu \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}.$ Weisen Sie nach, dass $g$ und $h_{a}$ für jeden Wert von $a$ windschief sind. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden

Zwei Geraden sind dann windschief zueinander, wenn sie nicht parallel zueinander sind und keinen Schnittpunkt haben.

Sind die Richtungsvektoren parallel zueinander?

Prüfe, ob der Richtungsvektor der Geraden $g$ ein Vielfaches des Richtungsvektors der Geraden $h_{a}$ ist.

$\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=k \cdot \begin{pmatrix}1 \\ a \\ 0\end{pmatrix}$

Die dritte Zeile lautet: $-1=k\cdot 0$

Diese Gleichung ist für kein $k$ erfüllbar, d.h. die Richtungsvektoren sind nicht parallel zueinander.

Schneiden sich die beiden Geraden?

$g\cap h_a$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\mu\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 0 \end{pmatrix}$	$\displaystyle - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
$\displaystyle \lambda\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+\mu\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 0 \end{pmatrix}$

Somit erhält man das folgende Gleichungssystem:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\;\mathrm{(I)}:\;\;\;\lambda & = & 0 & + &\mu & \\\mathrm{(II)}:\;\;\; 0 & = & -1 & + &\mu\cdot a &\\\;\;\mathrm{(III)}:\;-\lambda & = & 0 & + &0& \end{array}$

Aus Gleichung $\mathrm{(III)}$ folgt: $\lambda=0$

Setze $\lambda=0$ in Gleichung $\mathrm{(I)}$ ein, so folgt dann: $\mu=0$

Wird $\mu =0$ in Gleichung $\mathrm{(II)}$ eingesetzt, führt das auf einen Widerspruch $0 = - 1$

(falsche Aussage).

Das Gleichungssystem hat also keine Lösung.

Die beiden Geraden schneiden sich nicht, d.h. für jeden Wert von $a$ sind die Geraden windschief.

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$\displaystyle x_1+x_2+x_3$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Setze $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ ein.
$\displaystyle (0+\lambda)+(1+0)+(1-\lambda)$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle \lambda+1+1-\lambda$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle 2$