Gesucht: Ein zufällig ausgewählter Beschäftigter des Autozulieferers arbeitet am Standort $B$ und besitzt kein Jobticket.

Abkürzungen:

B steht für den Standort "B"

J bedeutet "besitzt ein Jobticket".

$\overline{J}$ steht für "besitzt kein Jobticket".

Also ist $P(B\cap \overline{J})$ gesucht.

Hier kann eine Vierfeldertafel nützlich sein.

Aus der Aufgabenstellung entnimmt man:

"$60\;\%$ aller Beschäftigten des Autozulieferers haben sich für den Kauf eines Jobtickets entschieden."$\;\Rightarrow\;P(J)=0{,}6$ und $P(\overline{J})=1-0{,}6=0{,}4$

"Die Zahl der Beschäftigten am Standort $A$ ist viermal so groß wie am Standort $B$."

$A=4\cdot B$ und $A+B=1\;\Rightarrow\;4B+B=1$

$5B=1 \;\Rightarrow\;B=0{,}2$ und $A=1-B=0{,}8$

Also ist $P(A)=0{,}8$ und $P(B)=0{,}2$.

Der Anteil der Beschäftigten mit einem Jobticket ist an beiden Standorten gleich, und zwar $60\;\%$. $\Rightarrow\;P(B\cap {J})=0{,}6\cdot 0{,}2=0{,}12$

Dann ist P$(B\cap \overline{J})=P(B)-P(B\cap {J})=0{,}2 -0{,}12=0{,}08$.

Die restlichen Felder der Vierfeldertafel sind für diese Aufgabe nicht relevant.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Beschäftigter des Autozulieferers am Standort $B$ arbeitet und kein Jobticket besitzt, beträgt $0{,}08$.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Beschäftigter des Autozulieferers, der ein Jobticket besitzt, am Standort $A$ arbeitet.

Also ist $P_J(A)$ gesucht.

$P_J(A) =\dfrac{P(A\cap {J})}{P(J)}$

Auch hier hilft die Vierfeldertafel.

$P(J)=0{,}6$ ist bekannt, berechnet werden muss $P(A\cap {J})$.

Am Standort $B$ besitzt nur die Hälfte ($0{,}5$) der Beschäftigten ein Jobticket.

$\Rightarrow\;P(B\cap {J})=0{,}5\cdot 0{,}2=0{,}1$

Für $P(A\cap {J})$ folgt dann: $P(A\cap {J})=P(J)-P(B\cap {J})=0{,}6-0{,}1=0{,}5$.

Somit kann die Vierfeldertafel ausgefüllt werden (nur der Vollständigkeitshalber).

Nun kann $P_J(A) =\dfrac{P(A\cap {J})}{P(J)}$ berechnet werden:

$P_J(A) =\dfrac{0{,}5}{0{,}6}=\dfrac{5}{6}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Beschäftigter des Autozulieferers, der ein Jobticket besitzt, am Standort $A$ arbeitet, beträgt $\dfrac{5}{6}$.