Aufgaben zur Kreisgleichung - lernen mit Serlo!

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Zwei Kreise $k_{1}$ und $k_{2}$ haben einen Berührpunkt.

Untersuche, ob sich die Kreise innen oder außen berühren.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis

Lies aus der Kreisgleichung den Kreismittelpunkt und den Radius ab:

Für $k_{1}$ gilt: $M_{1} (4 ∣ 4)$ und $r_{1} = 3$

Für $k_{2}$ gilt: $M_{2} (12 ∣ 10)$ und $r_{2} = 7$

Der Abstand der beiden Mittelpunkte ist:

$\displaystyle d(M_1M_2)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
	↓	Setze die Koordinaten von $M_{1}$ und $M_{2}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{(12-4)^2+(10-4)^2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{8^2+6^2}$
	↓	Berechne die Quadrate.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{64+36}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{100}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle 10$

Prüfe nun, ob Fall $1$ oder Fall $2$ eintritt.

$r_{1} = 3$ und $r_{2} = 7$ $\;\Rightarrow\;r_1+r_2=10$

Damit gilt $d (M_{1} M_{2}) = r_{1} + r_{2}$ und Fall $2$ ist eingetreten.

Die beiden Kreise berühren sich außen im Punkt $B$ .

Die folgende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

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1. Fall:

Zwei Kreise haben einen innen liegenden Berührpunkt, wenn die Differenz der Kreisradien gerade dem Abstand der beiden Mittelpunkte entspricht:

$d (M_{1} M_{2}) = ∣ r_{1} - r_{2} ∣$

2. Fall:

Zwei Kreise haben einen außen liegenden Berührpunkt, wenn die Summe der Kreisradien gerade dem Abstand der beiden Mittelpunkte entspricht:

$d (M_{1} M_{2}) = r_{1} + r_{2}$

$k_1:\;(x-8{,}8)^2+(y-7{,}6)^2=9$ und $k_2:\;(x-12)^2+(y-10)^2=49$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis

Lies aus der Kreisgleichung den Kreismittelpunkt und den Radius ab:

Für $k_{1}$ gilt: $M_1(8{,}8|7{,}6)$ und $r_{1} = 3$

Für $k_{2}$ gilt: $M_{2} (12 ∣ 10)$ und $r_{2} = 7$

Der Abstand der beiden Mittelpunkte ist:

$\displaystyle d(M_1M_2)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
	↓	Setze die Koordinaten von $M_{1}$ und $M_{2}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{(12-8{,}8)^2+(10-7{,}6)^2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{3{,}2^2+2{,}4^2}$
	↓	Berechne die Quadrate.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{10{,}24+5{,}76}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{16}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle 4$