Aufgaben zur Kreisgleichung - lernen mit Serlo!

Zwei Kreise $k_{1}$ und $k_{2}$ haben einen Berührpunkt.

Untersuche, ob sich die Kreise innen oder außen berühren.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
Lies aus der Kreisgleichung den Kreismittelpunkt und den Radius ab:
Für $k_{1}$ gilt: $M_{1} (4 | 4)$ und $r_{1} = 3$
Für $k_{2}$ gilt: $M_{2} (12 | 10)$ und $r_{2} = 7$
Der Abstand der beiden Mittelpunkte ist:
$d (M_{1} M_{2})$ $=$ $\sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
↓
Setze die Koordinaten von $M_{1}$ und $M_{2}$ ein.
$=$ $\sqrt{(12 - 4)^{2} + (10 - 4)^{2}}$
↓
Vereinfache.
$=$ $\sqrt{8^{2} + 6^{2}}$
↓
Berechne die Quadrate.
$=$ $\sqrt{64 + 36}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\sqrt{100}$
↓
Ziehe die Wurzel.
$=$ $10$
Prüfe nun, ob Fall $1$ oder Fall $2$ eintritt.
$r_{1} = 3$ und $r_{2} = 7$ $\Rightarrow r_{1} + r_{2} = 10$
Damit gilt $d (M_{1} M_{2}) = r_{1} + r_{2}$ und Fall $2$ ist eingetreten.
Die beiden Kreise berühren sich außen im Punkt $B$ .
Die folgende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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1. Fall:
Zwei Kreise haben einen innen liegenden Berührpunkt, wenn die Differenz der Kreisradien gerade dem Abstand der beiden Mittelpunkte entspricht:
$d (M_{1} M_{2}) = | r_{1} - r_{2} |$
2. Fall:
Zwei Kreise haben einen außen liegenden Berührpunkt, wenn die Summe der Kreisradien gerade dem Abstand der beiden Mittelpunkte entspricht:
$d (M_{1} M_{2}) = r_{1} + r_{2}$
$k_{1} : (x - 8,8)^{2} + (y - 7,6)^{2} = 9$ und $k_{2} : (x - 12)^{2} + (y - 10)^{2} = 49$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
Lies aus der Kreisgleichung den Kreismittelpunkt und den Radius ab:
Für $k_{1}$ gilt: $M_{1} (8,8 | 7,6)$ und $r_{1} = 3$
Für $k_{2}$ gilt: $M_{2} (12 | 10)$ und $r_{2} = 7$
Der Abstand der beiden Mittelpunkte ist:
$d (M_{1} M_{2})$ $=$ $\sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
↓
Setze die Koordinaten von $M_{1}$ und $M_{2}$ ein.
$=$ $\sqrt{(12 - 8,8)^{2} + (10 - 7,6)^{2}}$
↓
Vereinfache.
$=$ $\sqrt{{3,2}^{2} + {2,4}^{2}}$
↓
Berechne die Quadrate.
$=$ $\sqrt{10,24 + 5,76}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\sqrt{16}$
↓
Ziehe die Wurzel.
$=$ $4$
Prüfe nun, ob Fall $1$ oder Fall $2$ eintritt.
$r_{1} = 3$ und $r_{2} = 7$ $\Rightarrow | r_{1} - r_{2} | = | 3 - 7 | = 4$
Damit gilt $d (M_{1} M_{2}) = | r_{1} - r_{2} |$ und Fall $1$ ist eingetreten.
Die beiden Kreise berühren sich innen im Punkt $B$ .
Die folgende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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1. Fall:
Zwei Kreise haben einen innen liegenden Berührpunkt, wenn die Differenz der Kreisradien gerade dem Abstand der beiden Mittelpunkte entspricht:
$d (M_{1} M_{2}) = | r_{1} - r_{2} |$
2. Fall:
Zwei Kreise haben einen außen liegenden Berührpunkt, wenn die Summe der Kreisradien gerade dem Abstand der beiden Mittelpunkte entspricht:
$d (M_{1} M_{2}) = r_{1} + r_{2}$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$d (M_{1} M_{2})$	$=$	$\sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
	↓	Setze die Koordinaten von $M_{1}$ und $M_{2}$ ein.
	$=$	$\sqrt{(12 - 4)^{2} + (10 - 4)^{2}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\sqrt{8^{2} + 6^{2}}$
	↓	Berechne die Quadrate.
	$=$	$\sqrt{64 + 36}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\sqrt{100}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$10$

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