Gemischte Aufgaben - lernen mit Serlo!

Gegeben sind die Eckpunkte einer Pyramide $A (0 ∣ 0 ∣ 0)$ , $B (6 ∣ 0 ∣ 0)$ , $C (6 ∣ 6 ∣ 0)$ , $D (0 ∣ 6 ∣ 0)$ , $S (3 ∣ 3 ∣ 12)$ und die Gleichung einer Ebene $K:\; 2x_2+4{,}5x_3=20$ . Die Pyramide wird von der Ebene $K$ geschnitten.

Zeige, dass die Schnittfläche zwischen Pyramide und Ebene ein gleichschenkliges (symmetrisches) Trapez ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez

Die folgende Skizze (nicht maßstabsgetreu) verdeutlicht die Aufgabenstellung und dient zur Orientierung bei der Benennung der Pyramidenpunkte.

Berechne die Gleichungen der Pyramidenkanten

$g_{AS}: \vec X=\vec A+r\cdot (\vec S-\vec A)=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 3 -0\\3 -0 \\ 12-0 \end{pmatrix}$

Kürze den Richtungsvektor mit Faktor $3$ :

$g_{AS}: \vec X=r\cdot\begin{pmatrix} 1\\1\\ 4 \end{pmatrix}$

$g_{BS}: \vec X=\vec B+r\cdot (\vec S-\vec B)=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 3 -6\\3 -0\\ 12-0 \end{pmatrix}$

Kürze den Richtungsvektor mit Faktor $3$ :

$g_{BS}: \vec X=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -1\\1\\ 4 \end{pmatrix}$

$g_{CS}: \vec X=\vec C+r\cdot (\vec S-\vec C)=\begin{pmatrix}6\\6\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 3 -6\\3 -6\\ 12-0 \end{pmatrix}$

Kürze den Richtungsvektor mit Faktor $3$ :

$g_{CS}: \vec X=\begin{pmatrix}6\\6\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -1\\-1\\ 4 \end{pmatrix}$

$g_{DS}: \vec X=\vec D+r\cdot (\vec S-\vec D)=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 3 -0\\3 -6\\ 12-0 \end{pmatrix}$

Kürze den Richtungsvektor mit Faktor $3$ :

$g_{DS}: \vec X=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1\\-1\\ 4 \end{pmatrix}$

Schneide die Geraden jeweils mit der Ebene $K$

$g_{AS}\cap K$ :

$g_{AS}: \vec X=r\cdot\begin{pmatrix} 1\\1\\ 4 \end{pmatrix}$

$\displaystyle K:\; 2x_2+4{,}5x_3$	$=$	$\displaystyle 20$
	↓	Setze $x_{2} = r$ und $x_{3} = 4 r$ ein.
$\displaystyle 2\cdot r+4{,}5\cdot 4r$	$=$	$\displaystyle 20$
$\displaystyle 2r+18r$	$=$	$\displaystyle 20$
$\displaystyle 20r$	$=$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle :20$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 1$

Setze $r = 1$ in $g_{AS}$ ein, um die Koordinaten $E$ des Schnittpunktes mit der Ebene $K$ zu erhalten:

$\displaystyle \vec X$	$=$	$\displaystyle r\cdot\begin{pmatrix} 1\\1\\ 4 \end{pmatrix}$
	↓	Setze $r = 1$ ein.
	$=$	$\displaystyle 1\cdot\begin{pmatrix} 1\\1\\ 4 \end{pmatrix}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 1\\1\\ 4 \end{pmatrix}$

Damit hat der Punkt $E$ die Koordinaten $E (1 ∣ 1 ∣ 4)$ .

$g_{BS}\cap K$ :

$g_{BS}: \vec X=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -1\\1\\ 4 \end{pmatrix}$

$\displaystyle K:\; 2x_2+4{,}5x_3$	$=$	$\displaystyle 20$
	↓	Setze $x_{2} = r$ und $x_{3} = 4 r$ ein.
$\displaystyle 2\cdot r+4{,}5\cdot 4r$	$=$	$\displaystyle 20$
$\displaystyle 2r+18r$	$=$	$\displaystyle 20$
$\displaystyle 20r$	$=$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle :20$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 1$

Setze $r = 1$ in $g_{BS}$ ein, um die Koordinaten $F$ des Schnittpunktes mit der Ebene $K$ zu erhalten:

$\displaystyle \vec X$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -1\\1\\ 4 \end{pmatrix}$
	↓	Setze $r = 1$ ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix} -1\\1\\ 4 \end{pmatrix}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 5\\1\\ 4 \end{pmatrix}$

Damit hat der Punkt $F$ die Koordinaten $F (5 ∣ 1 ∣ 4)$ .

$g_{CS}\cap K:$

$g_{CS}: \vec X=\begin{pmatrix}6\\6\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -1\\-1\\ 4 \end{pmatrix}$

$\displaystyle K:\; 2x_2+4{,}5x_3$	$=$	$\displaystyle 20$
	↓	Setze $x_{2} = 6 - r$ und $x_{3} = 4 r$ ein.
$\displaystyle 2\cdot(6-r)+4{,}5\cdot 4r$	$=$	$\displaystyle 20$
$\displaystyle 12-2r+18r$	$=$	$\displaystyle 20$
$\displaystyle 12+16r$	$=$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle -12$
$\displaystyle 16r$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle :16$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

Setze $r = 0,5$ in $g_{CS}$ ein, um die Koordinaten $G$ des Schnittpunktes mit der Ebene $K$ zu erhalten:

$\displaystyle \vec X$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}6\\6\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -1\\-1\\ 4 \end{pmatrix}$
	↓	Setze $r = 0,5$ ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}6\\6\\0\end{pmatrix}+0{,}5\cdot\begin{pmatrix} -1\\-1\\ 4 \end{pmatrix}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 5{,}5\\5{,}5\\ 2 \end{pmatrix}$

Damit hat der Punkt $G$ die Koordinaten $G (5,5 ∣ 5,5 ∣ 2)$ .

$g_{DS}\cap K:$

$g_{DS}: \vec X=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1\\-1\\ 4 \end{pmatrix}$

$\displaystyle K:\; 2x_2+4{,}5x_3$	$=$	$\displaystyle 20$
	↓	Setze $x_{2} = 6 - r$ und $x_{3} = 4 r$ ein.
$\displaystyle 2\cdot(6-r)+4{,}5\cdot 4r$	$=$	$\displaystyle 20$
$\displaystyle 12-2r+18r$	$=$	$\displaystyle 20$
$\displaystyle 12+16r$	$=$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle -12$
$\displaystyle 16r$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle :16$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

Setze $r = 0,5$ in $g_{DS}$ ein, um die Koordinaten $H$ des Schnittpunktes mit der Ebene $K$ zu erhalten:

$\displaystyle \vec{X}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1\\-1\\ 4 \end{pmatrix}$
	↓	Setze $r = 0,5$ ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}+0{,}5\cdot\begin{pmatrix} 1\\-1\\ 4 \end{pmatrix}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0{,}5\\5{,}5\\ 2 \end{pmatrix}$

Damit hat der Punkt $H$ die Koordinaten $H (0,5 ∣ 5,5 ∣ 2)$ .

Die Schnittfläche

Die Punkte $E$ und $F$ haben die gleiche $x_{3}$ -Koordinate $4$ und die Punkte $G$ und $H$ haben die gleiche $x_{3}$ -Koordinate $2$ .

Berechne die Vektoren $\overrightarrow{EF}=\vec F-\vec E$ und $\overrightarrow{HG}=\vec G-\vec H:$

$\displaystyle \overrightarrow{EF}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 5\\1\\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\1\\ 4 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 4\\0\\ 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \overrightarrow{HG}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}5{,}5\\5{,}5\\ 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0{,}5\\5{,}5\\ 2 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}5\\0\\ 0 \end{pmatrix}$

Damit folgt: $\overrightarrow{EF}\parallel \overrightarrow{HG}$

Die beiden Vektoren sind ungleich lang:

$|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{4^2+0^2+0^2}=\sqrt{16}=4$

$|\overrightarrow{HG}|=\sqrt{5^2+0^2+0^2}=\sqrt{25}=5$

Berechne die Vektoren $\overrightarrow{GF}=\vec F-\vec G$ und $\overrightarrow{HE}=\vec E-\vec H$ :

$\displaystyle \overrightarrow{GF}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 5\\1\\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5{,}5\\5{,}5\\ 2 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} -0{,}5\\-4{,}5\\ 2 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \overrightarrow{HE}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 1\\1\\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0{,}5\\5{,}5\\ 2 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 0{,}5\\-4{,}5\\ 2 \end{pmatrix}$

Die Vektoren sind nicht parallel zueinander:

\displaystyle \begin{pmatrix} -0{,}5\\-4{,}5\\ 2 \end{pmatrix}

\neq ≠

\displaystyle k \cdot\begin{pmatrix} 0{,}5\\-4{,}5\\ 2 \end{pmatrix}

Aber die beiden Vektoren sind gleich lang:

$|\overrightarrow{GF}|=\sqrt{(-0{,}5)^2+(-4{,}5)^2+2^2}=\sqrt{24{,}5}$

$|\overrightarrow{HE}|=\sqrt{(0{,}5)^2+(-4{,}5)^2+2^2}=\sqrt{24{,}5}$

Somit haben wir zwei ungleich lange parallele Vektoren $\overrightarrow{EF}$ und $\overrightarrow{HG}$ und zwei gleich lange, aber nicht parallele Vektoren $\overrightarrow{GF}$ und $\overrightarrow{HE}$ .

Die geometrische Figur kann demnach nur ein gleichschenkeliges (symmetrisches) Trapez und kein Parallelogramm sein.

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Berechne den Flächeninhalt des Trapezes.

$\displaystyle A_{\text{Trapez}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a+c}{2}\cdot h$
	↓	Setze $a = 5$ , $c = 4$ und $h = 4,925$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{5+4}{2}\cdot 4{,}925$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 22{,}16$

Berechne die Gleichungen der Pyramidenkanten

Schneide die Geraden jeweils mit der Ebene KKK

Die Schnittfläche

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Schneide die Geraden jeweils mit der Ebene $K$