Anwendungsaufgaben zu Quadratwurzeln

Mit diesen Anwendungsaufgaben lernst du, mithilfe von Quadratwurzeln mathematische Probleme zu lösen.

1
Beispiel zur Anwendung
Du möchtest ein Memory-Spiel spielen und hast 16 Karten dafür in jeder Reihe 4 Karten ausgelegt (siehe Foto).
Dieses Spiel fällt dir sehr leicht. Also möchtest du es nun mit 36 Karten aufbauen! Wie viele Karten musst du in eine Reihe legen, um 36 Karten in einem Quadrat auszulegen? Trage das Ergebnis in das Eingabefeld ein.
Memory-Spiel mit 16 Karten

So errechnest du das Ergebnis: $\sqrt{36}=6$
Trage es gleich in das Lösungsfeld der Aufgabe ein!
2
Tine möchte eine Katze aus quadratischen Mosaiksteinen bauen. Sie verwendet dafür eine Vorlage mit $7$ Reihen und $9$ Spalten. Insgesamt soll das komplette Bild der Katze $63 \; \mathrm{cm}^2$ groß sein. Tine überlegt, wie groß die Mosaiksteine dafür sein müssen. Hilf Tine und berechne die Seitenlänge der Steine.
$0{,}5 \; \mathrm{cm}$
$1 \; \mathrm{cm}$
$2 \; \mathrm{cm}$
$10 \; \mathrm{cm}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel
Das komplette Bild soll einen Größe von $63\;{\rm cm}^2$ haben. Die Fläche eines einzelnen Mosaiksteins kann berechnet werden, indem die Fläche des kompletten Katzenbilds durch die Anzahl der Steine geteilt wird.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} {\rm Anzahl \: der \: Steine} &=& 7 \cdot 9 \\\\ &=& 63 \end{array}$
Das Katzenbild besteht aus $63$ Mosaiksteinen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} {\rm Fläche \: eines \: Steins} &=& {\rm Gesamtfläche \div Anzahl \:der \:Steine} \\\\ &=& 63\;{\rm cm}^2 \div 63 \\\\ &=& 1\;{\rm cm}^2 \end{array}$
Ein Mosaikstein hat die Größe von $1\;{\rm cm}^2$ .
Um die Seitenlänge zu berechnen, verwendet man die Formel für den Flächeninhalt. Da die Mosaiksteine quadratisch sind, entspricht die Länge der Breite.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}{\rm Länge} \cdot {\rm Breite} &=& {\rm Flächeninhalt} \\\\ a \cdot a&=& {\rm Flächeninhalt} \\\\ a^2 &=& 1\;{\rm cm}^2 \\\\ \sqrt{a^2} &=& \sqrt{1\;{\rm cm}^2} \\\\ a &=& 1\;{\rm cm} \end{array}$
Für das Katzenbild braucht Tine Mosaiksteine mit der Seitenlänge von $1\;{\rm cm}$ .
3
Das farbig markierte Quadrat hat einen Flächeninhalt von $9\text{ cm}^2$ . Bestimme den Umfang des Rechtecks.
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Berechnung der Seitenlänge des $\text{\color{009999}{farbigen Quadrats}}$
Die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge $a$ lautet:
$\displaystyle A_{\square}=a^2=a\cdot a$
Du weißt aus der Angabe, dass der Flächeninhalt des farbigen Quadrats $9 \text{ cm}^2$ beträgt.
Um nun die Seitenlänge zu erhalten, musst du dich fragen, welche Zahl mit sich selbst malgenommen $9 \text{ cm}^2$ ergibt.
$\displaystyle A_{\square}=9 \text{ cm}^2 ⇒ 3\cdot 3=9 \\ ⇒ a=3 \text{ cm}$
Das farbige Quadrat hat eine Seitenlänge von $a= 3\text{ cm}$ .
Bestimmung des Umfangs des Rechtecks
Die Formel für den Umfang eines Rechtecks mit der Länge $l$ und der Breite $b$ lautet:
$\displaystyle U_{\text{Rechteck}}=2\cdot l+2\cdot b$
Aus dem Bild kannst du entnehmen, dass die Länge des Rechtecks 6 mal die Seitenlänge $\boldsymbol a$ des Quadrats ist und die Breite des Rechtecks 4 mal der Seitenlänge des Quadrats entspricht.
$\displaystyle \text{Länge}: l= 6 \cdot 3 \text{ cm} =18 \text{ cm} \\ \text{Breite}: b= 4 \cdot 3\text{ cm} =12\text{ cm}$
Nun kannst du die Länge und die Breite in die Formel für den Umfang eines Rechtecks einsetzten und erhältst die Lösung:
$U_{\text{Rehteck}} = 2\cdot l+ 2\cdot b=2\cdot 18 \text{ cm} +2\cdot 12 \text{ cm}= 60\text{ cm}$
Der Umfang des Rechtecks beträgt $60\text{ cm}$ .
Für die Bestimmung des Umfangs des Rechtecks, kannst du zuerst mithilfe der Formel für die Berechnung des Flächeninhalts eines Quadrats, die Seitenlänge des farbigen Quadrats bestimmen. Anschließend kannst du die Anzahl der Quadrate an den Seiten bestimmen und dadurch den Umfang des Rechtecks bestimmen.
4
Textaufgabe Kaninchengehege
Die Kaninchen im Streichelzoo benötigen mehr Platz zum Hüpfen und Verstecken. Das neue quadratische Gehege soll insgesamt $36 m^{2}$ groß sein. Der Tierpfleger soll nun einen Zaun aus Maschendraht besorgen, der um das Gehege herumführt.
Wie viele Meter ist dieser Zaun insgesamt lang?

Du weißt bereits, dass eine Seitenlänge eines Quadrats die Quadratwurzel aus der Fläche ist. Das heißt, du rechnest so:
$\displaystyle \sqrt[2]{36}=6$
Das bedeutet: Eine Seitenlänge ist also 6 Meter lang. Wie viel Meter ist also der Zaun ingesamt lang? Du rechnest $6 x 4$ und gibst das Ergebnis oben in das Eingabefeld ein :)