geg.: $f: y=0{,}5\cdot (x+2)^{-3}+1$ ≙ nach Umformung des Exponenten $y=\dfrac{0{,}5}{(x+2)^{3}}+1$

ges.: Definitionsmenge und Wertemenge; Graph zu $f$

Ansatz und Rechnung:

Definitionsmenge: In den Funktionsterm können alle reellen Zahlen eingesetzt werden, nur darf der nenner nicht Null werden. Das würde für $x=2$ geschehen. Daher ist $\mathbb {{D}={R}\setminus\{2}\}$

Wertebereich: der Bruch kann alle reellen Zahlen außer den Wert Null annehmen. Daher ist $\mathbb {{W}={R}\setminus\{1\}}$ .

Zeichnung mithilfe https://rechneronline.de/funktionsgraphen/

Berechnung der Koordinaten der Eckpunkte der Quadrate:

Quadrat $A_1B_1C_1D_1$:

• $A_n$(x|$0{,}5\cdot\left(x+2\right)^{-3}+1$) für $x=-3$:

$y\left(-3\right)=0{,}5\cdot\left(-3+2\right)^{-3}+1=0{,}5\cdot\left(-1\right)^{-3}+1=0{,}5\cdot\left(-1\right)+1=0{,}5$

• Die x-Koordinaten der Punkte $B_n$ sind um zwei größer: $x= -3+2=-1$

• Die y-Koordinaten der Punkte $B_n$ sind um eins größer: $y=0{,}5+1=1{,}5$

So erhalten wir die Punkte $A_1(-3|0{,}5)$ und $B_1(-1|1{,}5)$.

Quadrat $A_2B_2C_2D_2$: Wir gehen wie oben vor.

Flächeninhalt A der Quadrate $A_nB_nC_nD_n$: $A_{\text{Quadrat}}=a^2=\overline{A_nB_n}^2$

Die Länge aller Seiten der Quadrate $A_nB_nC_nD_n$ ist konstant. Damit haben alle Quadrate den gleichen Flächeninhalt.

geg.: $A_n (x | 0{,}5\cdot (x+2)^{-3}+1$

Nach Aufgabenstellung A 2.b ist bekannt: $x_{B_n}=x_{A_n}+2$ und $y_{B_n}=y_{A_n}+1.$

Viereck $A_nB_nC_nD_n$ ist ein Quadrat $\Rightarrow$ alle Seiten sind gleich lang und stehen aufeinander senkrecht.

ges.: Nachweis, dass $C_n (x+1 | 0{,}5\cdot(x+2)^{-3} +4)$

Ansatz und Rechnung:

Vektoraddition: $\overrightarrow {OC_n}=\overrightarrow {OA_n}+\overrightarrow {A_nB_n}+\overrightarrow {B_nC_n}$

Veranschaulichung siehe Skizze:

Bestimmung der Vektoren:

1. $\overrightarrow {OA_n}: {A_n (x|0{,}5\cdot(x+2)}^{-3}+1)$

$\Rightarrow \overrightarrow {OA_n}=$ Spitze minus Fuß $=\begin{pmatrix} x\\ {0{,}5\cdot(x+2)}^{-3}+1 \end{pmatrix}$

2. $\overrightarrow {AB_n}:$ mit $x_{B_n}=x_{A_n}+2$ und $y_{B_n}=y_{A_n}+1$ siehe Aufgabenstellung A 2.b

$\Rightarrow \overrightarrow {A_nB_n}=\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}$

3. $\overrightarrow {B_nC_n}:$ ist orthogonal zu $\overrightarrow {A_nB_n}$ und um $-90°$ (d.h. nach links) gedreht

$\Rightarrow$ gemäß Links-Kippregel wird Vektor $\overrightarrow {v}=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ zu $\overrightarrow {v_1}=\begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix}$

$\Rightarrow \overrightarrow {B_nC_n}=\begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix}$

mit $\overrightarrow {OC_n}=\overrightarrow {OA_n}+\overrightarrow {A_nB_n}+\overrightarrow {B_nC_n}$

$\Rightarrow\overrightarrow {OC_n}=\begin{pmatrix} x\\ {0{,}5\cdot(x+2)}^{-3}+1 \end{pmatrix}\oplus \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}\oplus \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix}$ mit $x\in \bold {R} \neq [2]$

$\Rightarrow\overrightarrow {OC_n}=\begin{pmatrix} x+1\\ {0{,}5\cdot(x+2)}^{-3}+4 \end{pmatrix}$

$\bold{\Rightarrow C_n(x+1| 0{,}5\cdot (x+2)^{-3}+4}\qquad$q.e.d.

Koordinaten des Punktes $C_3$ des Quadrates $A_3B_3C_3D_3$ für $x=0$:

Wir kennen die Koordinaten von $C_n(x+1|0{,}5\cdot(x+2)^{-3}+4)$.

Die x-Koordinate wird 0, wenn ich für $x=-1$ einsetze $(-1+1=0)$ :

$C_3(1|4{,}5)$