Teil A

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Aufgaben
1.0 Der Punkt A(0∣0) A(0|0) ist gemeinsamer Eckpunkt von Dreiecken ABnCnAB_nC_n. Die Punkte Bn(x∣0,25x−2)B_n(\text{x}|0,25\text{x}-2) liegen auf der Geraden g mit y=0,25x−2 (G=R×R)\\\textrm{y}=0,25\textrm{x}-2\, (\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).
Es gilt: BnACn=50°;ACn‾=1,5⋅ABn‾B_nAC_n=50°;\overline{AC_n}=1,5\cdot\overline{AB_n}. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma
Abschlussprüfung 2020
1.1 Zeichnen Sie das Dreieck AB1C1AB_1C_1 für x = 4 \textrm{x\,=\,4}\, in das Koordinatensystem zu 1.0 ein.
1.2 Für das Dreieck AB2C2AB_2C_2 gilt: x=8\textrm{x=8}.
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes C2C_2
Dreieck Berechnung
2.0 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung y=0,5⋅(x+2)−3  (G=R×R)y=0,5\cdot(\textrm{x}+2)^{-3}\;\\(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}). Im Koordinatensystem ist für x>−2\textrm{x}>-2 der Graph zu ff eingezeichnet.
Grapf f
2.1 Zeichnen Sie für x∈[−6;  −2,5]x\in\lbrack-6;\;-2,5\rbrack den Graphen zu ff in das Koordinatensystem zu 2.0 ein und geben Sie die Wertemenge von f f an.
Grapf f Wertemenge
2.2 Punkte An(x∣  0,5⋅(x+2)−3+1)A_n(\textrm{x}\vert\;0,5\cdot(\textrm{x}+2)^{-3}+1) mit der Abszisse x liegen auf dem Graphen zu ff mit x∈R∖(−2)x\in\mathbb{R}\setminus{(-2)} .
Sie legen mit Punkten Bn,CnB_n,C_n und DnD_n Quadrate AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n fest.
Die x-Koordinate der Punkte BnB_n ist um 2 größer als die Abszisse x der Punkte AnA_n, die y-Koordinate der Punkte BnB_n ist um 1 größer als die y-Koordinate der Punkte An.A_n. Zeichnen Sie die Quadrate A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=−3\textrm{x}=-3 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für
x=2\textrm{x}=2 in das Koordinatensystem zu 2.0

2.3 Begründen Sie, weshalb alle Quadrate AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n den gleichen Flächeninhalt AA haben, und geben Sie diesen an.
Quadrat Flächeninhalt
2.4 Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte CnC_n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte AnA_n gilt: Cn(x+1∣  0,5⋅(x+2)−3+4)C_n(\textrm{x}+1\vert\;0,5\cdot(\textrm{x}+2)^{-3}+4).
Abhängigkeit
2.5 Der Punkt C3C_3 des Quadrats A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 liegt auf der y–Achse. Geben Sie die Koordinaten des Punktes C3C_3 an.
Koordinate
3.0 Gegeben sind Drachenvierecke ABnCDnAB_nCD_n mit der Symmetrieachse AC AC. Punkte EnE_n sind die Mittelpunkte der Strecken [BnDn][B_nD_n] . Die Winkel BnCEnB_nCE_n haben das Maß φ\varphi mit φ∈ ]0∘;  90∘[.\varphi\in\,]0^\circ;\;90^\circ\lbrack.\\
Es gilt: AC‾=2 cm\overline{AC}=2\ \text{cm} und BnC‾=CDn‾=3 cm.\overline{B_nC}=\overline{CD_n}=3\ \text{cm}. Die nebenstehende Zeichnung zeigt das Drachenviereck AB1CD1AB_1CD_1 für φ=50°\varphi=50^°.
Rotation
3.1 Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Längen der Strecken [BnEn][B_nE_n] und [AEn][AE_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:
BnEn‾(φ)=3⋅sinφ cm.\overline{B_nE_n}(\varphi)=3\cdot \textrm{sin}\varphi \,\textrm{cm}. und AEn‾(φ)=(3⋅cosφ+2) cm.\overline{AE_n}(\varphi)=(3\cdot \textrm{cos}\varphi +2) \,\textrm{cm}. 
3.2 Die Drachenvierecke ABnCDnAB_nCD_n rotieren um die Gerade ACAC. Bestätigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen VV der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: V(φ)=6⋅π⋅sin2φ cm3V(\varphi)=6\cdot\pi\cdot\textrm{sin}^2\varphi\,\textrm{cm}^3.
Rotationskörper
3.3 Eine der folgenden Aussagen zu den Rotationskörpern aus 3.2 ist richtig. Kreuzen Sie diese Aussage an
Es gibt einen Rotationskörper mit einem Volumen von 6⋅π 6\cdot\pi cm³.
Die Rotationskörper haben ein Volumen von höchstens 66 cm³.
Für das Volumen V gilt: V(φ)<6⋅πV(\varphi)<6\cdot\pi cm³
Für das Volumen V gilt: V(φ)>6⋅πV(\varphi)>6\cdot\pi cm³
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