Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Der Punkt $A (0 ∣ 0)$ ist gemeinsamer Eckpunkt von Dreiecken $A B_{n} C_{n}$ .
Die Punkte $B_n(\text{x}|0{,}25\text{x}-2)$ liegen auf der Geraden $g$ mit $\\\textrm{y}=0{,}25\textrm{x}-2\, (\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ .
Es gilt: $\measuredangle B_nAC_n=50^\circ;\overline{AC_n}=1{,}5\cdot\overline{AB_n}$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie das Dreieck $A B_{1} C_{1}$ für $\textrm{x\,=\,4}\,$ in das Koordinatensystem zu 1.0 ein.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
  Dreieckskonstruktion
  Der Punkt $A$ ist der Koordinatenursprung $A (0 ∣ 0)$ .
  Setze $x = 4$ in die Geradengleichung ein, um die Koordinaten des Punktes $B_{1}$ zu erhalten: $y(4)=0{,}25\cdot4-2=-1$ $\;\Rightarrow\;$ $B_{1} (4 ∣ - 1)$ .
  Zeichne die Strecke $\overline{AB_1}$ und trage im Punkt $A$ den Winkel $\measuredangle B_1AC_1=50^{\circ}$ ab.
  Weiterhin gilt: $\overline{AC_1}=1{,}5\cdot\overline{AB_1}$ .
  Zeichne zunächst um $A$ einen Kreis mit dem Radius $r=|\overline{AB_1}|$ .
  Der Kreis schneidet den freien Schenkel des Winkels $\measuredangle B_1AC_1$ im Punkt $S$ .
  Die halbe Länge der Strecke $\overline{AB_1}$ erhältst du durch Konstruktion der Mittelsenkrechten auf der Strecke $\overline{AB_1}$ . (Aus Gründen der Übersichtlichkeit ist diese Konstruktion hier nicht eingezeichnet.)
  Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke $\overline{AB_1}$ ist der Punkt $M .$ Nimm die Strecke $\overline{AM}$ in den Zirkel und zeichne um $S$ einen weiteren Kreis mit dem Radius $r=|\overline{AM}|$ . Der Kreis schneidet den freien Schenkel des Winkels $\measuredangle B_1AC_1$ im Punkt $C_{1}$ .
  Verbinde den Punkt $C_{1}$ mit $B_{1}$ und das Dreieck $A B_{1} C_{1}$ ist fertig.
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2. Für das Dreieck $A B_{2} C_{2}$ gilt: $\textrm{x=8}$ .
  Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $C_{2}$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
  Für $x=8 \;\Rightarrow\; y(8)=0{,}25\cdot 8-2=0$
  Der Punkt $B_{2}$ hat die Koordinaten $B_{2} (8 ∣ 0)$ und der Vektor $\overrightarrow{AB_2}=\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}$ .
  Drehe den Vektor $\overrightarrow{AB_2}$ um $50^{\circ}$ um den Ursprung und verlängere den Vektor mit dem Faktor $1,5$ (es gilt: $\overline{AC_2}=1{,}5\cdot\overline{AB_2}$ ). Benutze dazu die folgende Drehmatrix:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}&=&1{,}5\cdot \begin{pmatrix}\cos 50° & -\sin 50° \\ \sin 50°& \cos 50°\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}8 \\0\end{pmatrix}\\\\&=&1{,}5\cdot \begin{pmatrix}\cos 50°\cdot 8-\sin 50°\cdot 0\\ \sin 50°\cdot 8+\cos 50°\cdot 0\end{pmatrix}\\\\&=&\begin{pmatrix}1{,}5\cdot \cos 50°\cdot 8\\1{,}5\cdot \sin 50°\cdot 8\end{pmatrix}\end{array}$
  Gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}&\approx&\begin{pmatrix}7{,}71\\9{,}19\end{pmatrix}\end{array}$
  Die Koordinaten des Punktes $C_{2}$ lauten: $C_2(7{,}71|9{,}19)$ .
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $y=0{,}5\cdot(\textrm{x}+2)^{-3}\;+1 \ \ (\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ . Im Koordinatensystem ist für $x > - 2$ der Graph zu $f$ eingezeichnet.

Zeichnen Sie für $x\in\lbrack-6;\;-2{,}5\rbrack$ den Graphen zu $f$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein und geben Sie die Wertemenge von $f$ an.

geg.: $f: y=0{,}5\cdot (x+2)^{-3}+1$ ≙ nach Umformung des Exponenten $y=\dfrac{0{,}5}{(x+2)^{3}}+1$
ges.: Definitionsmenge und Wertemenge; Graph zu $f$
Ansatz und Rechnung:
Definitionsmenge: In den Funktionsterm können alle reellen Zahlen eingesetzt werden, nur darf der nenner nicht Null werden. Das würde für $x = 2$ geschehen. Daher ist $\mathbb {{D}={R}\setminus\{2}\}$
Wertebereich: der Bruch kann alle reellen Zahlen außer den Wert Null annehmen. Daher ist $\mathbb {{W}={R}\setminus\{1\}}$ .
Zeichnung mithilfe https://rechneronline.de/funktionsgraphen/
Graph zu $f$ im KOSY
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Bestimmung der Definitions- und Wertemenge sowie Zeichung des Graphen der Exponentialfunktion
Punkte $A_n(\textrm{x}\vert\;0{,}5\cdot(\textrm{x}+2)^{-3}+1)$ mit der Abszisse $x$ liegen auf dem Graphen zu $f$ mit $x\in\mathbb{R}\setminus{(-2)}$ .
Sie legen mit Punkten $B_{n}, C_{n}$ und $D_{n}$ Quadrate $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ fest.
Die x-Koordinate der Punkte $B_{n}$ ist um 2 größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ , die y-Koordinate der Punkte $B_{n}$ ist um 1 größer als die $y$ -Koordinate der Punkte $A_{n} .$ Zeichnen Sie die Quadrate $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $\textrm{x}=-3$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für
$x = 2$ in das Koordinatensystem zu 2.0.
Berechnung der Koordinaten der Eckpunkte der Quadrate:
Quadrat $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ :
$A_{n}$ (x| $0{,}5\cdot\left(x+2\right)^{-3}+1$ ) für $x = - 3$ :
$y\left(-3\right)=0{,}5\cdot\left(-3+2\right)^{-3}+1=0{,}5\cdot\left(-1\right)^{-3}+1=0{,}5\cdot\left(-1\right)+1=0{,}5$
Die x-Koordinaten der Punkte $B_{n}$ sind um zwei größer: $x = - 3 + 2 = - 1$
Die y-Koordinaten der Punkte $B_{n}$ sind um eins größer: $y = 0,5 + 1 = 1,5$
So erhalten wir die Punkte $A_1(-3|0{,}5)$ und $B_1(-1|1{,}5)$ .
Wir können nun die Punkte $A_{1}$ und $B_{1}$ in das Koordinatensystem eintragen und verbinden.
Da es sich um ein Quadrat handelt wissen wir, dass alle Seiten gleich lang sind.
Wir können folglich zwei senkrechte Linien zur Strecke [ $A_{1} B_{1}$ ] durch die Punkte $A_{1}$ und $B_{1}$ zeichnen (siehe Bild).
Anschließend nehmen wir die Strecke $[A_{1} B_{1}]$ in den Zirkel und übertragen die Länge auf die beiden Halbgeraden: ( $k_1(A_1;\ \overline{A_1B}_1$ ) und $k_2\left(B_1;\ \overline{A_1B}_1\right)$
Die Schnittpunkte der Kreise und der Senkrechten sind die Eckpunkte $C_{1}$ und $D_{1}$ .
Quadrat $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ : Wir gehen wie oben vor.
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Begründen Sie, weshalb alle Quadrate $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ den gleichen Flächeninhalt $A$ haben, und geben Sie diesen an.

Flächeninhalt A der Quadrate $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ : $A_{\text{Quadrat}}=a^2=\overline{A_nB_n}^2$
Die Länge aller Seiten der Quadrate $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ ist konstant. Damit haben alle Quadrate den gleichen Flächeninhalt.
Die Seite [ $A_{1} B_{1}$ ] können wir über das Dreieck $A_{1} F B_{1}$ (siehe rechte Abbildung) mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
Es ist $F (- 1 ∣ 0,5)$ .
$\Rightarrow\;\overline{A_1F}=-1-(-3)=2$
$\Rightarrow\;\overline{FB_1}=1{,}5-0{,}5=1$
$\overline{A_1B_1}^2=\overline{A_1F}^2+\overline{FB_1}^2$
$\overline{A_1B_1}^2=\left(2^2+1^2\right)LE=\left(4+1\right)LE=5\ LE$
$\overline{A_1B_1}=\sqrt{5}LE\left(\approx2{,}24\ LE\right)$
Entsprechend gilt: $\overline{A_nB_n}=\sqrt{5}LE\left(\approx2{,}24\ LE\right)$
Nun können wir den Flächeninhalt berechnen:
Für alle Quadrate gilt:
$A_{\text{Quadrat}}=a^2=\overline{A_1B_1}^2=\left(\sqrt{5}LE\right)^2=5FE$
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Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $C_n({x}+1\vert\;0{,}5\cdot({x}+2)^{-3}+4)$ .

geg.: $A_n (x | 0{,}5\cdot (x+2)^{-3}+1$
Nach Aufgabenstellung A 2.b ist bekannt: $x_{B_n}=x_{A_n}+2$ und $y_{B_n}=y_{A_n}+1.$
Viereck $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ ist ein Quadrat $\Rightarrow$ alle Seiten sind gleich lang und stehen aufeinander senkrecht.
ges.: Nachweis, dass $C_n (x+1 | 0{,}5\cdot(x+2)^{-3} +4)$
Ansatz und Rechnung:
Vektoraddition: $\overrightarrow {OC_n}=\overrightarrow {OA_n}+\overrightarrow {A_nB_n}+\overrightarrow {B_nC_n}$
Veranschaulichung siehe Skizze:
Quadrat $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$
Bestimmung der Vektoren:
1. $\overrightarrow {OA_n}: {A_n (x|0{,}5\cdot(x+2)}^{-3}+1)$
$\Rightarrow \overrightarrow {OA_n}=$ Spitze minus Fuß $=\begin{pmatrix} x\\ {0{,}5\cdot(x+2)}^{-3}+1 \end{pmatrix}$
2. $\overrightarrow {AB_n}:$ mit $x_{B_n}=x_{A_n}+2$ und $y_{B_n}=y_{A_n}+1$ siehe Aufgabenstellung A 2.b
$\Rightarrow \overrightarrow {A_nB_n}=\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}$
3. $\overrightarrow {B_nC_n}:$ ist orthogonal zu $\overrightarrow {A_nB_n}$ und um $- 90 °$ (d.h. nach links) gedreht
$\Rightarrow$ gemäß Links-Kippregel wird Vektor $\overrightarrow {v}=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ zu $\overrightarrow {v_1}=\begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix}$
$\Rightarrow \overrightarrow {B_nC_n}=\begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix}$
mit $\overrightarrow {OC_n}=\overrightarrow {OA_n}+\overrightarrow {A_nB_n}+\overrightarrow {B_nC_n}$
$\Rightarrow\overrightarrow {OC_n}=\begin{pmatrix} x\\ {0{,}5\cdot(x+2)}^{-3}+1 \end{pmatrix}\oplus \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}\oplus \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix}$ mit $x\in \bold {R} \neq [2]$
$\Rightarrow\overrightarrow {OC_n}=\begin{pmatrix} x+1\\ {0{,}5\cdot(x+2)}^{-3}+4 \end{pmatrix}$
$\bold{\Rightarrow C_n(x+1| 0{,}5\cdot (x+2)^{-3}+4}\qquad$ q.e.d.
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Bestimmung der Einzelvektoren und der Vektorkette

Der Punkt $C_{3}$ des Quadrats $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt auf der $y$ –Achse. Geben Sie die Koordinaten des Punktes $C_{3}$ an.

Gegeben sind Drachenvierecke $A B_{n} C D_{n}$ mit der Symmetrieachse $A C$ . Punkte $E_{n}$ sind die Mittelpunkte der Strecken $[B_{n} D_{n}]$ . Die Winkel $B_{n} C E_{n}$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in\,]0^\circ;\;90^\circ\lbrack.\\$

Es gilt: $\overline{AC}=2\ \text{cm}$ und $\overline{B_nC}=\overline{CD_n}=3\ \text{cm}.$

Die nebenstehende Zeichnung zeigt das Drachenviereck $A B_{1} C D_{1}$ für $φ = 50 °$ .

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Längen der Strecken $[B_{n} E_{n}]$ und $[A E_{n}]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:

$\overline{B_nE_n}(\varphi)=3\cdot \textrm{sin}\varphi \,\textrm{cm}$ und $\overline{AE_n}(\varphi)=(3\cdot \textrm{cos}\varphi +2) \,\textrm{cm}.$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Funktion

Die Längen der Strecken [ $B_{n} E_{n}$ ] und $\left[AE_n\right]$ :

$\left[B_nE_n\right]$ im rechtwinkligen Dreieck $B_{n} E_{n} C$ mithilfe der Trigonometrie:

$\displaystyle \sin\left(\varphi\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\displaystyle \sin\left(\varphi\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{B_nE_n}}{\overline{B_nC}}$
$\displaystyle \sin\left(\varphi\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{B_nE_n}}{3\;\text{cm}}$	$\displaystyle \cdot3\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{B_nE_n}$	$=$	$\displaystyle sin(φ)⋅3cm$
$\displaystyle \overline{B_nE_n}$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\sin\varphi\;\text{cm}$

$\left[AE_n\right]=\left[CE_n\right]+2\;\text{cm}$ .

$\left[CE_n\right]$ im rechtwinkligen Dreieck $B_{n} E_{n} C$ mithilfe der Trigonometrie:

$\displaystyle \cos\ \varphi$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\displaystyle \cos\ \varphi$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{CE_n}}{\overline{B_nC}}$
$\displaystyle \cos\ \varphi$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{CE_n}}{3\;\text{cm}}$	$\displaystyle \cdot3\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{CE_n}$	$=$	$\displaystyle \cos\varphi\cdot3\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{CE_n}$	$=$	$\displaystyle \left(3\cdot\cos\varphi\right)\;\text{cm}$

$\left[AE_n\right]=\left[CE_n\right]+2\;\text{cm}=\left(3\cdot\cos\varphi\right) \text{cm}+2\;\text{cm}=\left(3\cdot\cos\varphi+2\right)\text{cm}$

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Die Drachenvierecke $A B_{n} C D_{n}$ rotieren um die Gerade $A C$ .

Bestätigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=6\cdot\pi\cdot\textrm{sin}^2\varphi\,\textrm{cm}^3$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Funktion

Das Volumen $V_{R}$ des Rotationskörpers $A B_{n} C D_{n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ :

$V_{\text{Rotationskörpers}}=V_{\text{Kegel}\ AB_nD_n}-V_{\text{Kegel}\ CB_nD_n}$

$\displaystyle V_{\text{Kegel}\ AB_nD_n}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot r^2\cdot\pi\cdot h$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\overline{B_nE_n}^2\cdot\pi\cdot\overline{AE_n}$

$\displaystyle V_{\text{Kegel}\ CB_nD_n}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot r^2\cdot\pi\cdot h$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\overline{B_nE_n}^2\cdot\pi\cdot\overline{CE_n}$

$\displaystyle V_R$	$=$	$\displaystyle V_{\text{Kegel}\ AB_nD_n}-V_{\text{Kegel}\ CB_nD_n}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\overline{B_nE_n}^2\cdot\pi\cdot\overline{AE_n}-\frac{1}{3}\cdot\overline{B_nE_n}^2\cdot\pi\cdot\overline{CE_n}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot\overline{B_nE_n}^2\left(\overline{AE_n}-\overline{CE_n}\right)$
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot3^2\cdot\sin^2\varphi\ \left(3\cdot\cos\varphi+2-3\cdot\cos\varphi\right)\right]\;\text{cm}^3$
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot3^2\cdot\sin^2\varphi\cdot2\right]\;\text{cm}^3$
	$=$	$\displaystyle 6\cdot\pi\cdot\sin^2\varphi\ \;\text{cm}^3$

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Eine der folgenden Aussagen zu den Rotationskörpern aus 3.2 ist richtig. Kreuzen Sie diese Aussage an.

Es gibt einen Rotationskörper mit einem Volumen von $6\cdot\pi$ $\text{cm}^3$ .
Die Rotationskörper haben ein Volumen von höchstens $6$ $\text{cm}^3$ .
Für das Volumen $V$ gilt: $V(\varphi)<6\cdot\pi$ $\text{cm}^3$ .
Für das Volumen $V$ gilt: $V(\varphi)>6\cdot\pi$ $\text{cm}^3$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Funktion

Erklärungen zu den Antwortmöglichkeiten:

Es gibt einen Rotationskörper mit einem Volumen von $6\cdot\pi\ \;\text{cm}^3$ .

Wenn $V_R=6\cdot\pi\ \;\text{cm}^3$ ist, kann ich $\varphi$ berechnen, indem ich nach $\varphi$ auflöse:

$\displaystyle V_R$	$=$	$\displaystyle 6\cdot\pi\ \;\text{cm}^3$
$\displaystyle 6\cdot\pi\cdot\sin^2\varphi\ \;\text{cm}^3$	$=$	$\displaystyle 6\cdot\pi\ \;\text{cm}^3$	$\displaystyle :\ \left(6\cdot\pi\ \;\text{cm}^3\right)$
$\displaystyle \sin^2\varphi\$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle \sin \varphi$	$=$	$\displaystyle \sqrt{1}$	$\displaystyle \sin^{-1}$
$\displaystyle \varphi$	$=$	$\displaystyle 90^{\circ}$

Laut der Angabe aus 3.0 darf der Winkel nicht gleich $90^\circ$ werden: $\varphi\in\; ]0^\circ; 90^\circ[$

Folglich ist diese Aussage falsch.

Die Rotationskörper haben ein Volumen von höchstens $6\;\text{cm}³$ .

Wenn $\varphi$ sehr klein ist, ist auch $\sin (\varphi)$ sehr klein, und dann ist auch $\pi\cdot\sin^2(\varphi) <1$ . Damit ist $V(\varphi)=6\pi\sin^2(\varphi) \text{cm}^3<6\, \text{cm}^3$ . Also ist auch diese Aussage falsch.

Für das Volumen V gilt: $V\left(\varphi\right)<6\cdot\pi\ \;\text{cm}^3$ .

Diese Aussage ist richtig, da für $0<\varphi<90^\circ$ immer $0<\sin^2(\varphi)<1$ ist.

Zum Beispiel für $\varphi=50^\circ$

$V\left(50^\circ\right)=6\cdot\pi\cdot\sin^2\left(50^\circ\right)\;\text{cm}^3\approx11{,}06\;\text{cm}^3<6\cdot\pi\;\text{cm}^3$

Für das Volumen V gilt: $V\left(\varphi\right)>6\cdot\pi\ \;\text{cm}^3$

Diese Aussage ist wegen $\sin^2(\varphi)<1$ falsch.

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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle f(−1)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot (-1+2)^{-3}+4$
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot (1)^{-3}+4$	$\displaystyle -4$
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot 1+4$
	$=$	$\displaystyle 4{,}5$

Teil A

Dreieckskonstruktion

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