Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Der Punkt $A (0 | 0)$ ist gemeinsamer Eckpunkt von Dreiecken $A B_{n} C_{n}$ .
Die Punkte $B_{n} (x | 0,25 x - 2)$ liegen auf der Geraden $g$ mit $\begin{array}{l} y = 0,25 x - 2 (𝔾 = ℝ \times ℝ) \end{array}$ .
Es gilt: $∡ B_{n} A C_{n} = 50^{\circ}; A C_{n} = 1,5 \cdot A B_{n}$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie das Dreieck $A B_{1} C_{1}$ für $x = 4$ in das Koordinatensystem zu 1.0 ein.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
  Dreieckskonstruktion
  Der Punkt $A$ ist der Koordinatenursprung $A (0 | 0)$ .
  Setze $x = 4$ in die Geradengleichung ein, um die Koordinaten des Punktes $B_{1}$ zu erhalten: $y (4) = 0,25 \cdot 4 - 2 = - 1$ $\Rightarrow$ $B_{1} (4 | - 1)$ .
  Zeichne die Strecke $A B_{1}$ und trage im Punkt $A$ den Winkel $∡ B_{1} A C_{1} = 50^{\circ}$ ab.
  Weiterhin gilt: $A C_{1} = 1,5 \cdot A B_{1}$ .
  Zeichne zunächst um $A$ einen Kreis mit dem Radius $r = | A B_{1} |$ .
  Der Kreis schneidet den freien Schenkel des Winkels $∡ B_{1} A C_{1}$ im Punkt $S$ .
  Die halbe Länge der Strecke $A B_{1}$ erhältst du durch Konstruktion der Mittelsenkrechten auf der Strecke $A B_{1}$ . (Aus Gründen der Übersichtlichkeit ist diese Konstruktion hier nicht eingezeichnet.)
  Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke $A B_{1}$ ist der Punkt $M .$ Nimm die Strecke $A M$ in den Zirkel und zeichne um $S$ einen weiteren Kreis mit dem Radius $r = | A M |$ . Der Kreis schneidet den freien Schenkel des Winkels $∡ B_{1} A C_{1}$ im Punkt $C_{1}$ .
  Verbinde den Punkt $C_{1}$ mit $B_{1}$ und das Dreieck $A B_{1} C_{1}$ ist fertig.
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2. Für das Dreieck $A B_{2} C_{2}$ gilt: $x=8$ .
  Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $C_{2}$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
  Für $x = 8 \Rightarrow y (8) = 0,25 \cdot 8 - 2 = 0$
  Der Punkt $B_{2}$ hat die Koordinaten $B_{2} (8 | 0)$ und der Vektor $\vec{A B_{2}} = (\begin{array}{c} 8 \\ 0 \end{array})$ .
  Drehe den Vektor $\vec{A B_{2}}$ um $50^{\circ}$ um den Ursprung und verlängere den Vektor mit dem Faktor $1,5$ (es gilt: $A C_{2} = 1,5 \cdot A B_{2}$ ). Benutze dazu die folgende Drehmatrix:
  $\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & 1,5 \cdot (\begin{array}{cc} \cos 50 ° & - \sin 50 ° \\ \sin 50 ° & \cos 50 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 8 \\ 0 \end{array}) \\ = & 1,5 \cdot (\begin{array}{c} \cos 50 ° \cdot 8 - \sin 50 ° \cdot 0 \\ \sin 50 ° \cdot 8 + \cos 50 ° \cdot 0 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} 1,5 \cdot \cos 50 ° \cdot 8 \\ 1,5 \cdot \sin 50 ° \cdot 8 \end{array}) \end{array}$
  Gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma.
  $\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & \approx & (\begin{array}{c} 7,71 \\ 9,19 \end{array}) \end{array}$
  Die Koordinaten des Punktes $C_{2}$ lauten: $C_{2} (7,71 | 9,19)$ .
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2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $y = 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 1 (𝔾 = ℝ \times ℝ)$ . Im Koordinatensystem ist für $x > - 2$ der Graph zu $f$ eingezeichnet.
1. Zeichnen Sie für $x \in [- 6; - 2,5]$ den Graphen zu $f$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein und geben Sie die Wertemenge von $f$ an.
  
  geg.: $f : y = 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 1$ ≙ nach Umformung des Exponenten $y = \frac{0,5}{(x + 2)^{3}} + 1$
  ges.: Definitionsmenge und Wertemenge; Graph zu $f$
  Ansatz und Rechnung:
  Definitionsmenge: In den Funktionsterm können alle reellen Zahlen eingesetzt werden, nur darf der nenner nicht Null werden. Das würde für $x = 2$ geschehen. Daher ist $𝔻 = ℝ ∖ {𝟚}$
  Wertebereich: der Bruch kann alle reellen Zahlen außer den Wert Null annehmen. Daher ist $𝕎 = ℝ ∖ {𝟙}$ .
  Zeichnung mithilfe https://rechneronline.de/funktionsgraphen/
  Graph zu $f$ im KOSY
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  Bestimmung der Definitions- und Wertemenge sowie Zeichung des Graphen der Exponentialfunktion
2. Punkte $A_{n} (x | 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 1)$ mit der Abszisse $x$ liegen auf dem Graphen zu $f$ mit $x \in ℝ ∖ (- 2)$ .
  Sie legen mit Punkten $B_{n}, C_{n}$ und $D_{n}$ Quadrate $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ fest.
  Die x-Koordinate der Punkte $B_{n}$ ist um 2 größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ , die y-Koordinate der Punkte $B_{n}$ ist um 1 größer als die $y$ -Koordinate der Punkte $A_{n} .$ Zeichnen Sie die Quadrate $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 3$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für
  $x = 2$ in das Koordinatensystem zu 2.0.
  
  Berechnung der Koordinaten der Eckpunkte der Quadrate:
  Quadrat $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ :
  $A_{n}$ (x| $0,5 \cdot {(x + 2)}^{- 3} + 1$ ) für $x = - 3$ :
  $y (- 3) = 0,5 \cdot {(- 3 + 2)}^{- 3} + 1 = 0,5 \cdot {(- 1)}^{- 3} + 1 = 0,5 \cdot (- 1) + 1 = 0,5$
  Die x-Koordinaten der Punkte $B_{n}$ sind um zwei größer: $x = - 3 + 2 = - 1$
  Die y-Koordinaten der Punkte $B_{n}$ sind um eins größer: $y = 0,5 + 1 = 1,5$
  So erhalten wir die Punkte $A_{1} (- 3 | 0,5)$ und $B_{1} (- 1 | 1,5)$ .
  Wir können nun die Punkte $A_{1}$ und $B_{1}$ in das Koordinatensystem eintragen und verbinden.
  Da es sich um ein Quadrat handelt wissen wir, dass alle Seiten gleich lang sind.
  Wir können folglich zwei senkrechte Linien zur Strecke [ $A_{1} B_{1}$ ] durch die Punkte $A_{1}$ und $B_{1}$ zeichnen (siehe Bild).
  Anschließend nehmen wir die Strecke $[A_{1} B_{1}]$ in den Zirkel und übertragen die Länge auf die beiden Halbgeraden: ( $k_{1} (A_{1}; {A_{1} B}_{1}$ ) und $k_{2} (B_{1}; {A_{1} B}_{1})$
  Die Schnittpunkte der Kreise und der Senkrechten sind die Eckpunkte $C_{1}$ und $D_{1}$ .
  Quadrat $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ : Wir gehen wie oben vor.
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3. Begründen Sie, weshalb alle Quadrate $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ den gleichen Flächeninhalt $A$ haben, und geben Sie diesen an.
  
  Flächeninhalt A der Quadrate $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ : $A_{Quadrat} = a^{2} = {A_{n} B_{n}}^{2}$
  Die Länge aller Seiten der Quadrate $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ ist konstant. Damit haben alle Quadrate den gleichen Flächeninhalt.
  Die Seite [ $A_{1} B_{1}$ ] können wir über das Dreieck $A_{1} F B_{1}$ (siehe rechte Abbildung) mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
  Es ist $F (- 1 | 0,5)$ .
  $\Rightarrow A_{1} F = - 1 - (- 3) = 2$
  $\Rightarrow F B_{1} = 1,5 - 0,5 = 1$
  ${A_{1} B_{1}}^{2} = {A_{1} F}^{2} + {F B_{1}}^{2}$
  ${A_{1} B_{1}}^{2} = (2^{2} + 1^{2}) L E = (4 + 1) L E = 5 L E$
  $A_{1} B_{1} = \sqrt{5} L E (\approx 2,24 L E)$
  Entsprechend gilt: $A_{n} B_{n} = \sqrt{5} L E (\approx 2,24 L E)$
  Nun können wir den Flächeninhalt berechnen:
  Für alle Quadrate gilt:
  $A_{Quadrat} = a^{2} = {A_{1} B_{1}}^{2} = {(\sqrt{5} L E)}^{2} = 5 F E$
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4. Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $C_{n} (x + 1 | 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 4)$ .
  
  geg.: $A_{n} (x | 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 1$
  Nach Aufgabenstellung A 2.b ist bekannt: $x_{B_{n}} = x_{A_{n}} + 2$ und $y_{B_{n}} = y_{A_{n}} + 1.$
  Viereck $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ ist ein Quadrat $\Rightarrow$ alle Seiten sind gleich lang und stehen aufeinander senkrecht.
  ges.: Nachweis, dass $C_{n} (x + 1 | 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 4)$
  Ansatz und Rechnung:
  Vektoraddition: $\vec{O C_{n}} = \vec{O A_{n}} + \vec{A_{n} B_{n}} + \vec{B_{n} C_{n}}$
  Veranschaulichung siehe Skizze:
  Quadrat $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$
  Bestimmung der Vektoren:
  1. $\vec{O A_{n}} : {A_{n} (x | 0,5 \cdot (x + 2)}^{- 3} + 1)$
  $\Rightarrow \vec{O A_{n}} =$ Spitze minus Fuß $= (\begin{array}{c} x \\ {0,5 \cdot (x + 2)}^{- 3} + 1 \end{array})$
  2. $\vec{A B_{n}} :$ mit $x_{B_{n}} = x_{A_{n}} + 2$ und $y_{B_{n}} = y_{A_{n}} + 1$ siehe Aufgabenstellung A 2.b
  $\Rightarrow \vec{A_{n} B_{n}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array})$
  3. $\vec{B_{n} C_{n}} :$ ist orthogonal zu $\vec{A_{n} B_{n}}$ und um $- 90 °$ (d.h. nach links) gedreht
  $\Rightarrow$ gemäß Links-Kippregel wird Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ zu $\vec{v_{1}} = (\begin{array}{c} - y \\ x \end{array})$
  $\Rightarrow \vec{B_{n} C_{n}} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array})$
  mit $\vec{O C_{n}} = \vec{O A_{n}} + \vec{A_{n} B_{n}} + \vec{B_{n} C_{n}}$
  $\Rightarrow \vec{O C_{n}} = (\begin{array}{c} x \\ {0,5 \cdot (x + 2)}^{- 3} + 1 \end{array}) \oplus︎ (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) \oplus︎ (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array})$ mit $x \in 𝐑 \neq [2]$
  $\Rightarrow \vec{O C_{n}} = (\begin{array}{c} x + 1 \\ {0,5 \cdot (x + 2)}^{- 3} + 4 \end{array})$
  $\Rightarrow 𝐂_{𝐧} (𝐱 + 𝟏 | 𝟎,𝟓 \cdot (𝐱 + 𝟐)^{- 𝟑} + 𝟒$ q.e.d.
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  Bestimmung der Einzelvektoren und der Vektorkette
5. Der Punkt $C_{3}$ des Quadrats $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt auf der $y$ –Achse. Geben Sie die Koordinaten des Punktes $C_{3}$ an.
  
  Koordinaten des Punktes $C_{3}$ des Quadrates $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ für $x = 0$ :
  Wir kennen die Koordinaten von $C_{n} (x + 1 | 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 4)$ .
  Die x-Koordinate wird 0, wenn ich für $x = - 1$ einsetze $(- 1 + 1 = 0)$ :
  $f (- 1)$ $=$ $0,5 \cdot (- 1 + 2)^{- 3} + 4$
  $=$ $0,5 \cdot (1)^{- 3} + 4$ $- 4$
  $=$ $0,5 \cdot 1 + 4$
  $=$ $4,5$
  $C_{3} (1 | 4,5)$
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Gegeben sind Drachenvierecke $A B_{n} C D_{n}$ mit der Symmetrieachse $A C$ . Punkte $E_{n}$ sind die Mittelpunkte der Strecken $[B_{n} D_{n}]$ . Die Winkel $B_{n} C E_{n}$ haben das Maß $φ$ mit $\begin{array}{l} φ \in] 0^{\circ}; 90^{\circ} [. \end{array}$

Es gilt: $A C = 2 cm$ und $B_{n} C = C D_{n} = 3 cm .$

Die nebenstehende Zeichnung zeigt das Drachenviereck $A B_{1} C D_{1}$ für $φ = 50 °$ .

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Längen der Strecken $[B_{n} E_{n}]$ und $[A E_{n}]$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt:
$B_{n} E_{n} (φ) = 3 \cdot sin φ cm$ und $A E_{n} (φ) = (3 \cdot cos φ + 2) cm .$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Funktion
Die Längen der Strecken [ $B_{n} E_{n}$ ] und $[A E_{n}]$ :
$[B_{n} E_{n}]$ im rechtwinkligen Dreieck $B_{n} E_{n} C$ mithilfe der Trigonometrie:
$\sin (φ)$ $=$ $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$\sin (φ)$ $=$ $\frac{B_{n} E_{n}}{B_{n} C}$
$\sin (φ)$ $=$ $\frac{B_{n} E_{n}}{3 cm}$ $\cdot 3 cm$
$B_{n} E_{n}$ $=$ $s i n (φ) \cdot 3 c m$
$B_{n} E_{n}$ $=$ $3 \cdot \sin φ cm$
$[A E_{n}] = [C E_{n}] + 2 cm$ .
$[C E_{n}]$ im rechtwinkligen Dreieck $B_{n} E_{n} C$ mithilfe der Trigonometrie:
$\cos φ$ $=$ $\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
$\cos φ$ $=$ $\frac{C E_{n}}{B_{n} C}$
$\cos φ$ $=$ $\frac{C E_{n}}{3 cm}$ $\cdot 3 cm$
$C E_{n}$ $=$ $\cos φ \cdot 3 cm$
$C E_{n}$ $=$ $(3 \cdot \cos φ) cm$
$[A E_{n}] = [C E_{n}] + 2 cm = (3 \cdot \cos φ) cm + 2 cm = (3 \cdot \cos φ + 2) cm$
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Die Drachenvierecke $A B_{n} C D_{n}$ rotieren um die Gerade $A C$ .

Bestätigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $φ$ gilt: $V (φ) = 6 \cdot π \cdot {sin}^{2} φ {cm}^{3}$ .

Eine der folgenden Aussagen zu den Rotationskörpern aus 3.2 ist richtig. Kreuzen Sie diese Aussage an.
- Es gibt einen Rotationskörper mit einem Volumen von $6 \cdot π$ ${cm}^{3}$ .
- Die Rotationskörper haben ein Volumen von höchstens $6$ ${cm}^{3}$ .
- Für das Volumen $V$ gilt: $V (φ) < 6 \cdot π$ ${cm}^{3}$ .
- Für das Volumen $V$ gilt: $V (φ) > 6 \cdot π$ ${cm}^{3}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Funktion
Erklärungen zu den Antwortmöglichkeiten:
Es gibt einen Rotationskörper mit einem Volumen von $6 \cdot π {cm}^{3}$ .
Wenn $V_{R} = 6 \cdot π {cm}^{3}$ ist, kann ich $φ$ berechnen, indem ich nach $φ$ auflöse:
$V_{R}$ $=$ $6 \cdot π {cm}^{3}$
$6 \cdot π \cdot \sin^{2} φ {cm}^{3}$ $=$ $6 \cdot π {cm}^{3}$ $: (6 \cdot π {cm}^{3})$
$\sin^{2} φ$ $=$ $1$ $\sqrt{}$
$\sin φ$ $=$ $\sqrt{1}$ $\sin^{- 1}$
$φ$ $=$ $90^{\circ}$
Laut der Angabe aus 3.0 darf der Winkel nicht gleich $90^{\circ}$ werden: $φ \in] 0^{\circ}; 90^{\circ} [$
Folglich ist diese Aussage falsch.
Die Rotationskörper haben ein Volumen von höchstens $6 {cm}^{3}$ .
Wenn $φ$ sehr klein ist, ist auch $\sin (φ)$ sehr klein, und dann ist auch $π \cdot \sin^{2} (φ) < 1$ . Damit ist $V (φ) = 6 π \sin^{2} (φ) {cm}^{3} < 6 {cm}^{3}$ . Also ist auch diese Aussage falsch.
Für das Volumen V gilt: $V (φ) < 6 \cdot π {cm}^{3}$ .
Diese Aussage ist richtig, da für $0 < φ < 90^{\circ}$ immer $0 < \sin^{2} (φ) < 1$ ist.
Zum Beispiel für $φ = 50^{\circ}$
$V (50^{\circ}) = 6 \cdot π \cdot \sin^{2} (50^{\circ}) {cm}^{3} \approx 11,06 {cm}^{3} < 6 \cdot π {cm}^{3}$
Für das Volumen V gilt: $V (φ) > 6 \cdot π {cm}^{3}$
Diese Aussage ist wegen $\sin^{2} (φ) < 1$ falsch.
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$V_{Kegel A B_{n} D_{n}}$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot r^{2} \cdot π \cdot h$
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot {B_{n} E_{n}}^{2} \cdot π \cdot A E_{n}$

$V_{Kegel C B_{n} D_{n}}$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot r^{2} \cdot π \cdot h$
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot {B_{n} E_{n}}^{2} \cdot π \cdot C E_{n}$

$f (- 1)$	$=$	$0,5 \cdot (- 1 + 2)^{- 3} + 4$
	$=$	$0,5 \cdot (1)^{- 3} + 4$	$- 4$
	$=$	$0,5 \cdot 1 + 4$
	$=$	$4,5$

$\sin (φ)$	$=$	$\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$\sin (φ)$	$=$	$\frac{B_{n} E_{n}}{B_{n} C}$
$\sin (φ)$	$=$	$\frac{B_{n} E_{n}}{3 cm}$	$\cdot 3 cm$
$B_{n} E_{n}$	$=$	$s i n (φ) \cdot 3 c m$
$B_{n} E_{n}$	$=$	$3 \cdot \sin φ cm$

$\cos φ$	$=$	$\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
$\cos φ$	$=$	$\frac{C E_{n}}{B_{n} C}$
$\cos φ$	$=$	$\frac{C E_{n}}{3 cm}$	$\cdot 3 cm$
$C E_{n}$	$=$	$\cos φ \cdot 3 cm$
$C E_{n}$	$=$	$(3 \cdot \cos φ) cm$

$V_{R}$	$=$	$V_{Kegel A B_{n} D_{n}} - V_{Kegel C B_{n} D_{n}}$
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot {B_{n} E_{n}}^{2} \cdot π \cdot A E_{n} - \frac{1}{3} \cdot {B_{n} E_{n}}^{2} \cdot π \cdot C E_{n}$
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot π \cdot {B_{n} E_{n}}^{2} (A E_{n} - C E_{n})$
	$=$	$[\frac{1}{3} \cdot π \cdot 3^{2} \cdot \sin^{2} φ (3 \cdot \cos φ + 2 - 3 \cdot \cos φ)] {cm}^{3}$
	$=$	$[\frac{1}{3} \cdot π \cdot 3^{2} \cdot \sin^{2} φ \cdot 2] {cm}^{3}$
	$=$	$6 \cdot π \cdot \sin^{2} φ {cm}^{3}$

$V_{R}$	$=$	$6 \cdot π {cm}^{3}$
$6 \cdot π \cdot \sin^{2} φ {cm}^{3}$	$=$	$6 \cdot π {cm}^{3}$	$: (6 \cdot π {cm}^{3})$
$\sin^{2} φ$	$=$	$1$	$\sqrt{}$
$\sin φ$	$=$	$\sqrt{1}$	$\sin^{- 1}$
$φ$	$=$	$90^{\circ}$

Teil A

Dreieckskonstruktion

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Erklärungen zu den Antwortmöglichkeiten:

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