Teil A - lernen mit Serlo!

Gegeben sind Drachenvierecke $AB_nCD_n$ mit der Symmetrieachse $AC$ . Punkte $E_n$ sind die Mittelpunkte der Strecken $[B_nD_n]$ . Die Winkel $B_nCE_n$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in\,]0^\circ;\;90^\circ\lbrack.\\$

Es gilt: $\overline{AC}=2\ \text{cm}$ und $\overline{B_nC}=\overline{CD_n}=3\ \text{cm}.$

Die nebenstehende Zeichnung zeigt das Drachenviereck $AB_1CD_1$ für $φ=50°$ .

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Längen der Strecken $[B_nE_n]$ und $[AE_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:

$\overline{B_nE_n}(\varphi)=3\cdot \textrm{sin}\varphi \,\textrm{cm}$ und $\overline{AE_n}(\varphi)=(3\cdot \textrm{cos}\varphi +2) \,\textrm{cm}.$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Funktion

Die Längen der Strecken [ $B_nE_n$ ] und $\left[AE_n\right]$ :

$\left[B_nE_n\right]$ im rechtwinkligen Dreieck $B_nE_nC$ mithilfe der Trigonometrie:

$\displaystyle \sin\left(\varphi\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\displaystyle \sin\left(\varphi\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{B_nE_n}}{\overline{B_nC}}$
$\displaystyle \sin\left(\varphi\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{B_nE_n}}{3\;\text{cm}}$	$\displaystyle \cdot3\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{B_nE_n}$	$=$	$\displaystyle sin(φ)⋅3cm$
$\displaystyle \overline{B_nE_n}$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\sin\varphi\;\text{cm}$

$\left[AE_n\right]=\left[CE_n\right]+2\;\text{cm}$ .

$\left[CE_n\right]$ im rechtwinkligen Dreieck $B_nE_nC$ mithilfe der Trigonometrie:

$\displaystyle \cos\ \varphi$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\displaystyle \cos\ \varphi$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{CE_n}}{\overline{B_nC}}$
$\displaystyle \cos\ \varphi$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{CE_n}}{3\;\text{cm}}$	$\displaystyle \cdot3\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{CE_n}$	$=$	$\displaystyle \cos\varphi\cdot3\;\text{cm}$
$\displaystyle \overline{CE_n}$	$=$	$\displaystyle \left(3\cdot\cos\varphi\right)\;\text{cm}$

$\left[AE_n\right]=\left[CE_n\right]+2\;\text{cm}=\left(3\cdot\cos\varphi\right) \text{cm}+2\;\text{cm}=\left(3\cdot\cos\varphi+2\right)\text{cm}$

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Die Drachenvierecke $AB_nCD_n$ rotieren um die Gerade $AC$ .

Bestätigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=6\cdot\pi\cdot\textrm{sin}^2\varphi\,\textrm{cm}^3$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Funktion

Das Volumen $V_R$ des Rotationskörpers $AB_nCD_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$ :

$V_{\text{Rotationskörpers}}=V_{\text{Kegel}\ AB_nD_n}-V_{\text{Kegel}\ CB_nD_n}$

$\displaystyle V_{\text{Kegel}\ AB_nD_n}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot r^2\cdot\pi\cdot h$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\overline{B_nE_n}^2\cdot\pi\cdot\overline{AE_n}$

$\displaystyle V_{\text{Kegel}\ CB_nD_n}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot r^2\cdot\pi\cdot h$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\overline{B_nE_n}^2\cdot\pi\cdot\overline{CE_n}$

$\displaystyle V_R$	$=$	$\displaystyle V_{\text{Kegel}\ AB_nD_n}-V_{\text{Kegel}\ CB_nD_n}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\overline{B_nE_n}^2\cdot\pi\cdot\overline{AE_n}-\frac{1}{3}\cdot\overline{B_nE_n}^2\cdot\pi\cdot\overline{CE_n}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot\overline{B_nE_n}^2\left(\overline{AE_n}-\overline{CE_n}\right)$
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot3^2\cdot\sin^2\varphi\ \left(3\cdot\cos\varphi+2-3\cdot\cos\varphi\right)\right]\;\text{cm}^3$
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot3^2\cdot\sin^2\varphi\cdot2\right]\;\text{cm}^3$
	$=$	$\displaystyle 6\cdot\pi\cdot\sin^2\varphi\ \;\text{cm}^3$

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Eine der folgenden Aussagen zu den Rotationskörpern aus 3.2 ist richtig. Kreuzen Sie diese Aussage an.

Es gibt einen Rotationskörper mit einem Volumen von $6\cdot\pi$ $\text{cm}^3$ .
Die Rotationskörper haben ein Volumen von höchstens $6$ $\text{cm}^3$ .
Für das Volumen $V$ gilt: $V(\varphi)<6\cdot\pi$ $\text{cm}^3$ .
Für das Volumen $V$ gilt: $V(\varphi)>6\cdot\pi$ $\text{cm}^3$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Funktion

Erklärungen zu den Antwortmöglichkeiten:

Es gibt einen Rotationskörper mit einem Volumen von $6\cdot\pi\ \;\text{cm}^3$ .

Wenn $V_R=6\cdot\pi\ \;\text{cm}^3$ ist, kann ich $\varphi$ berechnen, indem ich nach $\varphi$ auflöse:

$\displaystyle V_R$	$=$	$\displaystyle 6\cdot\pi\ \;\text{cm}^3$
$\displaystyle 6\cdot\pi\cdot\sin^2\varphi\ \;\text{cm}^3$	$=$	$\displaystyle 6\cdot\pi\ \;\text{cm}^3$	$\displaystyle :\ \left(6\cdot\pi\ \;\text{cm}^3\right)$
$\displaystyle \sin^2\varphi\$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle \sin \varphi$	$=$	$\displaystyle \sqrt{1}$	$\displaystyle \sin^{-1}$
$\displaystyle \varphi$	$=$	$\displaystyle 90^{\circ}$

Laut der Angabe aus 3.0 darf der Winkel nicht gleich $90^\circ$ werden: $\varphi\in\; ]0^\circ; 90^\circ[$

Folglich ist diese Aussage falsch.

Die Rotationskörper haben ein Volumen von höchstens $6\;\text{cm}³$ .

Wenn $\varphi$ sehr klein ist, ist auch $\sin (\varphi)$ sehr klein, und dann ist auch $\pi\cdot\sin^2(\varphi) <1$ . Damit ist $V(\varphi)=6\pi\sin^2(\varphi) \text{cm}^3<6\, \text{cm}^3$ . Also ist auch diese Aussage falsch.

Für das Volumen V gilt: $V\left(\varphi\right)<6\cdot\pi\ \;\text{cm}^3$ .

Diese Aussage ist richtig, da für $0<\varphi<90^\circ$ immer $0<\sin^2(\varphi)<1$ ist.

Zum Beispiel für $\varphi=50^\circ$

$V\left(50^\circ\right)=6\cdot\pi\cdot\sin^2\left(50^\circ\right)\;\text{cm}^3\approx11{,}06\;\text{cm}^3<6\cdot\pi\;\text{cm}^3$

Für das Volumen V gilt: $V\left(\varphi\right)>6\cdot\pi\ \;\text{cm}^3$

Diese Aussage ist wegen $\sin^2(\varphi)<1$ falsch.

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