Teil B - lernen mit Serlo!

Die Parabel $p$ mit dem Scheitel $S (4 | - 2)$ hat eine Gleichung der Form $y = 0,25 x^{2} + b x + c$ mit $𝔾 = ℝ \times ℝ$ und $b, c \in ℝ$ .

Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y = 0,5 x + 2$ mit $𝔾 = ℝ \times ℝ$ .

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Parabel $p$ die Gleichung $y = 0,25 x^{2} - 2 x + 2$ hat.
Zeichnen Sie sodann die Parabel $p$ sowie die Gerade $g$ für $x \in [- 1; 11]$ in ein Koordinatensystem ein.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 1 \leq x \leq 11; - 3 \leq y \leq 11$

Lösung zu a
$y = 0,25 x^{2} + b x + c$
Scheitelpunkt $S (4 | - 2)$
Scheitelpunktform $y = a (x - x_{S})^{2} + y_{S}$
Normalform $y = a x^{2} + b x + c$
Vergleiche die gegebene Parabelgleichung mit der allgemeinen Normalform um $a$ zu bestimmen. Setze dann $a$ und $S$ in die Scheitelpunktform ein und vereinfache.
$y = 0,25 (x - 4)^{2} - 2$
$y = 0,25 (x^{2} - 8 x + 16) - 2$
$y = 0,25 x^{2} - 2 x + 4 - 2$
$y = 0,25 x^{2} - 2 x + 2$
Zeichne die Parabel und Gerade (z.B. mit Hilfe einer Wertetabelle aus dem Taschenrechner).
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Die Punkte $A (0 | 2)$ und $C (10 | 7)$ sind die Schnittpunkte der Parabel $p$ mit der Geraden $g$ . Sie sind zusammen mit Punkten $B_{n} (x | 0,25 x^{2} - 2 x + 2)$ auf der Parabel $p$ Eckpunkte von Drachenvierecken $A B_{n} C D_{n}$ mit der Geraden $g$ als Symmetrieachse.
Zeichnen Sie das Drachenviereck $A B_{1} C D_{1}$ für $x = 6$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein und geben Sie das Intervall für $x$ an, für das es Drachenvierecke $A B_{n} C D_{n}$ gibt.

Lösung zu b
$A (0 | 2)$ und $C (10 | 7)$ sind die Schnittpunkte von $p$ und $g$ .
$B_{n} (x | 0,25 x^{2} - 2 x + 2)$ liegen auf der Parabel $p$
$A B_{n} C D_{n}$ bilden Drachenvierecke mit $g$ als Symmetrieachse
Berechne $B_{1}$ indem du $x = 6$ in $B_{n}$ einsetzt:
$B_{1} (6 | 0,25 \cdot 6^{2} - 2 \cdot 6 + 2)$
$B_{1} (6 | - 1)$
Drachenvierecke gibt es, solange $B$ zwischen $A$ und $C$ liegt.
$x \in] 0; 10 [$
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Zeigen Sie rechnerisch, dass das Drachenviereck $A B_{1} C D_{1}$ bei $B_{1}$ rechtwinklig ist.

Lösung zu c
$A (0 | 2)$ , $B_{1} (6 | - 1)$ , $C (10 | 7)$
Um zu zeigen, dass das Dreieck $A B_{1} C$ rechtwinklig ist, zeige, dass der Satz des Pythagoras erfüllt ist.
Berechne dafür zunächst die Seitenlängen $A B_{1}$ , $B_{1} C$ und $C A$ .
$A B_{1} = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}$
$A B_{1} = \sqrt{6^{2} + (- 3)^{2}} = \sqrt{45}$
$B_{1} C = \sqrt{(x_{C} - x_{B})^{2} + (y_{C} - y_{B})^{2}}$
$B_{1} C = \sqrt{4^{2} + 8^{2}} = \sqrt{80}$
$C A = \sqrt{(x_{A} - x_{C})^{2} + (y_{A} - y_{C})^{2}}$
$C A = \sqrt{(- 10)^{2} + (- 5)^{2}} = \sqrt{125}$
Überprüfe mit diesen Streckenlängen, ob der Satz des Pythagoras erfüllt ist.
$C A$ sollte dabei die Hypotenuse sein.
${C A}^{2} = {A B_{1}}^{2} + {B_{1} C}^{2}$
$125 = 45 + 80$
Der Satz des Pythagoras ist erfüllt, damit ist das Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei $B_{1}$ .
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Unter den Drachenvierecken $A B_{n} C D_{n}$ gibt es die Drachenvierecke $A B_{2} C D_{2}$ und $A B_{3} C D_{3}$ , bei denen die Eckpunkte $B_{2}$ und $B_{3}$ auf der x-Achse liegen.
Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte $B_{2}$ und $B_{3}$ .

Lösung zu d
$B_{n} (x | 0,25 x^{2} - 2 x + 2)$
Die Punkte $B_{n}$ liegen auf der Parabel $p$ . Die Punkte $B_{2}$ und $B_{3}$ liegen auf der $x$ -Achse und sind deshalb die Nullstellen von $p$ . Um die Nullstellen zu berechnen, setze $y = 0$ in der Parabelgleichung und löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel.
$0 = 0,25 x^{2} - 2 x + 2$
$x_{2 / 3} = 4 \pm 2 \sqrt{2}$
$x_{2} = 1,17$
$x_{3} = 6,83$
$\Rightarrow B_{2} (1,17 | 0), B_{3} (6,83 | 0)$
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Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt $A$ der Drachenvierecke $A B_{n} C D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ gilt:
$A (x) = (- 2,5 x^{2} + 25 x) FE$

Lösung zu e
Gegeben sind die folgenden Punkte des Drachenvierecks:
$A (0 | 2)$
$B (x | 0,25 x^{2} - 2 x + 2)$
$C (10 | 7)$
Das Drachenviereck kannst du in die zwei Dreiecke $A B C$ und $A C D$ aufteilen. Die Flächeninhalte der beiden Dreiecke sind aufgrund der Symmetrie vom Drachenviereck gleich.
Die Fläche vom Dreieck $A B C$ kannst du über die Determinante berechnen:
$A_{A B C} = \frac{1}{2} | \vec{B A} \vec{B C} |$
Um auf die Fläche des Drachenvierecks zu kommen, nehmen wir nun diese Fläche doppelt und kommen auf:
$A_{A B C D} = | \vec{B A} \vec{B C} |$
Berechne dazu die beiden Vektoren.
$\vec{B A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} x \\ 0,25 x^{2} - 2 x + 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - x \\ - 0,25 x^{2} + 2 x \end{array})$
$\vec{B C} = (\begin{array}{c} 10 \\ 7 \end{array}) - (\begin{array}{c} x \\ 0,25 x^{2} - 2 x + 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 10 - x \\ - 0,25 x^{2} + 2 x + 5 \end{array})$
Anschließend kannst du die Determinante bestimmen.
$A_{A B C D} = | \vec{B A} \vec{B C} |$
$A_{A B C D} (x) = | \begin{array}{c} - x \\ - 0,25 x^{2} + 2 x \end{array} \begin{array}{c} 10 - x \\ - 0,25 x^{2} + 2 x + 5 \end{array} |$
$A_{A B C D} (x) = - x \cdot (- 0,25 x^{2} + 2 x + 5) - (10 - x) (- 0,25 x^{2} + 2 x)$
$A_{A B C D} (x) = 0,25 x^{3} - 2 x^{2} - 5 x - (- 2,5 x^{2} + 20 x + 0,25 x^{3} - 2 x^{2})$
$A_{A B C D} (x) = 0,25 x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 2,5 x^{2} - 20 x - 0,25 x^{3} + 2 x^{2}$
$A_{A B C D} (x) = - 5 x + 2,5 x^{2} - 20 x$
$A (x) = 2,5 x^{2} - 25 x FE$
Der Flächeninhalt des Drachenvierecks in Abhängigkeit von $x$ ist $A (x) = 2,5 x^{2} - 25 x$ .
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Unter den Drachenvierecken $A B_{n} C D_{n}$ gibt es die Raute $A B_{4} C D_{4}$ .
Zeichnen Sie die Raute $A B_{4} C D_{4}$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.
Ermitteln Sie sodann rechnerisch die Gleichung der Geraden $M B_{4}$ .
$[$ Teilergebnis: $M (5 | 4,5)$ $]$

Lösung zu f
$A (0 | 2)$ , $C (10 | 7)$
$g (x) = 0,5 x + 2$
Die Gerade $M B_{4}$ ist senkrecht zu $g$ und verläuft durch den Punkt $M$ . Berechne zunächst die Koordinaten von $M$ .
$M$ liegt in der Mitte zwischen $A$ und $C$
$\Rightarrow x_{M} = \frac{x_{A} + x_{C}}{2} = \frac{0 + 10}{2} = 5$
$\Rightarrow y_{M} = \frac{y_{A} + y_{C}}{2} = \frac{2 + 7}{2} = 4,5$
$\Rightarrow M (5 | 4,5)$
Berechne nun aus dem Wissen, dass beide Geraden rechtwinklig zueinander sind, die Steigung von $M B_{4}$ .
Für rechtwinklige Geraden mit Steigungen $m$ und $m^{'}$ gilt: $m \cdot m^{'} = - 1$ .
Damit ist die Steigung
$m_{M B_{4}} = \frac{- 1}{m_{g}} = \frac{- 1}{0,5} = - 2$
Setze jetzt die Steigung $m_{M B_{4}}$ und $M$ in die allgemeine Geradengleichung $y = m x + b$ ein und bestimme den fehlenden Parameter $b$ .
$\begin{array}{rcll} y & = & m x + b \\ 4,5 & = & - 2 \cdot 5 + b \\ 4,5 & = & - 10 + b & | + 10 \\ 14,5 & = & b \end{array}$
$\Rightarrow M B_{4} : y = - 2 x + 14,5$
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