Lösung zu a

$y = 0{,}25 x^2 + bx +c$

Scheitelpunkt $S(4|-2)$

Scheitelpunktform $y = a(x-x_S)^2+y_S$

Normalform $y = a x^2 + bx +c$

Vergleiche die gegebene Parabelgleichung mit der allgemeinen Normalform um $a$ zu bestimmen. Setze dann $a$ und $S$ in die Scheitelpunktform ein und vereinfache.

$y = 0{,}25(x-4)^2 - 2$

$y = 0{,}25(x^2-8x+16) - 2$

$y = 0{,}25x^2 - 2x + 4 - 2$

$y = 0{,}25x^2 - 2x + 2$

Zeichne die Parabel und Gerade (z.B. mit Hilfe einer Wertetabelle aus dem Taschenrechner).

Lösung zu b

$A(0|2)$ und $C(10|7)$ sind die Schnittpunkte von $p$ und $g$.

$B_n(x|0{,}25x^2-2x+2)$ liegen auf der Parabel $p$

$AB_nCD_n$ bilden Drachenvierecke mit $g$ als Symmetrieachse

Berechne $B_1$ indem du $x=6$ in $B_n$ einsetzt:

$B_1(6|0{,}25\cdot 6^2 - 2 \cdot 6 +2)$

$B_1(6|-1)$

Drachenvierecke gibt es, solange $B$ zwischen $A$ und $C$ liegt.

$x \in ]0;10[$

Lösung zu c

$A(0|2)$, $B_1(6|-1)$, $C(10|7)$

Um zu zeigen, dass das Dreieck $AB_1C$ rechtwinklig ist, zeige, dass der Satz des Pythagoras erfüllt ist.

Berechne dafür zunächst die Seitenlängen $\overline{AB_1}$, $\overline{B_1C}$ und $\overline{CA}$.

$\overline{AB_1} = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

$\overline{AB_1} = \sqrt{6^2+(-3)^2} = \sqrt{45}$

$\overline{B_1C} = \sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}$

$\overline{B_1C} = \sqrt{4^2+8^2} = \sqrt{80}$

$\overline{CA} = \sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2}$

$\overline{CA} = \sqrt{(-10)^2 + (-5)^2} = \sqrt{125}$

Überprüfe mit diesen Streckenlängen, ob der Satz des Pythagoras erfüllt ist.

$\overline{CA}$ sollte dabei die Hypotenuse sein.

$\overline{CA}^2 = \overline{AB_1}^2 + \overline{B_1C}^2$

$125 = 45 + 80$

Der Satz des Pythagoras ist erfüllt, damit ist das Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei $B_1$.

Lösung zu d

$B_n(x|0{,}25x^2-2x+2)$

Die Punkte $B_n$ liegen auf der Parabel $p$. Die Punkte $B_2$ und $B_3$ liegen auf der $x$-Achse und sind deshalb die Nullstellen von $p$. Um die Nullstellen zu berechnen, setze $y=0$ in der Parabelgleichung und löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel.

$0 = 0{,}25 x^2 - 2x +2$

$x_{2/3} = 4 \pm 2\sqrt{2}$

$x_2 = 1{,}17$

$x_3 = 6{,}83$

$\Rightarrow B_2(1{,}17|0), B_3(6{,}83|0)$

Lösung zu e

Gegeben sind die folgenden Punkte des Drachenvierecks:

$A(0|2)$

$B(x|0{,}25x^2-2x+2)$

$C(10|7)$

Das Drachenviereck kannst du in die zwei Dreiecke $ABC$ und $ACD$ aufteilen. Die Flächeninhalte der beiden Dreiecke sind aufgrund der Symmetrie vom Drachenviereck gleich.

Die Fläche vom Dreieck $ABC$ kannst du über die Determinante berechnen:

$A_{ABC} =\dfrac{1}{2}\left| \overrightarrow{BA}\;\; \overrightarrow{BC}\right|$

Um auf die Fläche des Drachenvierecks zu kommen, nehmen wir nun diese Fläche doppelt und kommen auf:

$A_{ABCD} = \left| \overrightarrow{BA}\;\; \overrightarrow{BC}\right|$

Berechne dazu die beiden Vektoren.

$\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{BA} = \left( \begin{array}{c}0\\2\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c}x\\0{,}25x^2-2x+2\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}-x\\-0{,}25x^2+2x\end{array} \right)$

$\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{BC} = \left( \begin{array}{c}10\\7\end{array} \right)- \left(\begin{array}{c}x\\0{,}25x^2-2x+2\end{array} \right) =\left( \begin{array}{c}10-x\\-0{,}25x^2+2x+5 \end{array} \right)$

Anschließend kannst du die Determinante bestimmen.

$A_{ABCD} =\left| \overrightarrow{BA}\;\; \overrightarrow{BC}\right|$

$\def\arraystretch{1.25} A_{ABCD}(x)= \left| \begin{array}{c}-x\\-0{,}25x^2+2x\end{array}\; \; \begin{array}{c}10-x\\-0{,}25x^2+2x+5 \end{array}\right|$

$A_{ABCD}(x) =-x\cdot (-0{,}25x^2+2x+5)-(10-x)(-0{,}25x^2+2x)$

$A_{ABCD}(x)=0{,}25x^3-2x^2-5x-(-2{,}5x^2+20x+0{,}25x^3-2x^2)$

$A_{ABCD}(x)=0{,}25x^3-2x^2-5x+2{,}5x^2-20x-0{,}25x^3+2x^2$

$A_{ABCD}(x)=-5x+2{,}5x^2-20x$

$\underline{\underline{A(x)=2{,}5x^2-25x\;\text{FE}}}$

Der Flächeninhalt des Drachenvierecks in Abhängigkeit von $x$ ist $A(x)=2{,}5x^2-25x$.

Lösung zu f

$A(0|2)$, $C(10|7)$

$g(x) = 0{,}5x + 2$

Die Gerade $MB_4$ ist senkrecht zu $g$ und verläuft durch den Punkt $M$. Berechne zunächst die Koordinaten von $M$.

$M$ liegt in der Mitte zwischen $A$ und $C$

$\Rightarrow x_M = \frac{x_A+x_C}{2} = \frac{0+10}{2} = 5$

$\Rightarrow y_M = \frac{y_A+y_C}{2} = \frac{2+7}{2} = 4{,}5$

$\Rightarrow M(5|4{,}5)$

Berechne nun aus dem Wissen, dass beide Geraden rechtwinklig zueinander sind, die Steigung von $MB_4$.

Für rechtwinklige Geraden mit Steigungen $m$ und $m'$ gilt: $m \cdot m' = -1$.

Damit ist die Steigung

$m_{MB_4}=\frac{-1}{m_g}=\frac{-1}{0{,}5}=-2$

Setze jetzt die Steigung $m_{MB_4}$ und $M$ in die allgemeine Geradengleichung $y=mx+b$ ein und bestimme den fehlenden Parameter $b$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} y & = & mx+b & \\ 4{,}5 & = & -2\cdot 5 + b & \\ 4{,}5 & = & -10 + b & |+10 \\ 14{,}5 & = & b &\end{array}$

$\Rightarrow MB_4: y=-2x+14{,}5$