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Aufgaben

Lösung zu B1.1

%%y = 0,25 x^2 + bx +c%%

Scheitelpunkt %%S(4|-2)%%

Scheitelpunktform %%y = a(x-x_S)^2+y_S%%

Normalform %%y = a x^2 + bx +c%%

Vergleiche die gegebene Parabelgleichung mit der allgemeinen Normalform um %%a%% zu bestimmen. Setze dann %%a%% und %%S%% in die Scheitelpunktform ein und vereinfache.

%%y = 0,25(x-4)^2 - 2%%

%%y = 0,25(x^2-8x+16) - 2%%

%%y = 0,25x^2 - 2x + 4 - 2%%

%%y = 0,25x^2 - 2x + 2%%

Zeichne die Parabel und Gerade (z.B. mit Hilfe einer Wertetabelle aus dem Taschenrechner).

Lösung zu B1.2

%%A(0|2)%% und %%C(10|7)%% sind die Schnittpunkte von %%p%% und %%g%%.

%%B_n(x|0,25x^2-2x+2)%% liegen auf der Parabel %%p%%

%%AB_nCD_n%% bilden Drachenvierecke mit %%g%% als Symmetrieachse

Berechne %%B_1%% indem du %%x=6%% in %%B_n%% einsetzt.

%%B_1(6|0,25\cdot 6^2 - 2 \cdot 6 +2)%%

%%B_1(6|-1)%%

Drachenvierecke gibt es, solange %%B%% zwischen %%A%% und %%C%% liegt.

%%x \in (0;10)%%

Lösung zu B1.3

%%A(0|2)%%, %%B_1(6|-1)%%, %%C(10|7)%%

Um zu zeigen, dass das Dreieck %%AB_1C%% rechtwinklig ist, zeige, dass der Satz des Pythagoras erfüllt ist.

Berechne dafür zunächst die Seitenlängen %%\overline{AB}%%, %%\overline{BC}%% und %%\overline{CA}%%.

%%\overline{AB_1} = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}%%

%%\overline{AB_1} = \sqrt{6^2+(-3)^2} = \sqrt{45}%%

%%\overline{B_1C} = \sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}%%

%%\overline{B_1C} = \sqrt{4^2+8^2} = \sqrt{80}%%

%%\overline{CA} = \sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2}%%

%%\overline{CA} = \sqrt{(-10)^2 + (-5)^2} = \sqrt{125}%%

Überprüfe mit diesen Streckenlängen, ob der Satz des Pythagoras erfüllt ist.

%%\overline{CA}%% sollte dabei die Hypothenuse sein.

%%\overline{CA}^2 = \overline{AB_1}^2 + \overline{B_1C}^2%%

%%125 = 45 + 80%%

Der Satz des Pythagoras ist erfüllt, damit ist das Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei %%B_1%%.

Lösung zu B1.4

%%B_n(x|0,25x^2-2x+2)%%

Die Punkte %%B_n%% liegen auf der Parabel %%p%%. Die Punkte %%B_2%% und %%B_3%% liegen auf der %%x%%-Achse und sind deshalb die Nullstellen von %%p%%. Um die Nullstellen zu berechnen, setze %%y=0%% in der Parabelgleichung und löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel.

%%0 = 0,25 x^2 - 2x +2%%

%%x_{2/3} = 4 \pm 2\sqrt{2}%%

%%x_2 = 1,17%%

%%x_3 = 6,83%%

%%\Rightarrow B_2(1,17|0), B_3(6,83|0)%%

Lösung zu B1.5

Gegeben sind die folgenden Punkte des Drachenvierecks:

%%A(0|2)%%

%%B(x|0,25x^2-2x+2)%%

%%C(10|7)%%

Das Drachenviereck kannst du in die zwei Dreiecke %%ABC%% und %%ACD%% aufteilen. Die Flächeninhalte der beiden Dreiecke sind aufgrund der Symmetrie vom Drachenviereck gleich.

Die Fläche vom Dreieck %%ABC%% kannst du über die Determinante berechnen:

%%A_{ABC} =\dfrac{1}{2}\left| \vec{BA}\;\; \vec{BC}\right|%%

Um auf die Fläche des Drachenvierecks zu kommen nehmen wir nun diese Fläche doppelt und kommen auf:

%%A_{ABCD} = \left| \vec{BA}\;\; \vec{BC}\right|%%

Berechne dazu die beiden Vektoren.

%%\vec{BA} = \left( \begin{array}{c}0\\2\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c}x\\0,25x^2-2x+2\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}-x\\-0,25x+2x\end{array} \right)%%

%%\vec{BC} = \left( \begin{array}{c}10\\7\end{array} \right)- \left(\begin{array}{c}x\\0,25x^2-2x+2\end{array} \right) =\left( \begin{array}{c}10-x\\-0,25x+2x-5 \end{array} \right)%%

Anschließend kannst du die Determinante bestimmen.

%%A_{ABCD} =\left| \vec{BA}\;\; \vec{BC}\right|%%

%%A_{ABCD}= \left| \begin{array}{c}-x\\-0,25x+2x\end{array}\; \; \begin{array}{c}10-x\\-0,25x+2x-5 \end{array}\right|%%

%%A_{ABCD} =-x\cdot (-0,25x^2+2x+5)-(10-x)(-0,25x^2+2x)%%

%%A_{ABCD}=0,25x^3-2x^2-5x -(2,5x^3+20x+0,25x^3-2x^2)%%

%%A_{ABCD}=0,25x^3-2x^2-5x-2,5x^3-20x-0,25x^2+2x^2%%

%%A_{ABCD}=-5x+2,5x^2-20x%%

%%\underline{\underline{A=2,5x^2-25x}}%%

Der Flächeninhalt des Drachenvierecks in Abhängigkeit von %%x%% ist %%A=2,5x^2-25x%%.

Alternative Lösung zu B1.5

%%A(0|2), B(x|0,25x^2-2x+2), C(10|7)%%

Das Drachenviereck %%ABCD%% besteht aus zwei Dreiecken %%ABC%% und %%CDA%% mit gleichem Flächeninhalt. Um den Flächeninhalt von %%ABC%% zu berechnen, teile es in zwei Dreiecke %%ABE%% und %%BCE%% auf.

%%A_{Dreieck} = \frac{1}{2}G \cdot h%%

Beide Dreiecke haben die gleiche Grundseite %%G%%. Berechne %%G%% als Abstand zwischen %%g%% und %%B%% in %%y%%-Richtung. Die Höhen %%h_1%% und %%h_2%% sind der Abstand zwischen %%B%% und %%A%% bzw. %%C%% in %%x%%-Richtung.

%%\begin{array}{lcl}G & = & g(x) - y_B(x) \\ & = & 0,5x + 2 - 0,25x^2 + 2x -2 \\ & = & -0,25x^2 + 2,5x \end{array}%%

%%h_1 = x_B - x_A = x%%

%%h_2 = x_C - x_B = 10 - x%%

Addiere zunächst allgemein %%A_1%% und %%A_2%% und den Flächeninhalt des Dreiecks %%ABC%% zu erhalten und multipliziere mit %%2%% um den Flächeninhalt des Drachenvierecks zu erhalten.

%%\begin{array}{lcl} A_{ABCD} & = & 2 \cdot (A_1 + A_2) \\ & = & 2 \cdot (\frac{1}{2}G\cdot h_1 + \frac{1}{2}G\cdot h_2) \\ & = & G \cdot (h_1 + h_2) \end{array}%%

Setze %%G%%, %%h_1%% und %%h_2%% in %%A_{ABCD}%% ein.

%%A_{ABCD}(x) = (-0,25x^2 + 2,5x) \cdot (x + 10 - x)%%

%%A_{ABCD}(x) = (-2,5x^2 + 25x)[FE]%%

Lösung zu B1.6

%%A(0|2)%%, %%C(10|5)%%

%%g(x) = 0,5x + 2%%

Die Gerade %%MB_4%% ist senkrecht zu %%g%% und verläuft durch den Punkt %%M%%. Berechne zunächst die Koordinaten von %%M%%.

%%M%% liegt in der Mitte zwischen %%A%% und %%C%%

%%\Rightarrow x_M = \frac{x_C-x_A}{2}+x_A = \frac{10}{2} + 0 = 5%%

%%\Rightarrow y_M = \frac{y_C-y_A}{2}+y_A = \frac{5}{2} + 2 = 4,5%%

%%\Rightarrow M(5|4,5)%%

Berechne nun aus dem Wissen, dass beide Geraden rechtwinklig zueinander sind, die Steigung von %%MB_4%%.

Für rechtwinklige Geraden mit Steigungen %%m%% und %%m'%% gilt: %%m \cdot m' = -1%%.

Damit ist die Steigung %%m_{MB_4} = \frac{-1}{m_g} = \frac{-1}{0,5} = -2%%

Setze jetzt die Steigung %%m_{MB_4}%% und %%M%% in die allgemeine Geradengleichung %%y=mx+b%% ein und bestimme den fehlenden Parameter %%b%%.

%%\begin{array}{rcll} y & = & mx+b & \\ 4,5 & = & -2\cdot 5 + b & \\ 4,5 & = & -10 + b & |+10 \\ 14,5 & = & b &\end{array}%%

%%\Rightarrow MB_4: y=-2x+14,5%%

Aufgabenstellungen B2.0 bis B2.5

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide

Teilaufgabe 2.1

Zeichnen des Schrägbildes
Das Schrägbild ist eine genaue Zeichnung der Pyramide. In der Angabe steht, dass die Strecke [AC][AC] auf der Schrägbildachse liegt. Das bedeutet auf der Zeichenebene. Der Punkt SS liegt senkrecht über dem Punkt AA und somit liegt das Dreieck ASCASC genau auf der Zeichenebene. Zeichne dies zuerst indem du die bekannten Strecken CA=10cm\overline{CA}=10\, \text{cm} und AS=9cm\overline{AS} = 9cm einzeichnest und die Punkte CC und SS verbindest.

Jetzt fehlt nur noch der Punkt BB und die entsprechenden Verbindungen dazu. Dazu benötigst du die Angabe, dass ω=45°\omega = 45°. Das bedeutet, die Strecke [AB][AB], die in Wirklichkeit einen 90°90° Winkel zur Strecke [AC][AC] bildet, wird perspektivisch verzerrt in einem 45°45° Winkel nach rechts hinten gezeichnet.
Dabei entspricht immer eine Kästchendiagonale einem Zentimeter. Du musst also die 7cm7 \, \text{cm} lange Strecke 77 Kästchendiagonalen lang zeichnen.
Länge der Strecke [CS][CS]
Um die Länge der Strecke [CS][CS] zu bestimmen, nutzt du am besten das rechtwinklige Dreieck CASCAS. Stelle für dieses Dreieck den Satz des Pythagoras auf, dabei ist die Strecke [CS][CS] die Hypotenuse.
CS2=AC2+AS2\overline{CS}^2=\overline{AC}^2+\overline{AS}^2
Löse nach CS\overline{CS} auf, indem du die Wurzel ziehst.
CS=AC2+AS2\overline{CS}=\sqrt{\overline{AC}^2+\overline{AS}^2}
Setze die gegebenen Werte ein und rechne CS\overline{CS} aus.
CS=(10 cm)2+(9 cm)2=13,45\overline{CS}=\displaystyle\sqrt{(10\text{ cm})^2+(9\text{ cm})^2}=13,45 cm
Größe des Winkels ϵ\epsilon
Die Größe des Winkels ϵ\epsilon kannst du durch die trigonometrischen Formeln im rechtwinkligen Dreieck berechnen.
Als erstes ordnest du die Begriffe Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete bezüglich ϵ\epsilon zu:
CS\overline{CS} ist die Hypotenuse, AC\overline{AC} ist die Ankathete und AC\overline{AC} ist die Gegenkathete.
Nun wählst du dir eine der drei Formelen Sinus, Kosinus und Tangens aus.
Hier wird es beispielsweise mit Tangens berechnet:
tan(ϵ)=GegenkatheteAnkathete=ASAC\tan(\epsilon)= \displaystyle\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}= \frac{\overline{AS}}{\overline{AC}}
Setze nun die Werte ein.
tan(ϵ)=910\tan(\epsilon)=\displaystyle\frac9{10}
Nutze nun tan1\tan^{-1} um ϵ\epsilon zu bestimmen.
Der Winkel ist ϵ=41,99°\epsilon=41,99°.

Teilaufgabe 2.2

Versuche, dir die Aufgabenstellung so zu verdeutlichen, dass du es dir in der Zeichnung vorstellen kannst.
  • Punkt FnF_n liegt irgendwo auf der Strecke zwischen AA und C  C\; (Fn[AC]F_n \in [AC]) Dabei gilt: AFn(x)=xcm\overline{AF_n}(x) = x \, \text{cm}. Das bedeutet: Der Abstand vom Punkt FnF_n zum Punkt AA beträgt xcmx\,cm. Im ersten Fall F1F_1 mit x=4x=4 ist er also 4cm4 \,cm von AA entfernt.
  • Zeichne diesen Punkt in dein Schrägbild ein!
  • Punkt DnD_n liegt auf der Strecke [AB][AB] und EnE_n liegt auf der Strecke [BC][BC]. Genaue Punkte kennst du allerdings noch nicht. Schaue dir dazu die nächste Bedingung an!
  • AD1E1F1AD_1E_1F_1 Soll insgesamt ein Rechteck ergeben. Das bedeutet: Es gibt nur rechte Winkel in diesem Viereck und die gegenüberliegenden Seiten sind jeweils gleich lang. Da du eine Seite ([F1A][F_1A]) schon kennst, kannst du auch [D1E1]=4cm[D_1E_1]=4 \, \text{cm} sofort bestimmen.
  • Um nun die fehlenden Punkte herauszufinden musst du eine Parallelverschiebung der Strecke [AB][AB] machen, bis die parallele Strecke im Punkt F1F_1 liegt.
Bestimmung der Strecke EnFn\overline{E_nF_n} Zeichne dir dafür am besten eine kleine Skizze, wie das Dreieck ABCABC mit eingezeichnetem Viereck ADnEnFnAD_nE_nF_n aussehen würde.
Beschrifte nun die Strecken auf der rechten Seite. Du weißt, dass AB=7cm\overline{AB} = 7 \, \text{cm} und dass ADN=EnFn\overline{AD_N} = \overline{E_nF_n}.
Betrachte nun das rechtwinklige Dreieck EnDnBE_nD_nB. Den Winkel β\beta kannst du leicht berechnen und du kennst die Strecke xx. Aus diesem Grund kannst du mithilfe des Tangens die Strecke DnB\overline{D_nB} berechnen, welche genau 7cmx7 \, \text{cm} -x ist.
tan(β)=GegenkatheteAnkathete=7cmEnFnxtan(\beta) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \dfrac{7\, \text{cm}-\overline{E_n F_n}}{x}
Der tan(β)tan(\beta) ergibt sich aus dem rechtwinkligen Dreieck ABCABC zu
tan(β)=710tan(\beta)=\dfrac{7}{10}
Also erhältst du:
tan(β)=7cmEnFnx=710\tan(\beta) = \dfrac{7\, \text{cm}-\overline{E_n F_n}}{x} =\dfrac{7}{10}
Du kannst nun die Gleichung nach yy lösen:
7cmEnFnx=710              x\dfrac{7\, \text{cm}-\overline{E_n F_n}}{x} =\dfrac{7}{10} \; \; \; \; \; \; \; |\cdot x
7cmEnFn=0,7x            +EnFn      0,7x7 \, \text{cm} -\overline{E_n F_n} = 0,7x \; \; \; \; \; \; |+\overline{E_n F_n} \; \; \; |-0,7x
7cm0,7x=EnFn7 \, \text{cm} -0,7x = \overline{E_n F_n}
Die Strecke EnFn\overline{E_n F_n} beträgt also: EnFn=0,7x+7cm\overline{E_nF_n} = -0,7x+7 \, \text{cm}.
Im nächsten Schritt sollst du diese Länge berechnen, wenn das Rechteck AD0E0F0AD_0E_0F_0 ein Quadrat wird. Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang. In unserem Fall gilt also:
x=E0F0x = \overline{E_0F_0}
x=0,7x+7cmx = -0,7x + 7 \, \text{cm}
Löse diese Gleichung nun nach xx auf.
x=0,7x+7cm+0,7xx = -0,7x + 7 \, \text{cm} \hspace{2cm} |+0,7x
1,7x=7cm  :1,71,7x = 7 \, \text{cm}\ |\ :1,7
x=4,12cmx = 4,12 \, \text{cm}
Mit x=4,12cmx = 4,12 \, \text{cm} entsteht ein Quadrat AD0E0F0AD_0E_0F_0.

Teilaufgabe 2.3

Der Flächeninhalt von ADnEnFnAD_nE_nF_n ergibt sich aus dem Produkt der Länge und der Breite des Rechtecks.
A(x)=xEnFn=x(0,7x+7)=0,7x2+7xA(x) = x \cdot \overline{E_nF_n} = x \cdot (-0,7x+7) =-0,7x^2+7x
Der Graph der Funktion A(x)=0,7x2+7xA(x)=-0,7x^2+7x ist eine umgekehrte Parabel (siehe Abbildung rechts). Um das Maximum zu finden, musst du den Scheitelpunkt dieser Funktion berechnen.
Um auf die Scheitelpunktsform von A(x)=0,7x2+7xA(x) = -0,7x^2+7x zu kommen musst du die quadratische Ergänzung anwenden.
Klammere dazu zuerst den Faktor 0,7-0,7 vor dem x2x^2 aus.
A(x)=0,7x2+7xA(x) = -0,7x^2+7x
A(x)=0,7(x210x)A(x) = -0,7(x^2-10x)
Ergänze nun den Term in der Klammer um auf die zweite binomische Formel zu kommen.
A(x)=0,7(x210x+25zweite binomische Formel25)A(x) = -0,7(\underbrace{x^2-10x+25}_{\text{zweite binomische Formel}}-25)
Forme diesen Term nun um, indem du die 2525 aus der Klammer raus ziehst und die zweite binomische Formel in ihre Quadratform umwandelst.
A(x)=0,7(x210x+25)+0,725A(x) = -0,7(x^2-10x+25)+0,7\cdot 25
A(x)=0,7(x5)2+17,5A(x) = -0,7(x-5)^2+17,5
Der x-Wert des Scheitelpunkt ist die Nullstelle der Klammer.
In diesem Fall wäre das x=5x=5. Damit erhältst du das Maximum des Flächeninhalts A(x)A(x) bei x=5x=5.

Teilaufgabe 2.4

In das Schrägbild aus Teilaufgabe 2.12.1 soll nun ein weiterer Punkt TT eingezeichnet werden. Dieser liegt auf der Strecke [CS][CS] im Abstand von 2cm2\, \text{cm} zu SS.
Der Punkt TT ist nun die Spitze einer neuen Pyramide, mit der Grundfläche AD1E1F1AD_1E_1F_1. Zeichne die Seitenkanten der Pyramide in das Schrägbild ein.
Die Höhe dieser neuen Pyramide wird mit hh bezeichnet. Sie steht senkrecht auf die Strecke [F1A][F_1A].
Im Folgenden soll nun diese Höhe berechnet werden. Betrachte dazu die Skizze:
hh direkt zu berechnen ist leider nicht ohne weiteres möglich, allerdings können wir eine Hilfslinie ziehen um die Differenz zwischen Höhe hh und der Seitenlinie AS\overline{AS} zu berechnen.
Diese Hilfslinie (wir nennen sie hier TPTP wurde in der folgenden Skizze eingezeichnet.
Beachte, dass sich der Winkel ε\varepsilon aus dem Dreieck ASCASC sich hier im rechtwinkligen Dreieck PSTPST wiederfindet. Berechne nun über den Sinus von ε\varepsilon die Länge der Strecke PS\overline{PS}.
sin(ε)=GegenkatheteHypotenuse=PS2cm\text{sin}(\varepsilon) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{\overline{PS}}{2\, \text{cm}}
PS=sin(ε)2cm=sin(41,99°)2cm=1,34cm\overline{PS} = \text{sin}(\varepsilon) \cdot 2 \, \text{cm} = \text{sin}(41,99°) \cdot 2 \, \text{cm} = 1,34 \, \text{cm}
In der Zeichnung siehst du, dass die Höhe hh dieselbe Länge hat wie die Strecke AP\overline{AP}. Um nun also auf die Höhe zu kommen, kannst du rechnen:
h=ASPS=9cm1,34cm=7,66cmh=\overline{AS} - \overline{PS} = 9 \, \text{cm} - 1,34 \, \text{cm} = 7,66 \, \text{cm}
Damit bestätigst du das Ergebnis aus der Angabe. Die Höhe ist 7,66cm7,66 \, \text{cm} lang.

Teilaufgabe 2.5

Vom Dreieck TFnCTF_nC hast du bereits einen Winkel, nämlich ε=41,99°\varepsilon = 41,99° gegeben. Wenn der dritte Winkel CTFnCTF_n jetzt also sehr klein wird, dann erreicht der Winkel α\alpha sein Maximum.
Dieses Maximum erhältst du über die Innenwinkelsumme des Dreiecks und die Annahme, dass der Winkel CTFnCTF_n annähernd 0° wird.
α<180°41,99°\alpha < 180° - 41,99°
α<138,01°\alpha < 138,01°
Die untere Intervallgrenze erhältst du, wenn FnF_n genau auf AA liegt. Denn so wird der Winkel α\alpha am kleinsten.
Die Größe des Winkels α\alpha
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