Teil B - lernen mit Serlo!

Die Parabel $p$ mit dem Scheitel $S (4 ∣ - 2)$ hat eine Gleichung der Form $y=0{,}25x^2+bx+c$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ und $b,c\in\mathbb{R}$ .

Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y = 0,5 x + 2$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ .

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Parabel $p$ die Gleichung $y=0{,}25x^2-2x+2$ hat.
Zeichnen Sie sodann die Parabel $p$ sowie die Gerade $g$ für $x\in[-1;11]$ in ein Koordinatensystem ein.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\;\text{cm}$ ; $-1\le x\le 11;~-3\le y\le 11$

Lösung zu a
$y = 0{,}25 x^2 + bx +c$
Scheitelpunkt $S (4 ∣ - 2)$
Scheitelpunktform $y = a (x - x_{S})^{2} + y_{S}$
Normalform $y = a x^{2} + b x + c$
Vergleiche die gegebene Parabelgleichung mit der allgemeinen Normalform um $a$ zu bestimmen. Setze dann $a$ und $S$ in die Scheitelpunktform ein und vereinfache.
$y = 0{,}25(x-4)^2 - 2$
$y = 0{,}25(x^2-8x+16) - 2$
$y = 0{,}25x^2 - 2x + 4 - 2$
$y = 0{,}25x^2 - 2x + 2$
Zeichne die Parabel und Gerade (z.B. mit Hilfe einer Wertetabelle aus dem Taschenrechner).
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Die Punkte $A (0 ∣ 2)$ und $C (10 ∣ 7)$ sind die Schnittpunkte der Parabel $p$ mit der Geraden $g$ . Sie sind zusammen mit Punkten $B_n(x|0{,}25x^2-2x+2)$ auf der Parabel $p$ Eckpunkte von Drachenvierecken $A B_{n} C D_{n}$ mit der Geraden $g$ als Symmetrieachse.
Zeichnen Sie das Drachenviereck $A B_{1} C D_{1}$ für $x = 6$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein und geben Sie das Intervall für $x$ an, für das es Drachenvierecke $A B_{n} C D_{n}$ gibt.

Lösung zu b
$A (0 ∣ 2)$ und $C (10 ∣ 7)$ sind die Schnittpunkte von $p$ und $g$ .
$B_n(x|0{,}25x^2-2x+2)$ liegen auf der Parabel $p$
$A B_{n} C D_{n}$ bilden Drachenvierecke mit $g$ als Symmetrieachse
Berechne $B_{1}$ indem du $x = 6$ in $B_{n}$ einsetzt:
$B_1(6|0{,}25\cdot 6^2 - 2 \cdot 6 +2)$
$B_{1} (6 ∣ - 1)$
Drachenvierecke gibt es, solange $B$ zwischen $A$ und $C$ liegt.
$x \in ]0;10[$
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Zeigen Sie rechnerisch, dass das Drachenviereck $A B_{1} C D_{1}$ bei $B_{1}$ rechtwinklig ist.

Lösung zu c
$A (0 ∣ 2)$ , $B_{1} (6 ∣ - 1)$ , $C (10 ∣ 7)$
Um zu zeigen, dass das Dreieck $A B_{1} C$ rechtwinklig ist, zeige, dass der Satz des Pythagoras erfüllt ist.
Berechne dafür zunächst die Seitenlängen $\overline{AB_1}$ , $\overline{B_1C}$ und $\overline{CA}$ .
$\overline{AB_1} = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
$\overline{AB_1} = \sqrt{6^2+(-3)^2} = \sqrt{45}$
$\overline{B_1C} = \sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}$
$\overline{B_1C} = \sqrt{4^2+8^2} = \sqrt{80}$
$\overline{CA} = \sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2}$
$\overline{CA} = \sqrt{(-10)^2 + (-5)^2} = \sqrt{125}$
Überprüfe mit diesen Streckenlängen, ob der Satz des Pythagoras erfüllt ist.
$\overline{CA}$ sollte dabei die Hypotenuse sein.
$\overline{CA}^2 = \overline{AB_1}^2 + \overline{B_1C}^2$
$125 = 45 + 80$
Der Satz des Pythagoras ist erfüllt, damit ist das Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei $B_{1}$ .
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Unter den Drachenvierecken $A B_{n} C D_{n}$ gibt es die Drachenvierecke $A B_{2} C D_{2}$ und $A B_{3} C D_{3}$ , bei denen die Eckpunkte $B_{2}$ und $B_{3}$ auf der x-Achse liegen.
Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte $B_{2}$ und $B_{3}$ .

Lösung zu d
$B_n(x|0{,}25x^2-2x+2)$
Die Punkte $B_{n}$ liegen auf der Parabel $p$ . Die Punkte $B_{2}$ und $B_{3}$ liegen auf der $x$ -Achse und sind deshalb die Nullstellen von $p$ . Um die Nullstellen zu berechnen, setze $y = 0$ in der Parabelgleichung und löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel.
$0 = 0{,}25 x^2 - 2x +2$
$x_{2/3} = 4 \pm 2\sqrt{2}$
$x_2 = 1{,}17$
$x_3 = 6{,}83$
$\Rightarrow B_2(1{,}17|0), B_3(6{,}83|0)$
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Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt $A$ der Drachenvierecke $A B_{n} C D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ gilt:
$A(x)=(-2{,}5x^2+25x)\;\text{FE}$

Lösung zu e
Gegeben sind die folgenden Punkte des Drachenvierecks:
$A (0 ∣ 2)$
$B(x|0{,}25x^2-2x+2)$
$C (10 ∣ 7)$
Das Drachenviereck kannst du in die zwei Dreiecke $A B C$ und $A C D$ aufteilen. Die Flächeninhalte der beiden Dreiecke sind aufgrund der Symmetrie vom Drachenviereck gleich.
Die Fläche vom Dreieck $A B C$ kannst du über die Determinante berechnen:
$A_{ABC} =\dfrac{1}{2}\left| \overrightarrow{BA}\;\; \overrightarrow{BC}\right|$
Um auf die Fläche des Drachenvierecks zu kommen, nehmen wir nun diese Fläche doppelt und kommen auf:
$A_{ABCD} = \left| \overrightarrow{BA}\;\; \overrightarrow{BC}\right|$
Berechne dazu die beiden Vektoren.
$\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{BA} = \left( \begin{array}{c}0\\2\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c}x\\0{,}25x^2-2x+2\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}-x\\-0{,}25x^2+2x\end{array} \right)$
$\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{BC} = \left( \begin{array}{c}10\\7\end{array} \right)- \left(\begin{array}{c}x\\0{,}25x^2-2x+2\end{array} \right) =\left( \begin{array}{c}10-x\\-0{,}25x^2+2x+5 \end{array} \right)$
Anschließend kannst du die Determinante bestimmen.
$A_{ABCD} =\left| \overrightarrow{BA}\;\; \overrightarrow{BC}\right|$
$\def\arraystretch{1.25} A_{ABCD}(x)= \left| \begin{array}{c}-x\\-0{,}25x^2+2x\end{array}\; \; \begin{array}{c}10-x\\-0{,}25x^2+2x+5 \end{array}\right|$
$A_{ABCD}(x) =-x\cdot (-0{,}25x^2+2x+5)-(10-x)(-0{,}25x^2+2x)$
$A_{ABCD}(x)=0{,}25x^3-2x^2-5x-(-2{,}5x^2+20x+0{,}25x^3-2x^2)$
$A_{ABCD}(x)=0{,}25x^3-2x^2-5x+2{,}5x^2-20x-0{,}25x^3+2x^2$
$A_{ABCD}(x)=-5x+2{,}5x^2-20x$
$\underline{\underline{A(x)=2{,}5x^2-25x\;\text{FE}}}$
Der Flächeninhalt des Drachenvierecks in Abhängigkeit von $x$ ist $A(x)=2{,}5x^2-25x$ .
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Unter den Drachenvierecken $A B_{n} C D_{n}$ gibt es die Raute $A B_{4} C D_{4}$ .
Zeichnen Sie die Raute $A B_{4} C D_{4}$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.
Ermitteln Sie sodann rechnerisch die Gleichung der Geraden $M B_{4}$ .
$[$ Teilergebnis: $M (5 ∣ 4,5)$ $]$

Lösung zu f
$A (0 ∣ 2)$ , $C (10 ∣ 7)$
$g (x) = 0,5 x + 2$
Die Gerade $M B_{4}$ ist senkrecht zu $g$ und verläuft durch den Punkt $M$ . Berechne zunächst die Koordinaten von $M$ .
$M$ liegt in der Mitte zwischen $A$ und $C$
$\Rightarrow x_M = \frac{x_A+x_C}{2} = \frac{0+10}{2} = 5$
$\Rightarrow y_M = \frac{y_A+y_C}{2} = \frac{2+7}{2} = 4{,}5$
$\Rightarrow M(5|4{,}5)$
Berechne nun aus dem Wissen, dass beide Geraden rechtwinklig zueinander sind, die Steigung von $M B_{4}$ .
Für rechtwinklige Geraden mit Steigungen $m$ und $m^{'}$ gilt: $m \cdot m' = -1$ .
Damit ist die Steigung
$m_{MB_4}=\frac{-1}{m_g}=\frac{-1}{0{,}5}=-2$
Setze jetzt die Steigung $m_{MB_4}$ und $M$ in die allgemeine Geradengleichung $y = m x + b$ ein und bestimme den fehlenden Parameter $b$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} y & = & mx+b & \\ 4{,}5 & = & -2\cdot 5 + b & \\ 4{,}5 & = & -10 + b & |+10 \\ 14{,}5 & = & b &\end{array}$
$\Rightarrow MB_4: y=-2x+14{,}5$
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Lösung zu a

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Lösung zu b

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Lösung zu c

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Lösung zu d

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Lösung zu e

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Lösung zu f

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