Teil B - lernen mit Serlo!

Das rechtwinklige Dreieck $ABC$ mit der Hypotenuse $[BC]$ ist die Grundfläche der Pyramide $ABCDS$ (siehe Skizze).

Die Spitze $S$ liegt senkrecht über dem Punkt $A$ .

Es gilt: $\overline{AC}=10\;\text{cm};~\overline{AB}=7\;\text{cm};~\overline{AS}=9\;\text{cm}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ , wobei die Strecke $[AC]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $C$ links vom Punkt $A$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q=0{,}5;~\omega=45°$ .
Bestimmen Sie sodann rechnerisch die Länge der Strecke $[CS]$ und das Maß $\epsilon=41{,}99°$ des Winkels $ACS$ . $[$ Ergebnisse: $\overline{CS}=13{,}45\;\text{cm};~\epsilon=41{,}99°$ $]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Teilaufgabe a
Zeichnen des Schrägbildes
Das Schrägbild ist eine genaue Zeichnung der Pyramide. In der Angabe steht, dass die Strecke $[AC]$ auf der Schrägbildachse liegt. Das bedeutet auf der Zeichenebene. Der Punkt $S$ liegt senkrecht über dem Punkt $A$ und somit liegt das Dreieck $ASC$ genau auf der Zeichenebene. Zeichne dies zuerst, indem du die bekannten Strecken $\overline{CA}=10\, \text{cm}$ und $\overline{AS} = 9\;\text{cm}$ einzeichnest und die Punkte $C$ und $S$ verbindest.
Jetzt fehlt nur noch der Punkt $B$ und die entsprechenden Verbindungen dazu. Dazu benötigst du die Angabe, dass $\omega = 45°$ . Das bedeutet, die Strecke $[AB]$ , die in Wirklichkeit einen $90°$ Winkel zur Strecke $[AC]$ bildet, wird perspektivisch verzerrt in einem $45°$ Winkel nach rechts hinten gezeichnet.
Dabei entspricht immer eine Kästchendiagonale einem Zentimeter. Du musst also die $7 \, \text{cm}$ lange Strecke $7$ Kästchendiagonalen lang zeichnen.
Länge der Strecke $[CS]$
Um die Länge der Strecke $[CS]$ zu bestimmen, nutzt du am besten das rechtwinklige Dreieck $CAS$ . Stelle für dieses Dreieck den Satz des Pythagoras auf, dabei ist die Strecke $[CS]$ die Hypotenuse.
$\overline{CS}^2=\overline{AC}^2+\overline{AS}^2$
Löse nach $\overline{CS}$ auf, indem du die Wurzel ziehst.
$\overline{CS}=\sqrt{\overline{AC}^2+\overline{AS}^2}$
Setze die gegebenen Werte ein und rechne $\overline{CS}$ aus.
$\overline{CS}=\displaystyle\sqrt{(10\text{ cm})^2+(9\text{ cm})^2}=13{,}45$ cm
Größe des Winkels $\epsilon$
Die Größe des Winkels $\epsilon$ kannst du durch die trigonometrischen Formeln im rechtwinkligen Dreieck berechnen.
Als Erstes ordnest du die Begriffe Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete bezüglich $\epsilon$ zu:
$\overline{CS}$ ist die Hypotenuse, $\overline{AC}$ ist die Ankathete und $\overline{AC}$ ist die Gegenkathete.
Nun wählst du dir eine der drei Formeln Sinus, Kosinus und Tangens aus.
Hier wird es beispielsweise mit Tangens berechnet:
$\tan(\epsilon)= \displaystyle\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}= \frac{\overline{AS}}{\overline{AC}}$
Setze nun die Werte ein.
$\tan(\epsilon)=\displaystyle\frac9{10}$
Nutze nun $\tan^{-1}$ um $\epsilon$ zu bestimmen.
Der Winkel ist $\epsilon=\tan^{-1}\left(\dfrac{9}{10}\right)=41{,}99°$ .
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Für Punkte $F_n$ auf der Strecke $[AC]$ gilt: $\overline{AF_n}(x)=x\;\text{cm}$ mit $x\in\mathbb{R}$ und $0<x<10$ . Die Punkte $F_n$ sind Eckpunkte von Rechtecken $AD_nE_nF_n$ mit $D_n\in[AB]$ und $E_n\in[BC]$ .
Zeichnen Sie das Rechteck $AD_1E_1F_1$ für $x=4$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe a) ein.
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecken $[E_nF_n]$ in Abhängigkeit von $x$ und ermitteln Sie rechnerisch den Wert für $x$ , für den man das Quadrat $AD_0E_0F_0$ erhält.
$[$ Ergebnis: $[\overline{E_nF_n}(x)=(-0{,}7x+7)\;\text{cm}]$
Teilaufgabe b
Versuche, dir die Aufgabenstellung so zu verdeutlichen, dass du es dir in der Zeichnung vorstellen kannst.
Punkt $F_n$ liegt irgendwo auf der Strecke zwischen $A$ und $C\;$ ( $F_n \in [AC]$ ) Dabei gilt: $\overline{AF_n}(x) = x \, \text{cm}$ . Das bedeutet: Der Abstand vom Punkt $F_n$ zum Punkt $A$ beträgt $x\;\text{cm}$ . Im ersten Fall $F_1$ mit $x=4$ ist er also $4 \;\text{cm}$ von $A$ entfernt.
Zeichne diesen Punkt in dein Schrägbild ein!
Punkt $D_n$ liegt auf der Strecke $[AB]$ und $E_n$ liegt auf der Strecke $[BC]$ . Genaue Punkte kennst du allerdings noch nicht. Schaue dir dazu die nächste Bedingung an!
$AD_1E_1F_1$ Soll insgesamt ein Rechteck ergeben. Das bedeutet: Es gibt nur rechte Winkel in diesem Viereck und die gegenüberliegenden Seiten sind jeweils gleich lang. Da du eine Seite $F_1A$ schon kennst, kannst du auch $[D_1E_1]=4 \, \text{cm}$ sofort bestimmen.
Um nun die fehlenden Punkte herauszufinden, musst du eine Parallelverschiebung der Strecke $[AB]$ machen, bis die parallele Strecke im Punkt $F_1$ liegt.
Bestimmung der Strecke $\overline{E_nF_n}$ Zeichne dir dafür am besten eine kleine Skizze, wie das Dreieck $ABC$ mit eingezeichnetem Viereck $AD_nE_nF_n$ aussehen würde.
Beschrifte nun die Strecken auf der rechten Seite. Du weißt, dass $\overline{AB} = 7 \, \text{cm}$ und dass $\overline{AD_N} = \overline{E_nF_n}$ .
Betrachte nun das rechtwinklige Dreieck $E_nD_nB$ . Den Winkel $\beta$ kannst du leicht berechnen und du kennst die Strecke $x$ . Aus diesem Grund kannst du mithilfe des Tangens die Strecke $\overline{D_nB}$ berechnen, welche genau $7 \, \text{cm} -x$ ist.
$\tan(\beta) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \dfrac{7\, \text{cm}-\overline{E_n F_n}}{x}$
Der $\tan(\beta)$ ergibt sich aus dem rechtwinkligen Dreieck $ABC$ zu
$\tan(\beta)=\dfrac{7}{10}$
Also erhältst du:
$\tan(\beta) = \dfrac{7\, \text{cm}-\overline{E_n F_n}}{x} =\dfrac{7}{10}$
Du kannst nun die Gleichung nach $x$ lösen:
$\dfrac{7\, \text{cm}-\overline{E_n F_n}}{x} =\dfrac{7}{10} \; \; \; \; \; \; \; |\cdot x$
$7 \, \text{cm} -\overline{E_n F_n} = 0{,}7x \; \; \; \; \; \; |+\overline{E_n F_n} \; \; \; |-0{,}7x$
$7 \, \text{cm} -0{,}7x = \overline{E_n F_n}$
Die Strecke $\overline{E_n F_n}$ beträgt also: $\overline{E_nF_n} = (-0{,}7x+7) \, \text{cm}$ .
Im nächsten Schritt sollst du diese Länge berechnen, wenn das Rechteck $AD_0E_0F_0$ ein Quadrat wird. Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang. In unserem Fall gilt also:
$x = \overline{E_0F_0}$
$x = -0{,}7x + 7$
Löse diese Gleichung nun nach $x$ auf.
$x = -0{,}7x + 7 \, \hspace{2cm} |+0{,}7x$
$1{,}7x = 7 \;\; | :1{,}7$
$x = 4{,}12$
Mit $x = 4{,}12 \, \text{cm}$ entsteht ein Quadrat $AD_0E_0F_0$ .
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Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Rechtecke $AD_nE_nF_n$ in Abhängigkeit von $x$ .
Bestimmen Sie sodann den Wert für $x$ , für den der Flächeninhalt der Rechtecke $AD_nE_nF_n$ maximal wird.

Teilaufgabe c
Der Flächeninhalt von $AD_nE_nF_n$ ergibt sich aus dem Produkt der Länge und der Breite des Rechtecks.
$A(x) = x \cdot \overline{E_nF_n} = x \cdot (-0{,}7x+7)\;\text{cm}^2 =(-0{,}7x^2+7x)\;\text{cm}^2$
Der Graph der Funktion $A(x)=-0{,}7x^2+7x$ ist eine umgekehrte Parabel (siehe Abbildung rechts). Um das Maximum zu finden, musst du den Scheitelpunkt dieser Funktion berechnen.
Um auf die Scheitelpunktform von $A(x) = -0{,}7x^2+7x$ zu kommen, musst du die quadratische Ergänzung anwenden.
Klammere dazu zuerst den Faktor $-0{,}7$ vor dem $x^2$ aus.
$A(x) = -0{,}7x^2+7x$
$A(x) = -0{,}7(x^2-10x)$
Ergänze nun den Term in der Klammer, um auf die zweite binomische Formel zu kommen.
$A(x) = -0{,}7(\underbrace{x^2-10x+25}_{\text{2. binomische Formel}}-25)$
$A(x) = -0{,}7((x-5)^2-25)$
$A(x) = -0{,}7(x-5)^2+17{,}5$
Der x-Wert des Scheitelpunktes ist die Nullstelle der Klammer.
In diesem Fall wäre das $x=5$ . Damit erhältst du das Maximum des Flächeninhalts $A(x)$ bei $x=5$ .
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Der Punkt $T$ liegt auf der Strecke $[CS]$ mit $\overline{TS}=2\;\text{cm}$ . $T$ ist die Spitze von Pyramiden $AD_nE_nF_nT$ mit den Rechtecken $AD_nE_nF_n$ als Grundflächen und der Höhe $h$ .
Zeichnen Sie die Pyramide $AD_1E_1F_1T$ und der Höhe $h$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe a) ein.
Zeigen Sie sodann, dass gilt: $h=7{,}66\;\text{cm}$

Teilaufgabe d
In das Schrägbild aus Teilaufgabe $a$ soll nun ein weiterer Punkt $T$ eingezeichnet werden. Dieser liegt auf der Strecke $[CS]$ im Abstand von $2\, \text{cm}$ zu $S$ .
Der Punkt $T$ ist nun die Spitze einer neuen Pyramide, mit der Grundfläche $AD_1E_1F_1$ . Zeichne die Seitenkanten der Pyramide in das Schrägbild ein.
Die Höhe dieser neuen Pyramide wird mit $h$ bezeichnet. Sie steht senkrecht auf die Strecke $[F_1A]$ .
Im Folgenden soll nun diese Höhe berechnet werden. Betrachte dazu die Skizze:
$h$ direkt zu berechnen ist leider nicht ohne weiteres möglich, allerdings können wir eine Hilfslinie ziehen um die Differenz zwischen Höhe $h$ und der Seitenlinie $\overline{AS}$ zu berechnen.
Diese Hilfslinie (wir nennen sie hier $TP$ wurde in der folgenden Skizze eingezeichnet.
Beachte, dass sich der Winkel $\varepsilon$ aus dem Dreieck $ASC$ sich hier im rechtwinkligen Dreieck $PST$ wiederfindet. Berechne nun über den Sinus von $\varepsilon$ die Länge der Strecke $\overline{PS}$ .
$\text{sin}(\varepsilon) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{\overline{PS}}{2\, \text{cm}}$
$\overline{PS} = \text{sin}(\varepsilon) \cdot 2 \, \text{cm} = \text{sin}(41{,}99°) \cdot 2 \, \text{cm} = 1{,}34 \, \text{cm}$
In der Zeichnung siehst du, dass die Höhe $h$ dieselbe Länge hat wie die Strecke $\overline{AP}$ . Um nun also auf die Höhe zu kommen, kannst du rechnen:
$h=\overline{AS} - \overline{PS} = 9 \, \text{cm} - 1{,}34 \, \text{cm} = 7{,}66 \, \text{cm}$
Damit bestätigst du das Ergebnis aus der Angabe. Die Höhe ist $7{,}66 \, \text{cm}$ lang.
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Begründen Sie, dass für das Maß $\alpha$ der Winkel $TF_nC$ gilt: $\alpha<138{,}01°$ .
Berechnen Sie anschließend die untere Intervallgrenze für $\alpha$ .
$[$ Teilergebnis: $\overline{AT}=7{,}80\;\text{cm}]$

Teilaufgabe e
Vom Dreieck $TF_nC$ hast du bereits einen Winkel, nämlich $\varepsilon = 41{,}99°$ gegeben. Wenn der dritte Winkel $CTF_n$ jetzt also sehr klein wird, dann erreicht der Winkel $\alpha$ sein Maximum.
Dieses Maximum erhältst du über die Innenwinkelsumme des Dreiecks und die Annahme, dass der Winkel $CTF_n$ annähernd $0°$ wird.
$\alpha < 180° - 41{,}99°$
$\alpha < 138{,}01°$
Die untere Intervallgrenze erhältst du, wenn $F_n$ genau auf $A$ liegt. Denn so wird der Winkel $\alpha$ am kleinsten.
Die Größe des Winkels $\alpha:$
$\sin\sphericalangle{TAC}=\dfrac{h}{\overline{AT}}$
Mit dem Kosinussatz folgt dann:
$\overline{AT}=\sqrt{\overline{AC}^2+\overline{CT}^2-2\cdot \overline{AC}\cdot \overline{CT}\cdot \cos\epsilon}$
Dabei ist $\overline{CT}=\overline{CS}-\overline{TS}=(13{,}45-2)\;\text{cm}=11{,}45\;\text{cm}$
$\\$
$\Rightarrow\;\overline{AT}=\sqrt{10^2+11{,}45^2-2\cdot 10\cdot 11{,}45\cdot \cos41{,}99^\circ}\;\text{cm}$
$\overline{AT}=7{,}80\;\text{cm}$
$\sin\sphericalangle{TAC}=\dfrac{7{,}66\;\text{cm}}{7{,}80\;\text{cm}}$
$\Rightarrow\;\sphericalangle{TAC}=\sin^{-1}\left(\dfrac{7{,}66}{7{,}80}\right)=79{,}13^\circ$
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