Teil B - lernen mit Serlo!

Das rechtwinklige Dreieck $A B C$ mit der Hypotenuse $[B C]$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ (siehe Skizze).

Die Spitze $S$ liegt senkrecht über dem Punkt $A$ .

Es gilt: $A C = 10 cm; A B = 7 cm; A S = 9 cm$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei die Strecke $[A C]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $C$ links vom Punkt $A$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q = 0,5; ω = 45 °$ .
Bestimmen Sie sodann rechnerisch die Länge der Strecke $[C S]$ und das Maß $ϵ = 41,99 °$ des Winkels $A C S$ . $[$ Ergebnisse: $C S = 13,45 cm; ϵ = 41,99 °$ $]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Teilaufgabe a
Zeichnen des Schrägbildes
Das Schrägbild ist eine genaue Zeichnung der Pyramide. In der Angabe steht, dass die Strecke $[A C]$ auf der Schrägbildachse liegt. Das bedeutet auf der Zeichenebene. Der Punkt $S$ liegt senkrecht über dem Punkt $A$ und somit liegt das Dreieck $A S C$ genau auf der Zeichenebene. Zeichne dies zuerst, indem du die bekannten Strecken $C A = 10 cm$ und $A S = 9 cm$ einzeichnest und die Punkte $C$ und $S$ verbindest.
Jetzt fehlt nur noch der Punkt $B$ und die entsprechenden Verbindungen dazu. Dazu benötigst du die Angabe, dass $ω = 45 °$ . Das bedeutet, die Strecke $[A B]$ , die in Wirklichkeit einen $90 °$ Winkel zur Strecke $[A C]$ bildet, wird perspektivisch verzerrt in einem $45 °$ Winkel nach rechts hinten gezeichnet.
Dabei entspricht immer eine Kästchendiagonale einem Zentimeter. Du musst also die $7 cm$ lange Strecke $7$ Kästchendiagonalen lang zeichnen.
Länge der Strecke $[C S]$
Um die Länge der Strecke $[C S]$ zu bestimmen, nutzt du am besten das rechtwinklige Dreieck $C A S$ . Stelle für dieses Dreieck den Satz des Pythagoras auf, dabei ist die Strecke $[C S]$ die Hypotenuse.
${C S}^{2} = {A C}^{2} + {A S}^{2}$
Löse nach $C S$ auf, indem du die Wurzel ziehst.
$C S = \sqrt{{A C}^{2} + {A S}^{2}}$
Setze die gegebenen Werte ein und rechne $C S$ aus.
$C S = \sqrt{(10 cm)^{2} + (9 cm)^{2}} = 13,45$ cm
Größe des Winkels $ϵ$
Die Größe des Winkels $ϵ$ kannst du durch die trigonometrischen Formeln im rechtwinkligen Dreieck berechnen.
Als Erstes ordnest du die Begriffe Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete bezüglich $ϵ$ zu:
$C S$ ist die Hypotenuse, $A C$ ist die Ankathete und $A C$ ist die Gegenkathete.
Nun wählst du dir eine der drei Formeln Sinus, Kosinus und Tangens aus.
Hier wird es beispielsweise mit Tangens berechnet:
$\tan (ϵ) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{A S}{A C}$
Setze nun die Werte ein.
$\tan (ϵ) = \frac{9}{10}$
Nutze nun $\tan^{- 1}$ um $ϵ$ zu bestimmen.
Der Winkel ist $ϵ = \tan^{- 1} (\frac{9}{10}) = 41,99 °$ .
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Für Punkte $F_{n}$ auf der Strecke $[A C]$ gilt: $A F_{n} (x) = x cm$ mit $x \in ℝ$ und $0 < x < 10$ . Die Punkte $F_{n}$ sind Eckpunkte von Rechtecken $A D_{n} E_{n} F_{n}$ mit $D_{n} \in [A B]$ und $E_{n} \in [B C]$ .
Zeichnen Sie das Rechteck $A D_{1} E_{1} F_{1}$ für $x = 4$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe a) ein.
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecken $[E_{n} F_{n}]$ in Abhängigkeit von $x$ und ermitteln Sie rechnerisch den Wert für $x$ , für den man das Quadrat $A D_{0} E_{0} F_{0}$ erhält.
$[$ Ergebnis: $[E_{n} F_{n} (x) = (- 0,7 x + 7) cm]$
Teilaufgabe b
Versuche, dir die Aufgabenstellung so zu verdeutlichen, dass du es dir in der Zeichnung vorstellen kannst.
Punkt $F_{n}$ liegt irgendwo auf der Strecke zwischen $A$ und $C$ ( $F_{n} \in [A C]$ ) Dabei gilt: $A F_{n} (x) = x cm$ . Das bedeutet: Der Abstand vom Punkt $F_{n}$ zum Punkt $A$ beträgt $x cm$ . Im ersten Fall $F_{1}$ mit $x = 4$ ist er also $4 cm$ von $A$ entfernt.
Zeichne diesen Punkt in dein Schrägbild ein!
Punkt $D_{n}$ liegt auf der Strecke $[A B]$ und $E_{n}$ liegt auf der Strecke $[B C]$ . Genaue Punkte kennst du allerdings noch nicht. Schaue dir dazu die nächste Bedingung an!
$A D_{1} E_{1} F_{1}$ Soll insgesamt ein Rechteck ergeben. Das bedeutet: Es gibt nur rechte Winkel in diesem Viereck und die gegenüberliegenden Seiten sind jeweils gleich lang. Da du eine Seite $F_{1} A$ schon kennst, kannst du auch $[D_{1} E_{1}] = 4 cm$ sofort bestimmen.
Um nun die fehlenden Punkte herauszufinden, musst du eine Parallelverschiebung der Strecke $[A B]$ machen, bis die parallele Strecke im Punkt $F_{1}$ liegt.
Bestimmung der Strecke $E_{n} F_{n}$ Zeichne dir dafür am besten eine kleine Skizze, wie das Dreieck $A B C$ mit eingezeichnetem Viereck $A D_{n} E_{n} F_{n}$ aussehen würde.
Beschrifte nun die Strecken auf der rechten Seite. Du weißt, dass $A B = 7 cm$ und dass $A D_{N} = E_{n} F_{n}$ .
Betrachte nun das rechtwinklige Dreieck $E_{n} D_{n} B$ . Den Winkel $β$ kannst du leicht berechnen und du kennst die Strecke $x$ . Aus diesem Grund kannst du mithilfe des Tangens die Strecke $D_{n} B$ berechnen, welche genau $7 cm - x$ ist.
$\tan (β) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{7 cm - E_{n} F_{n}}{x}$
Der $\tan (β)$ ergibt sich aus dem rechtwinkligen Dreieck $A B C$ zu
$\tan (β) = \frac{7}{10}$
Also erhältst du:
$\tan (β) = \frac{7 cm - E_{n} F_{n}}{x} = \frac{7}{10}$
Du kannst nun die Gleichung nach $x$ lösen:
$\frac{7 cm - E_{n} F_{n}}{x} = \frac{7}{10} | \cdot x$
$7 cm - E_{n} F_{n} = 0,7 x | + E_{n} F_{n} | - 0,7 x$
$7 cm - 0,7 x = E_{n} F_{n}$
Die Strecke $E_{n} F_{n}$ beträgt also: $E_{n} F_{n} = (- 0,7 x + 7) cm$ .
Im nächsten Schritt sollst du diese Länge berechnen, wenn das Rechteck $A D_{0} E_{0} F_{0}$ ein Quadrat wird. Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang. In unserem Fall gilt also:
$x = E_{0} F_{0}$
$x = - 0,7 x + 7$
Löse diese Gleichung nun nach $x$ auf.
$x = - 0,7 x + 7 | + 0,7 x$
$1,7 x = 7 | : 1,7$
$x = 4,12$
Mit $x = 4,12 cm$ entsteht ein Quadrat $A D_{0} E_{0} F_{0}$ .
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Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Rechtecke $A D_{n} E_{n} F_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ .
Bestimmen Sie sodann den Wert für $x$ , für den der Flächeninhalt der Rechtecke $A D_{n} E_{n} F_{n}$ maximal wird.

Teilaufgabe c
Der Flächeninhalt von $A D_{n} E_{n} F_{n}$ ergibt sich aus dem Produkt der Länge und der Breite des Rechtecks.
$A (x) = x \cdot E_{n} F_{n} = x \cdot (- 0,7 x + 7) {cm}^{2} = (- 0,7 x^{2} + 7 x) {cm}^{2}$
Der Graph der Funktion $A (x) = - 0,7 x^{2} + 7 x$ ist eine umgekehrte Parabel (siehe Abbildung rechts). Um das Maximum zu finden, musst du den Scheitelpunkt dieser Funktion berechnen.
Um auf die Scheitelpunktform von $A (x) = - 0,7 x^{2} + 7 x$ zu kommen, musst du die quadratische Ergänzung anwenden.
Klammere dazu zuerst den Faktor $- 0,7$ vor dem $x^{2}$ aus.
$A (x) = - 0,7 x^{2} + 7 x$
$A (x) = - 0,7 (x^{2} - 10 x)$
Ergänze nun den Term in der Klammer, um auf die zweite binomische Formel zu kommen.
$A (x) = - 0,7 (\underset{2. binomische Formel}{\underset{⏟}{x^{2} - 10 x + 25}} - 25)$
$A (x) = - 0,7 ((x - 5)^{2} - 25)$
$A (x) = - 0,7 (x - 5)^{2} + 17,5$
Der x-Wert des Scheitelpunktes ist die Nullstelle der Klammer.
In diesem Fall wäre das $x = 5$ . Damit erhältst du das Maximum des Flächeninhalts $A (x)$ bei $x = 5$ .
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Der Punkt $T$ liegt auf der Strecke $[C S]$ mit $T S = 2 cm$ . $T$ ist die Spitze von Pyramiden $A D_{n} E_{n} F_{n} T$ mit den Rechtecken $A D_{n} E_{n} F_{n}$ als Grundflächen und der Höhe $h$ .
Zeichnen Sie die Pyramide $A D_{1} E_{1} F_{1} T$ und der Höhe $h$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe a) ein.
Zeigen Sie sodann, dass gilt: $h = 7,66 cm$

Teilaufgabe d
In das Schrägbild aus Teilaufgabe $a$ soll nun ein weiterer Punkt $T$ eingezeichnet werden. Dieser liegt auf der Strecke $[C S]$ im Abstand von $2 cm$ zu $S$ .
Der Punkt $T$ ist nun die Spitze einer neuen Pyramide, mit der Grundfläche $A D_{1} E_{1} F_{1}$ . Zeichne die Seitenkanten der Pyramide in das Schrägbild ein.
Die Höhe dieser neuen Pyramide wird mit $h$ bezeichnet. Sie steht senkrecht auf die Strecke $[F_{1} A]$ .
Im Folgenden soll nun diese Höhe berechnet werden. Betrachte dazu die Skizze:
$h$ direkt zu berechnen ist leider nicht ohne weiteres möglich, allerdings können wir eine Hilfslinie ziehen um die Differenz zwischen Höhe $h$ und der Seitenlinie $A S$ zu berechnen.
Diese Hilfslinie (wir nennen sie hier $T P$ wurde in der folgenden Skizze eingezeichnet.
Beachte, dass sich der Winkel $ε$ aus dem Dreieck $A S C$ sich hier im rechtwinkligen Dreieck $P S T$ wiederfindet. Berechne nun über den Sinus von $ε$ die Länge der Strecke $P S$ .
$sin (ε) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse} = \frac{P S}{2 cm}$
$P S = sin (ε) \cdot 2 cm = sin (41,99 °) \cdot 2 cm = 1,34 cm$
In der Zeichnung siehst du, dass die Höhe $h$ dieselbe Länge hat wie die Strecke $A P$ . Um nun also auf die Höhe zu kommen, kannst du rechnen:
$h = A S - P S = 9 cm - 1,34 cm = 7,66 cm$
Damit bestätigst du das Ergebnis aus der Angabe. Die Höhe ist $7,66 cm$ lang.
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Begründen Sie, dass für das Maß $α$ der Winkel $T F_{n} C$ gilt: $α < 138,01 °$ .
Berechnen Sie anschließend die untere Intervallgrenze für $α$ .
$[$ Teilergebnis: $A T = 7,80 cm]$

Teilaufgabe e
Vom Dreieck $T F_{n} C$ hast du bereits einen Winkel, nämlich $ε = 41,99 °$ gegeben. Wenn der dritte Winkel $C T F_{n}$ jetzt also sehr klein wird, dann erreicht der Winkel $α$ sein Maximum.
Dieses Maximum erhältst du über die Innenwinkelsumme des Dreiecks und die Annahme, dass der Winkel $C T F_{n}$ annähernd $0 °$ wird.
$α < 180 ° - 41,99 °$
$α < 138,01 °$
Die untere Intervallgrenze erhältst du, wenn $F_{n}$ genau auf $A$ liegt. Denn so wird der Winkel $α$ am kleinsten.
Die Größe des Winkels $α :$
$\sin ∢ T A C = \frac{h}{A T}$
Mit dem Kosinussatz folgt dann:
$A T = \sqrt{{A C}^{2} + {C T}^{2} - 2 \cdot A C \cdot C T \cdot \cos ϵ}$
Dabei ist $C T = C S - T S = (13,45 - 2) cm = 11,45 cm$
$\Rightarrow A T = \sqrt{10^{2} + {11,45}^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 11,45 \cdot \cos {41,99}^{\circ}} cm$
$A T = 7,80 cm$
$\sin ∢ T A C = \frac{7,66 cm}{7,80 cm}$
$\Rightarrow ∢ T A C = \sin^{- 1} (\frac{7,66}{7,80}) = {79,13}^{\circ}$
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